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错误——学习进步的阶梯
——谈《减少初中学生在数学学习中重复出错的对策研究》课题研究
引言：如果你想让教师的劳动能多获得乐趣，天天上课不致变成一种单调乏味的义务，那就应引导每一位教师走上从事教育科研这条幸福的道路上来。
—— 苏霍姆林斯基
一、为什么会选这个课题？
本来我一直在搞规划课题的，都是关于学校的整体建设，师训等综合性的课题。这些规划课题设置一般比较大，需要分子课题开展研究，几年下来，虽然也取得了一些成果，但总有点不务正业的感觉，很想比较正式地搞一些数学的课题来做做。虽然平时对一些数学教学中的一些困惑也有思考，一些零星想法会得到实施，但这些都是零碎的，做了以后只是一些当时的感悟，日子久了总是会淡忘的。2008年提出了小课题研究，主题是“有效性研究”这刚好解决了我当时的念头。于是，我对平时的一些想法进行了整理，第一个想法是课堂教学研究，课堂毕竟是我们开展教学的主阵地，是研究不完的内容，引入、课堂组织形式、教学方法、课堂即时评价的情感交流等等，当时我也确定不好，好象选择很多。记得是期中考试促使了我确定了这个课题，有几个常见的题型稍微作了一些变化，甚至有一个题是一样的，结果错得学生比较多，当时我就想为什么会一错再错呢？怎样才能避免呢？这个问题实际上早已盘绕在我的心里了，早在96年，我曾经思考过这个问题，认为《集错本》是解决的一个办法，因为是在初三的时候搞的，虽然有一些效果，但肯做这个《集错本》的同学不多，学生的认识问题没有得到很好的解决。以后就放下了这个想法。
期中考的情况又引起了我的思考，我觉得解决“一错再错”的问题是我当前最大的有效性，因此决定选择解决这个问题。课题的名称我也进行了反复的思考和修改，最后定名为这个课题名称。
二、怎样做这个课题呢？
1、确定本课题的研究主题为：减少初中学生在数学学习中重复出错的对策研究，研究对象为：初中学生在数学学习中重复出现的错误，错误产生的原因，以及为减少这些错误学生、教师所采用的一些对策。初中学生在数学学习中重复出现的错误是难以根除的，研究的目的是为了缩小这些错误的影响面和防止这些错误。
2、认为做《错误集》是开展这个课题研究的基础。要做好这个《错误集》，关键要解决学生的认识问题。①、做好宣传工作。做《错误集》体现了书越读越薄，能把学习时间集中到你还需要掌握的知识上去，这反映了学习的最大的效率，要相信学生是希望把自己的学习搞好的。②、要及时指导学生如何做好《错误集》，开始时每天督促学生做好。有时也采用一些强制的手段，直到学生养成习惯。这里有一个反复扎的问题。开始时，只要求把错题记上就行，慢慢过渡到写错因。③、提高对错误的认识，为《错误集》正名。把有错误看成是常态，不对错误进行异化，把学习中的错误看作是进步的阶梯。使学生在学习过程中能正确地对待错误，把发现错误当作是进步的开始。我们还给它取了一个好听的名字《进步的阶梯》，借此提醒同学做好《进步的阶梯》，使自己的学习不断取得进步。正是有了这样的认识，学生才能主动地打量自己的学习，提高了学生发现错误、改正错误的主动性，也提高了学生的反思能力和学习能力。④、让学生尝到甜头，每章搞一个小测试，比比谁能做全对，安排一些做过的易错题，或稍加改变的题，让学生在比较中提高自己做《错误集》的积极性。在七年级期末考试后，有不少同学已经尝到了甜头，乐于做《错误集》了。
3、指导学生如何利用《错误集》。
①、经常阅读。错题本不是把做错的习题记下来就完了。同学们要经常在空闲时间或准备下一次考试时，拿出错题本，浏览一下，对错题不妨再做一遍，这样就使每一道题都发挥出最大效果，在今后遇到同类习题时，会立刻回想起曾经犯过的错误，从而避免再犯。做到同一道题不能错两次，同一类题目不能错两次，从而减少习题量。
　②、相互交流。由于基础不同，各位同学所建立的错题本也不同。通过交流，同学们可以从别人的错误中吸取教训，得到启发，以此警示自己不犯同样的错误，提高练习的准确性。
③、做好标记。在以后的回顾中，要经常思考：那些已经基本掌握的，这些还在错，用不同颜色的笔做好标记。减少一些重复的作业，使自己的学习轻松起来。尤其是在复习阶段，每个同学的学习情况不尽相同，教师允许不同水平的同学选做一些题，这样也有助于学生自觉学习，培养自主学习的习惯，体验“书越读薄”，知识掌握得越来越全面的成功感受，为以后的学习增添自信。
④、自编习题、相互考查。在复习阶段，教师在复习时留出时间让学生相互考查，可以是同桌之间、好朋友之间、同水平同学之间，教师根据不同的安排，事先让学生编拟相关要求的题目，以此提高学生思考错题背后原因的积极性，从实际中还可以欣喜地看到：这种做题的方式学生还是比较喜欢的，促进了学生之间的数学交流。
课题结题前，我让同学们写了对《进步阶梯》的看法，对待错误的看法都向着积极的方向转化，许多同学写得很生动的，自己非常高兴地看到了同学们的成长。如唐露莹同学在“怎样做好〈进步阶梯”〉中开头写到：“学习中难免有错误，面对错误，你是勇敢面对呢？还是逃避呢？我记得，梁启超先生在《成败》一文中写道：天下岂有终身不经失败之人哉！做过不如错过，错过不如错得多。失败者实天惠之学校也，能受此天惠与否，则亦视其人也已矣。错误实在是学习得到进步的阶梯，战胜了错误，你就取得了成功。”，如赵晓潇同学写的：“数学就好比是一个金库，前面的路是艰辛的，要靠着自己勤劳的双手去挖掘；数学就好比是一个城堡，底下的基层是艰难的，要靠着自己顽强的毅力去建造； 数学就好比是一道彩虹，暴风雨前的天空是泥泞的，要靠着自己不懈的奋斗去寻找。”，这些都是对错误、对挫折的积极理解。
通过不断地收集错误、纠正错误、思考错误、知道错误产生的原因，使极大部分学生的学习成绩有了明显的进步，就学习的内容来说也是如此。从这次期末考试的情况来看，基础知识掌握的程度提高了，计算、解方程、简单的几何证明只有几个学生发生错误，应用题、操作题、综合题的解题能力也有了较大的提高。通过观察，学生的作业习惯、改错习惯、阅读习惯都有了明显的改善。在上课时可以发现学生思维的深刻性、广阔性有了明显的变化，以前是是启而不发，现在大多数同学们都能在启发下，发表自己的观点，甚至是一些富有创造性的思路。这主要得益于对错题的不断思考，不仅仅思考做出就行了，而且要明白自己在哪些地方容易出错，为什么会出错？经常去想一想这题有多种解法吗？这些题之间有什么相互关系吗？我能自己改变这个题吗？……这样，学生的纠错，由知识的表面深入到了数学的思想和方法上，学生走上了更广阔的数学课堂。
4、教师要做好《知错本》，掌握教学的主动性
学生做的《进步的阶梯》，是本课题的重要基础。教师在开始时加强督促与检查，每天对《进步的阶梯》进行检查，并摘抄其中典型的错例，做好归因分析。以后对它们进行不定期检查或抽查，当然，教师每天都要对学生错误情况做归因分析。对每一个错误，主要做了以下几个工作：题目、错解、正解、错因分析、纠错对策。
如：关于x的一元二次方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
【错解】：∵原方程有两个不相等的实数根
∴Δ＞0　即Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）
＝－28m＋44
－28m＋44＞0　　m＜11/7
∴ m＜11/7时，原方程有两个实数根
【正解】：还必须注意二次项系数不能为零 m－1≠0 m≠1
∴当m＜11/7且m≠1时，原方程有两个不相等的实数根
【错因剖析】：错解忽视了在学一元二次方程该概念时，“二次项系数不能为零”的条件，学生在辨析时一般会强调自己忘了注意点了，实质是对这一类概念问题的认识不清：以前学一元一次方程和一次函数时，就曾犯过忘记前提的错误,此题犯错是对这类题犯错的延续，这种错误不仅学困生会犯,学习程度好的学生也同样易犯.
【纠错对策】：
⑴、在今后教学中要加深对一元二次方程概念的理解, 要注意相关的变式练习安排。
⑵、也有学习习惯、作业习惯上的问题，有些同学说起来是知道的，说明学生在解题后，没有检查的习惯。因此要注意仔细审题、解后检查的习惯。
⑶、抽时间对这种类型题以诊治题的形式强化训练,使学生避免再犯错。
如此，经常对学生出现的一些典型错误开展归因分析和对策研究。无疑将增强教师的教学机智，在备课、上课时能很快找到一些问题的症结所在，并妥善地处理好，这必定能减少学生在数学学习中错误出现，由于及早预防，消除了错误产生的模糊认识，对避免重复出错也大有益处。
5、号正错误脉搏，在教学的各个环节中预防重复出错
在做好以上日课的归因分析的同时，注意进行分析归纳，从中找出他们的共同点，找到减少学生在数学学习中重复出错的方法和对策，并在教学的各个环节中实施。
预防错误的发生，是减少初中学生解题错误的主要方法。讲课之前，教师应预测到学生学习本课内容时可能产生的错误，就能够在课内讲解时有意识地指出并加以强调，从而有效地控制错误的发生。
例如，讲方程? x/0.4-(0.5-0.15x)/0.2=1 之前，要预见到本题要用分式的基本性质与等式的性质，两者有可能混淆，因而要在引入新课前须准备一些分数的基本性质与等式的性质的练习，帮助学生弄清两者的不同，避免产生混乱与错误。因此备课时，要仔细研究教科书正文中的关键字眼、例题后的注意、小结与复习中的应该注意的几个问题等，同时还要揣摸学生学习本课内容的心理过程，授业解惑，预先应掌握学生容易出错之处，防患于未然。预见错误并有效防范能够为揭示错误、降低错误打下基础。
在课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。在概念的引入，公式、结论的推导等方面，应挖掘出有关数学知识中蕴含的容易混淆的概念， 要引导学生用对比的方法，弄清它们的区别和联系。课内条件允许的话，可由个别学生分析解答例题，再由学生订正，教师予以总结。并给学生展示揭示错误、排除错误的手段，使学生会识别错误、改正错误。要通过课堂提问 及时了解学生情况，对学生的错误回答，要分析其原因，进行针对性讲解，利用反面知识巩固正面知识。课堂练习是发现学生错误的另一条途径，出现问题，及时解决。总之，要通过课堂教学，不仅教会学生知识，而且要使学生学会识别对错，知错能改。在讲解方法上应多样化，从不同的角度达到渗透数学思想和方法的教学目的。
在布置作业时，把一些容易出错、意思容易混淆的题有意安排在一起，以便让学生去发现他们的区别，发挥作业本身的教育功能。引导学生去思考，使学生的思维能更深刻一些。
在作业讲评时，?要认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误，加以评述。通过讲评，进行适当的复习与总结，也使学生再经历一次尝试与修正的过程，增强识别、改正错误的能力。在开始做《进步的阶梯》开始阶段，教师还要指导学生如何去做错误集，要不厌其烦，指导要到位。
在这一阶段中，以上这些方法交替进行，互为因果，在实验中，学生出现重复错误时已能引起学生较大的关注，重复出错率有了明显的减少。
现行的教材中编排的例题和练习中，对学生思维的要求不高，教师可以适当增添一些习题，如在等腰三角形性质的教学中就增添了一个习题：1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 这为学有余力者提出了挑战，分类讨论这一类型的习题解决需要平时溪水长流的教学，在体会到跳入“陷阱”的痛苦中学会思考问题的全面性。因此，教师在讲授新课时，可以适当地设置“陷阱”，引导学生出错，让学生对暴露出来的错误进行充分讨论，不仅能够使学生牢固掌握正确知识，从而使学生在以后解题中不会掉进“陷阱”里去，同时也有利于学生思维能力的提高。
在课堂教学中要善于处理学生的错误观点，善待学生的种种错误，因为这些错误学生认为是正确的。要引导学生改变这种错误不是简单的否定能够做到的，只有让这种错误充分地放大以后，学生才能领悟到错误产生的本质，才有可能从根本上改变学生的这种错误，甚至能从错误的解题中得到一些独特的做法，学生产生错误的地方就是我们教学开展最有效的地方。
教育的主阵地在课堂，减少学生在数学学习中的重复出错，这对我们的课堂提出了更高的要求，“防患于未然”，还有很多工作值得我们去思考和探索。
教学的理想状态：学生在第一遍学习时就正确地把握好它，那教学就是最轻松的事了。但事实并非如此，在教与学的过程中总是有一些不良的因素影响着我们，让错误来挑战我们学习的高度，我们在教学中应正视这些错误，把错误看成是学习进步的阶梯，只要我们战胜了这些错误，我们就能“一览众山小”、“ 荡胸生层云”，享受成功的喜悦，看到更美的风景！


课件17张PPT。 错误——学习进步的阶梯——谈《减少初中学生在数学学习中重复出错的对策研究》课题研究 如果你想让教师的劳动能多获得乐趣，天天上课不致变成一种单调乏味的义务，那就应引导每一位教师走上从事教育科研这条幸福的道路上来。　　　　—— 苏霍姆林斯基为什么会选这个课题 1、是自己的长期困惑
2、是绍兴市中小学“让教学更有效”学科教改项目 的呼唤
3、是偶发事件的触发 在教学中对如何减少学生在数学学习中重复出错进行了再思考，学生在数学学习中重复出错这是一个老大难问题，虽然亚利斯多德曾经说过：“人不可能两次踏入同一条河”，这是一个有趣的哲学命题。但在学习中的错误却是“山还是那山，水还是那水”，重复着昨天的故事，学生觉得困惑，教师觉得难受。走出这个怪圈，无疑是“让教学更有效”的一个进步。 我是怎样做这个课题 一、确定本课题的研究主题 、目标：
减少初中学生在数学学习中重复出错的对策研究，研究对象为：初中学生在数学学习中重复出现的错误，错误产生的原因，以及为减少这些错误学生、教师所采用的一些对策。研究的目的是为了缩小这些错误的影响面和防止这些错误。二、认为做《错误集》是开展这个课题研究的基础要做好这个《错误集》，关键要解决学生的认识问题 。
1、做好宣传工作。
2、提高对错误的认识，为《错误集》正名。
3、要及时指导学生如何做好《错误集》利用好《错误集》 。
4、让学生尝到甜头 。如何指导学生做好《进步的阶梯》呢?首先让学生端正对错误的认识。把有错误看成是常态，不对错误进行异化，把学习中的错误看作是进步的阶梯。使学生在学习过程中能正确地对待错误，把发现错误当作是进步的开始。
取名《进步的阶梯》，是想借此提醒同学做好《进步的阶梯》，使自己的学习不断取得进步 。如何做好《进步的阶梯》 1、分门别类地把平时作业、练习或考试中做错的题进行整理、分析、归类。
　2、把做错的原题在错题本上原原本本地抄一遍或剪下来贴在错题本上，并把原来错误的解法清晰地摘要在错题本上，并在下面留有一块空白。
　3、纠正错误。
　4、定期归类、整理。如何利用好《进步的阶梯》 1、经常阅读。2、相互交流。
3、做好标记。4、自编习题
5、《进步的阶梯》做得好的同学在复习时有选做作业小结一下 想方设法提高学生做、看《进步的阶梯》的积极性，提高学生对自己学习的反思能力，提高学生对自己学习情况的关注，这是教学中最有意义的事。没有什么比学生能主动参与自己的学习中来更重要的事了！教师要做好《知错本》，掌握教学的主动性在做自己的《知错本》时，对每一个典型错误，主要做了以下几个工作：
题目、错解、正解、多解、比较题
错因分析
纠错对策。 如：关于x的一元二次方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。【错解】：∵原方程有两个不相等的实数根
∴Δ＞0　即Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）
＝－28m＋44
－28m＋44＞0　　m＜11/7
∴ m＜11/7时，原方程有两个实数根【正解】：还必须注意二次项系数不能为零 m－1≠0 m≠1∴当m＜11/7且m≠1时，原方程有两个不相等的实数根【错因剖析】：错解忽视了在学一元二次方程该概念时，“二次项系数不能为零”的条件，学生在辨析时一般会强调自己忘了注意点了，实质是对这一类概念问题的认识不清：以前学一元一次方程和一次函数时，就曾犯过忘记前提的错误,此题犯错是对这类题犯错的延续，这种错误不仅学困生会犯,学习程度好的学生也同样易犯. 【纠错对策】：⑴、在今后教学中要加深对一元二次方程概念的理解, 要注意相关的变式练习安排。
⑵、也有学习习惯、作业习惯上的问题，有些同学说起来是知道的，说明学生在解题后，没有检查的习惯。因此要注意仔细审题、解后检查的习惯。
⑶、抽时间对这种类型题以诊治题的形式强化训练,使学生避免再犯错。 教师在教学过程中的防错策略1、课前预防，加强设计
2、课中出错，引导讨论
3、作业错误，认真反思
4、集中错误，专题辨析
5、复习作业，精心编排归纳而言：1、数学本身的问题：如数学知识、解题方法、解题技巧、数学思想等方面出错，必须在短时间内得到解决，及时巩固提高。
2、一般能力上的欠缺。如阅读能力、学习能力、想象能力等的提高，在短时间内是不可能的，需要平时潜移默化的渗透。
每个教师都应把一般能力的培养看成是学科教学的重要组成部分，这才是真正为学生的人生幸福开展教学一点想法：错误就如用铅笔在白纸上写错的字，虽然用橡皮擦掉了，但总是擦不了它旧有的痕迹，总是若隐若现，出现在你的眼前。既然有错了，那只能勤擦拭，防止它的出现
教学的理想状态：学生在第一遍学习时就正确地把握好它，那教学就是最轻松的事了。本来无尘埃，何须勤擦拭。希望这样的学习能多一点。

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