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提高例题设计有效性的策略
例题是帮助学生理解、掌握和运用数学概念、定理、公式和法则的数学问题，是教师用作示范的具有一定代表性的典型数学问题。例题是把数学知识、技能、思想和方法进行分析、综合和运用的重要手段，是数学教学的重要组成部分，是抽象的概念、定理、公式和具体实践之间的桥梁，是使学生的数学知识转化为数学能力的重要环节。
教师在备课时要选择、设计例题，一般来说，教材上原有的例题都是编者经过反复推敲而精选的，应充分发挥作用。然而，教学中面对的实际情况却各不相同，必须按照不同的学生实际情况和不同的内容，在例题设计上精心思考和设计.
一、教学案例的回眸
在学习了“圆”的有关性质后，为了检测学生的掌握情况，某教师出现了下面一道题：
如图1，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠A=30°，BC=3.求⊙O的半径。
学生看了一遍题目，便在下面嚷开了：太简单了！（此时教师让一名学生解答本题）
学生：由AB是⊙O的直径，得∠C=90°.
∵BC=3, ∠A=30°,
∴AB=6.
故⊙O的半径为3.
教师:很好,利用直径的特征,结合直角三角形性质求出了半径.
教师：若题中AB不是⊙O的直径，其余条件不变，那么⊙O的半径还会是3吗？
学生：AB不是⊙O的直径，当然不能，故⊙O的半径不会是3.
（其实这就是思维定势在起作用，也正是教师需要学生注意的地方。促使学生思考：此时⊙O的内接三角形中就一定不会有上题中那样的直角三角形了吗？）
教师：想一想，这个圆中会不会有上题中那样的直角三角形出现？
……
此时的学生陷入了思考.圆的直径所对的圆周角是直角,故有多个直角三角形供选择,但所构造的直角三角形必须用到已知三角形中的条件,于是学生试着过A、B、C三点画直径，直至发现⊙O的半径还是3.
学生:如图2,作直径A′B,连接A′C即可.(一脸兴奋)原来一样!
二、案例的分析
此时教师若再能引领学生的思维前进一步,则收获远不是解一道题目所能达到的.
教师:若设∠A=α(α＜90°),BC=a，则⊙O的直径是多少？
此时的学生有了上面的经验，不难得出⊙O的直径．
这样,教师就可针对上述问题进行小结：
（1）通过上述问题的解决过程，你学到了哪些方法？
（2）从这3个问题中，你发现了什么？
　 这样的教学设计让学生能够在课堂活动中感悟知识生成、发展与变化的过程，帮助他们在自主探索与合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学经验．从这个的案例中看到例题设计的重要性，如果例题设计到位，有助于学生巩固、深化新学数学知识、领悟和掌握隐含于其中的重要数学思想方法，训练良好思维品质、培养数学能力、发展智力等。从这个的案例中也体会到：
1.例题的功能
理解知识，巩固应用,为让学生尽快熟悉课本基本内容，加深对概念、公式等的理解，教材一般都会适当安排一些例题加以说明、验证．
渗透数学思想方法,教材中不少例题貌似简单，但常常蕴涵着基本的数学思想方法和技巧，若在教学中能很好的挖掘与渗透，对提高学生解题能力、启迪学生数学思维大有帮助．
潜在的德育功能,新课标非常重视数学的文化价值，而教材中不少例题恰恰体现了这一点，常常选用能激发学生对数学的学习兴趣和对社会的关注．
较好的示范作用,解题时思路正确但表述混乱是不少学生的通病．教材中的例题，书写格式及过程叙述一般都比较规范，符号的使用、图形的绘制也比较准确，有较好的示范作用，解答中缜密的思维和严密的逻辑推理更是为学生提供了良好的学习素材，有利于学生养成良好的答题习惯．
学业考的导向作用,课本的例题、习题是学业考题的生长点，许多学业考题在课本中都能找到原型．在平常教学中重视教材例题的教学，无形中会对学生重视课本产生潜移默化的作用．
2. 例题的处理
教材的例题有难有易，解法有详有略，功能又各有不同，教师应该根据例题本身的特点和学生具体情况分别对待，灵活处理．对某些例题进行适当变式教学，以开拓学生的视野，培养探索精神和创新意识．
3.例题处理的误区
一种是教师认为教材中的例题太简单，经常选用不能体现自己的教学特色，因而对其不屑一顾．另一种是教师教学时照本宣科，书上怎么写就怎么讲，从而抑制学生的创造思维，阻碍学生思维能力的发展．
三、例题设计的思考与策略
数学教学中常出现这样的“怪现象”：教师辛辛苦苦“讲”过的题，隔一段时间再练或再考时出错率仍然很高，相当多的教师把这一现象完全归咎于学生，认为是学生态度不认真或者学生笨造成的，笔者认为不能把责任全推到学生身上，教者应反思自己的教学行为，要反思自己的例题设计过程中是否科学，是否符合学生的认知规律。教者“讲”的东西学生掌握了多少？学生的思维参与度怎么样？学生的体会体验是什么？学生能从中悟出那些思想方法、规律或一般结论？鉴于以上考虑，笔者认为：例题设计绝不是单纯的设计解题活动或者解答过程的环节，还应该设计题目解完后，反思解题的探索过程，概括提炼出规律性的东西，讲所解之题进行拓展延伸，归纳总结出一类问题最本质的解法，从而达到举一反三、触类旁通的目的。下面就例题设计谈一些体会
1、注意前后知识的融合，例题的设计重在突出新旧知识之间的联系与差别。
三角形内角和定理的证明时，怎么会想到延长BC至点D，并过点C作CE∥AB？当初是用拼角的方法来验证三角形的三个内角和等于180°，如图3，把∠A剪下来拼到∠ACE的位置，由于∠ACE与∠A是一对内错角，想到过点C 作CE∥AB。同样，如图4，如果是把∠C剪下来，拼到∠EAC的位置，∠B剪下来拼到∠BAD的位置，则∠EAC与∠C、∠DAB与∠B都是一对内错角，想到过点A作DE∥CB，有添这些辅助线的思路，证明就轻而易举了。
在解答以上问题的过程中，把前后知识复习了一遍，使学生温故知新，既提高了学生综合运用知识的能力，又锻炼了其思维能力。
2、注重例题设问的引申和变式
课本例题的最大特点是针对性强，基础性强，但教材中大多数例题是一题一问，给学生的思维空间较小。尽管和老教材相比，新教材在部分例题解答后面安排了“思考”这个环节，对例题进行了一些挖掘，但大多数例题仍缺乏纵向和横向的引申。为了培养思维的深刻性和广阔性，激发学生的学习积极性，结合教学的实际情况，适当地对课本例题的设问进行引申是非常有必要的。
例如，如图5，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC 于点D，交AC于点E，求证：。
分析： 连接AD，此题利用直径所对的圆周角是直角；等腰三角形的三线合一；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等的知识来证明。
变化例题：点A,B,D,E在圆上，弦AE的延长线与弦BD的延长线相交与点C.给出下例三个条件：（1）AB是圆的直径；（2）D是BD的中点；（3）AB=AC.
请在上述条件中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明。
条件：_____________________________.
结论：____________________________.
证明：____________________________.
本题通过变化，力图考查学生的推理能力，要求学生选择其中两个为条件，另一个为结论，自主构建一个正确的命题，这样就具有一定的开放性，同时也关注了对学生学习方法的引导。
3、到课后练习中去“淘宝”
一堂课总共才45分钟，所以课堂上的例题一定要精练。教材中的例题有时会存在题型太过于单一，或者例题之间功能重复等问题，讲解后并不能达到最佳的教学效果。这时候，教师需要更换更适合教学要求的例题。就最大限度地利用教材而言，课后练习无疑是一块绝佳的淘宝之地。
例如，如图6，四边形ABCD是正方形，点E为BC边的中点，∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证:AE=EF.
问题的解决:按照教科书上的提示,取AB边的中点M,连接ME,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF。
这显然是利用构造全等三角形的思想帮助我们解决了问题。
问题的生成：（1）学生问教师，为什么不过点F作FG⊥CG，垂足为G来解决问题？这种做法很容易想到，这样能否解决问题？（在课堂上教师没能够给出学生满意的解答）还有没有其他的解法？如何探索？
（2）教师让学生继续研讨，如果把上面的条件“点E为BC边的中点”改为“点E为BC边（或BC延长线）上的任意一点”，结论“AE＝EF”是否还成立呢？
从“特殊到一般”研究问题的数学方法，是我们在教学中经常用到的，而且是着力渗透的数学思想，对培养学生的直觉思维和逻辑思维能力起着桥梁和纽带作用。果然，此题一经抛出，激起千层浪，学生在认真地思考、研究、探索、交流这个问题的前提下，很多学生都期待能够发表自己的见解。
4、设计一些开放性问题思路，给学生提供充分的探究机会
　　开放式问题是近几年学业考试的热点，它能充分拓展学生的思维空间，对条件的不确定性与结论多样性的探索、猜想，促使学生的思维更深刻、广阔、活跃，更能体现学生的思维能力。探究是一种让学生理解数学知识的学习方式。让学生通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。因此，教师应十分重视探究式学习，给学生提供充分的科学探究机会，尽力提高学生的探究能力。在课堂例题的设计中，教师可以设计一个适合学生独立或集体探究的，在学生思维最近发展区内能体现知识形成过程的探究情境，通过问题解决来学习。
例如，如图7，点E、F、G、H 分别是正方形ABCD
的边上的中点, 四边形EFGH 是什么样的四边形?
这道题可以从条件中的“正方形”或“中点” 入手
进行变形：
探究一：将条件中的“正方形”分别改为“矩形” 、“菱形” 、“等腰梯形” 、“四边形”，那么
四边形EFGH 分别是什么样的四边形? 如图5
探究二：已知E、F、G、H 分别是正方形ABCD 边上的点, AE=BF=CG=DH,
那么四边形EFGH 是什么样的四边形?
探究三：已知E、F、G、H 分别是正方形ABCD 边上的点, AE=FC=CG=HA,
那么四边形EFGH 是什么样的四边形?
总之，例题设计要考虑到学生的学习情况，尤其是要考虑激发学生学习兴趣和认知需求的原则，是一项十分重要的工作，也是一项十分艰巨而又细致的工作，要求我们教师既要了解学生，又要精选和设计例题、这样，提供给学生的必然是最主要、最起作用的东西，有利于学生在学习中把握知识本质，提高了学习效率，从而达到事半功倍的效果。
开放题的开放性、灵活性、多变性可以提高学生分析问题、解决问题的能力，给学生的思维创设更广阔的空间，有助于激发学生的创新意识、养成创新习惯、发展创新思维。由于开放题的思考方法和答案不唯一，不同的学生会得到不同的结果。这是由于学生的生活经历和知识水平的差异造成的。
5、体现例题的思想方法
　 例题蕴含着重要的数学思想方法，对这些数学问题进行适度变形或拓展，引导学生分析探究，这样可以提高学生综合分析问题和解决问题的能力，有利于培养学生的创新精神和探究能力。
例如，已知：∠BOC，∠BAC分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角。求证：∠BAC=∠BOC。
分析：由于圆心有在圆周角内、圆角外和圆周角的一条边上三类情况，因此需分别对三类不同情况证明。
教学中，教师可以引导学生对例题、习题进行引申、拓展，也可以变更题目的条件或结论，让学生探索相应结论或条件有何变化。
6、提倡一题多解
一题多解的不同解法，加深了知识间的纵横联系，长期这样多角度、多视角的解题，会使学生发生质的变化，从而拓宽学生的思路，使思维灵活，在探求不同的解法中有效的提高能力，使学生掌握“精”而“巧”的方法。
例如，计算÷.
解法1:
原式=÷
=×＝＝－3
解法2：
原式＝×××
＝－2＋１＋＝－3
提出问题：比较两种算法，哪种更便捷？学生通过对照比较、寻求方法、交流讨论后，知道有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理运算顺序是正确解题的关键，解题过程中应尽量使用简捷的算法。这样，不仅能使学生所学的基础知识更加扎实，而且还能为培养思维创造性打下坚实的基础，使学生感受到知识形成和发展的过程，使他们去观察、分析、猜想、探索学习。
课件71张PPT。提高例题设计有效性的策略一、教学案例的回眸二、案例的分析三、例题设计的思考与策略
一、教学案例的回眸案例1 如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠A=30°，BC=3。求⊙O的半径。若题中AB不是⊙O的直径，其余条件
不变，那么⊙O的半径还会是3吗？二、案例的分析若设∠A=α(α＜90°) ,BC=a，则⊙O的
直径是多少？ 针对上述问题进行小结：
（1）通过上述问题的解决过程，你学
到了哪些方法？
（2）从这3个问题中，你发现了什么？从这个的案例中体会到：1．例题的功能3．例题处理的误区2．例题的处理浙教版七年级(下)第27页阅读材料“拼图游戏”案例2 如图是由8个相同大小的正方形组成的
纸片，你能否只剪两刀，将它分成三块，
拼成一个大正方形？1．例题的功能哪些基本图形只剪一刀，可以拼成长方形？一般的梯形只剪一刀，能拼成长方形吗？若一刀不行,那么至少要剪几刀才行呢?一般的三角形只剪一刀，能拼成长方形吗？ 如图是由8个相同大小的正方形组成的纸片，你能否只剪两刀，将它分成三块，拼成一个大正方形？如图，是由5个相同大小的正方形组成的图形，试问能不能通过剪几刀后拼成正方形？能的话至少需要剪几刀？变式：证明勾股定理1.（湖北省） 在图14-1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上。中考链接操作示例：
当2b实践探究：
（1）类比图14-1的拼剪方法，请你就下图的三种情形分别画出拼剪成一个新正方形的示意图。
（2）得到的各正方形的面积是＿ ＿＿；（用含a、b的式子表示）ABCD
EFGH图14-1联想拓展通过探究后发现：当时b≤a，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移。当b>a时，如图的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能简要说明理由。中考链接 2.(山东省) 如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．中考链接图2图3图130cm30cm
40cm
10cm
案例3 如图，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。求证：BG=CE浙教版八下课本第147页作业题第3题潜在价值
（1）知识点丰富；
（2）丰富的数学思想 与数学方法；
（3）体现数学的整体 性。
2. 例题的处理变式一：条件不变、增加探究结论（2）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想。（3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？（1）经历观察猜想到验证的解决问题方法；
（2）培养观察能力、语言表达能力、空间想象能力。 (4)如上图，AB＝11，AC＝7，连结EG，
求BC2+EG2的值变式二：添加条件，探索新结论O（1）添加辅助线构造直角三角形
（2）转化思想 四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
并证明你的猜想（甘肃中考题）变式三：改变条件，探究原结论 把“正方形ABCD、DEFG”改为“矩形ABCD、DEFG（长宽不等）”，上面两个结论还成立吗？若不成立，请问在什么条件下成立？（1）通过类比，加深全等与相似知识的理解与巩固
（2）培养学生的探索、创新精神 变式四：图形旋转，探究原结论四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
并证明你的猜想.（3）正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，使AD与GD重合如图（1）时，上述两个结论是否成立?（4）正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，如图（2），上述两个结论是否成立？图（1）图（2）（5）如图（2），连结BF，求CG:BF:AE的值.(1)从图形变化中探求规律。培养学生用运动变换的观点和由特殊图形到一般图形去观察、研究几何图形的性质，添加辅助线，提高学生分析问题与解决问题的能力；
（2）渗透转化思想与数形结合思想；
(3)激发学生求知欲与信心；
（4）培养学生思维的准确性和创新性。
如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．2008年浙江省义乌市中考题（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=0.5，求的BE2+DG2值．2008年浙江省义乌市中考题2.如图，直线上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）
Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．55变式五：根据图形或变式图形，求面积1.如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7和11，则△CDE的面积等于 。3.如图，梯形ABCD中，AB∥DC， ∠ADC＋ ∠BCD＝90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1，S2，S3之间的关系是______.变式五：根据图形或变式图形，求面积（1）补形法，旋转法
（2）数形结合思想和转化思想1. (温州市中考题)在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______.2.如图，分别以Rt△ABC的三边向形外作正方形ABGH、BCEF、ACDI，若直角边BC=1，AC=2，则六边形DEFGHI的面积。（1）启发学生寻找基本图形，利用基本图形解题，培养图形识别和观察能力.
（2）方程思想3.例题处理的误区１.教师认为教材中的例题太简单，经常选用不能体现自己的教学特色，因而对其不屑一顾．
２.教师教学时照本宣科，书上怎么写就怎么讲，从而抑制学生的创造思维，阻碍学生思维能力的发展．三、例题设计的思考与策略1、注意前后知识的融合2、注重例题设问的引申和变式3、到课后练习中去“淘宝”4、设计一些开放性问题，给学生提供充分
　　的探究机会5、体现例题的思想方法6、提倡一题多解1、注意前后知识的融合案例4 三角形内角和定理的证明案例5（浙教版九下，P23，作业题3）…
已知∠B=450，∠ACD=560，BC=20cm，求AD。（浙教版九下，P23，作业题3）…
已知∠B=450，∠ACD=600，BC=20cm，求AD.思考一：已知两个特殊角的情况下，再已知AD、CD、AC、BC、AB、BD六条边中1条可求其余5条边.(已知两角一边)思考二：已知边角的三个特殊条件(必须有一边），求其余的边和角。如：已知AD= ,DC=1, ∠B=450,求其余的边角. （已知两边一角）一变：类比法二变：推广法三变：延伸法四变：弱化法（重叠式）（背靠式）（九下，P23，作业5）（九下，P23，作业４）(2006新疆）（2006辽宁）(2007贵州）两艘渔船分别从B港出发，B港位于A港东偏北30°，甲船航行了20海里到达A港处，乙船行驶了 海里到达位于A港正东方向的C处，这时乙船调整方向，问至少还要行驶多少路程才能到A港？已知： 抛物线与坐标轴交点为A、B、C，∠ABC=45°，∠ACO=60°， A(0，3)，求抛物线的解析式.2、注重例题设问的引申和变式案例6 如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC 于点D，
交AC于点E，求证：
分析： 连接AD，此题利用直径所对的圆周角是直角；等腰三角形的三线
合一；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等的知识来证明。
变化例题：点A,B,D,E在圆上，弦AE的延长线与弦BD的延长线相交与点C.
给出下例三个条件：
（1）AB是圆的直径；（2）D是BD的中点；（3）AB=AC.
请在上述条件中选取两个作为已知条件，第三个作为结
论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明。
条件：_____________________.
结论：_____________________.
证明：_____________________.案例7 把一根长为1m的铅丝折成一个矩形，并使矩形的面积最大，应怎样折?最大面积为多少？浙教版九年级《数学》(上册) 2.4二次函数的应用(1)
课后作业题第3题(第45页) 把一根长为1m的铅丝折成一个矩形，并使矩形的面积最大，应怎样折?最大面积为多少？问题一(课本第51页改编)：某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室一面靠现有墙面，已知计划中的建筑材料可建围墙50m,设饲养室的长x（m）,占地面积为y（m2）
（1）求y关于x的函数解析式
（2）怎样规划矩形的长和宽才能使饲养室的占地面积最大？问题二(课本第51页改编)：某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室一面靠现有墙面,中间用一道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙50m,设两间饲养室的宽x（m）,总占地面积为y（m2）
(1)要使饲养室的面积最大,饲养室的长应为多少?
(2)如果中间有n(n>1)道隔墙,要使饲养室的面积最大,饲养室的长应为多少?问题三(课本第51页改编)：某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室一面靠现有墙面(可用墙长为20m),中间用一道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙50m,设两间饲养室的宽x（m）,总占地面积为y（m2）
（1）求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
（2）画出函数的图象
（3）利用函数图象判断：若要使两间饲养室总占地面积达到200m2，则各道墙的长度为多少？
（4）饲养室的占地总面积能超过200m2吗？ 问题四(课本第51页改编)：某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室两面靠墙，已知计划中的建筑材料可建围墙50m,设两间饲养室的宽x（m）,总占地面积为y（m2）
（1）求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
（2）怎样规划矩形的长和宽,才能使矩形的面积最大? 问题五（十堰中考）：某学校在绿化校园时,计划利用矩形场地的一角的边缘30m,建一个三角形花圃，怎样利用边缘两边（不考虑第三边AB）才能使所建花圃的面积最大？并求出这个最大面积ABC问题六: 某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗。他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD＝EF＝BC＝xm。(不考虑墙的厚度)
(1)若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？
(2)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(3)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？
3、到课后练习中去“淘宝”案例8 如图，四边形ABCD是正方形，点E为BC边的
中点，∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于点F.
求证:AE=EF.4、设计一些开放性问题， 给学生提供充分的探究机会案例9 如图，点E、F、G、H 分别是正方形ABCD的边上的中点, 四边形EFGH 是什么样的四边形?
探究一：将条件中的“正方形”分别改为“矩形” 、“菱形” 、
“等腰梯形” 、“四边形”，那么四边形EFGH 分别是什么样的四边形?
探究二：已知E、F、G、H 分别是正方形ABCD 边上的点,
AE=BF=CG=DH,那么四边形EFGH 是什么样的四边形?
探究三：已知E、F、G、H 分别是
正方形ABCD 边上的点,
AE=FC=CG=HA,那么四边形EFGH
是什么样的四边形?案例105、体现例题的思想方法案例11 已知：∠BOC，∠BAC分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角。求证∠BAC=∠BOC。
分析：由于圆心有在圆周角内、圆角外和圆周角的一条边上三类情况，因此需分别对三类不同情况证明。AB如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，
奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？街道 基本图形:两点一线
基本解法:利用对称性案例12 基本图形几何背景函数背景M在几何背景下的应用（1）若M是AB边上的中点，求PM+PB的最小值如图，正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上任意一点M点动线不动（3）若M、N分别是AB，BC边上的点，AM=CN=1/3AB,求PM+PN的最小值PNA组变式：点B换成了点N如图，正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上任意一点会找基本图形，
掌握基本解法（4）连结QC，点P、M是QC、BC上任意点，求PM+PB的最小值。B组变式：改动了对称轴的位置，点M变成了动点如图，正方形ABCD中，AB=2,Q是AB中点，QB’点线一起动B组题增加题目灵活性，基本思路不变MP如图，正方形ABCD中，AB=2,C组变式：由两个点到多个点，增加层次性（1）若M是AB边上的中点， P是对角线AC上任意一点，
求（PM+PB）2的最小值点的个数动一动M1（1）若M是AB边上的中点， P是对角线AC上任意一点，求（PM+PB）2的最小值P1如图，正方形ABCD中，AB=2,（2）若M1、M2是AB边上的三等分点， P1、P2依次是对角线AC上任意两点，求（P1M1+P1B）2+(P2M1+P2M2)2的最小值M2P2点的个数动一动C组变式：由两个点到多个点，增加层次性M1M2M1’P1P2（P1M1+P1B）2+(P2M1+P2M2)2M1D2+M1’M22M1（1）若M是AB边上的中点， P是对角线AC上任意一点，求（PM+PB）2的最小值P1如图，正方形ABCD中，AB=2,M2P2M9M8P9（3）若M1、M2…M9是AB边上的10等分点， P1、P2…P9依次是对角线AC上任意点，直接写出(P1M1+P1B)2+(P2M1+P2M2)2
+…+(P9M8+P9M9)2的最小值（2）若M1、M2是AB边上的三等分点， P1、P2是对角线AC上任意两点，求（P1M1+P1B）2+(P2M1+P2M2)2的最小值点的个数动一动C组变式：由两个点到多个点，增加层次性（全国数学竞赛题）如图在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=————。
-1PQQ’Mxyxy362-2-3在反比例函数 上有两点A(3,2),B(6,1)，在直线 上有动点P,那么当PA+PB最小时，求P点的坐标.
ABA’PA组移植转换已知抛物线 若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这个最短路程的长。yoXC1-1A?Ｐ?FB组一次对称已知抛物线 若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这个最短路程的长。yoXC1-1(0,2)A?(0,1)P?A’(5,2)B组 FyoXC1-1(0,2)A?(0,1)P?F变一变 若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长EB组两次对称yoXC1-1(0,2)A?(0,1)P?A’(5,2)F变一变 若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长EP’B组6、提倡一题多解÷.案例13 计算 解法1:原式=÷=×＝＝－3解法2:原式＝×××＝－2＋１＋＝－3用两种不同的运算顺序计算学生在讨论命题：“如图（十二），梯形中，，，则方法时，提出了如下三种思路．
思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰 三角形和平行四边形；
思路2：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形；
思路3：延长两腰相交于一点，
转化为等腰三角形．
请你结合以上思路，用适当
的方法证明该命题． ．”的证明
案例13谢谢！

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