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广西钦州市第十三中学2025-2026学年上学期高一第五周考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（　　）
A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数 D．x是y的函数
2．某同学离家去学校，由于怕迟到，所以一开始跑步，跑累了再走余下的路程，在下图所示中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合该同学走法的是（ ）
A． B． C． D．
3．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t与水面高度y关系图像如图，图中为一线段，与之对应的容器形状是如下四个图中的（ ）
A．B．C． D．
4．下列各图中,可表示函数的图象是(　　).
A． B． C． D．
5．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
7．某地区在六年内第年的生产总值 （单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是
A．第一年到第三年 B．第二年到第四年C．第三年到第五年 D．第四年到第六年
8．下列函数中与函数是同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9．下列函数与函数不是同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．函数的值域为
11．已知集合A为正偶数集，集合B为正整数集，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知两个实数，满足，则的最大值为 .
13．已知分段函数，当时，对应的函数值，则集合 ；
14．如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式 ；
四、解答题（共5小题，共77分）
15．下列过程中变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系：
（1）地球绕太阳公转的过程中，二者的距离与时间的关系；
（2）在空中作斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；
（3）某水文观测点记录的水位与时间的关系；
（4）某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系.
16．设是定义域为的函数，如果对任意，均成立，则称是平缓函数．
(1)若，试判断是否为平缓函数？并说明理由；
(2)若函数是平缓函数，且是以1为周期的周期函数，证明：对任意的，均有．
17．下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系；
(2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；
(3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系；
(4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系；
(5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系；
(6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系．
18．对实数，用表示“不大于的最大整数”，用表示“不小于的最小整数”．例如．
(1)若，求的值．
(2)若，求的取值范围．
(3)记，是否存在实数，使得？若存在，求的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
19．对于定义域为R的函数以及非空数集S：若对任意，，当时，都有，则称是S关联的.
(1)设，写出符合条件的三个开区间，使得是关联的；
(2)设，若存在一个闭区间（）使得是关联的，求；
(3)证明：是关联的等价于是关联的.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D B D A D ABD BD
题号 11
答案 ABC
12．4 13． 14．
15．（1）依赖关系；（2）函数关系；（3）函数关系；（4）函数关系.
16．（1）任取，
，
只需证，
当有一个为0时，不妨设，则；
当都不为0时，分母利用不等式，
得，结合
可得
当且仅当时取等号成立，但此时，故严格不等式成立，
因此函数是上的平缓函数．
（2）由已知可得，由于函数是周期函数，故不妨设，
当时，由为上的平缓函数得。
当时，不妨设，
此时由为上的平缓函数得
.
综上所述，命题得证.
17．（1）地球绕太阳公转，二者的距离与时间存在函数关系，
其中时间时自变量，距离是因变量
（2）在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间存在函数关系，
其中时间为自变量，高度是因变量
（3）某超市一天的销售额与客流量之间存在函数关系，
其中客流量是自变量，销售额是因变量
（4）某十字路口，通过汽车的数量与时间存在函数关系，
其中时间是自变量，通过汽车的数量是因变量
（5）往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间存在函数关系，
其中时间是自变量，杯中水的体积是因变量
（6）抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间不存在函数关系.
18．（1）若，则，
可得，解得；
若，则，
可得，解得，不合题意；
综上所述：.
（2）若，则，
可得，解得，不合题意；
若，则，
可得，解得，可得；
综上所述：的取值范围为.
（3）若，则，可得；
若，则，
可得；
综上所述：.
可知当且仅当时，为偶数，否则为奇数，
且2025为奇数，可知中只有1个整数或只有3个整数，
若为整数，则均为整数；
若为整数，则必为整数；
在不为整数的前提下，不可能同时为整数，不可能同时为整数；
据此可知中只有1个整数，且整数只能或，
可设，
（i）若为整数，则，
①若，则，，，
可得，
解得，不合题意；
②若，则，，，
可得，
解得，不合题意；
（ⅱ）若为整数，则，
①若，则，，，
可得，解得；
②若，则，，，
可得，
解得，不合题意；
综上所述：，，
所以存在实数，使得，此时.
19．（1）已知对，.
若，让接近，就有接近，要满足，则，这不可能.
若，让接近，有接近，要满足，则，也不可能.
所以、中有，经检验、、这三类开区间满足题意，如，，.
（2）若是关联的,.
当，且时，能取任意值，也能取任意值，
那么能取任意值，矛盾，则，则.
若，时，最值差为，
与矛盾，所以，
取，易验时，满足条件，
综上所得，所求，.
（3）一方面，若是关联的，所以时，.
令，，，；
令，，，，
令，，，，
又，所以.
则有.
设，令，其中，且.
首先对进行变形：.
因为，根据已知条件，可以得到.
对于，
由于，，所以.
当时，同样可以根据已知条件推出，所以是关联的.
若是关联的，根据关联的性质有：
.
因为是关联的，所以（），则.
又因为是关联的，所以，
结合取等条件可知，即.
对于，，
因为，所以，
又因为，则，且显然有，
所以是关联的.
综上所得，原命题证毕.

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