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广东省衡水金卷2026届高三年级9月份联考数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若函数的图象关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
3.已知一个底面半径为的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的倍，则该圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，且与垂直，则( )
A. B. C. D.
5.设正数，，，满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则( )
A. B. C. D.
6.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知第二象限角满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知集合，，则( )
A. 当时，集合含有个元素
B. 集合中的元素个数可能为
C. 当时，
D. 当时，
10.记，分别为双曲线的左、右焦点，以为圆心，以的焦距为半径的圆与的右支交于，两点，则( )
A. 的渐近线方程为 B.
C. D.
11.已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心，记为的导数，则( )
A.
B.
C. 在区间上有条平行于轴且被曲线无限逼近的直线
D. 直线是曲线的一条切线
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.设椭圆的焦距为，短轴长为，则的长半轴长为 ，离心率为 ．
13.函数的极小值为 ．
14.在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上的一点，且是的平分线，则 ，的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.在平面直角坐标系中，设为抛物线的焦点，，，为上三点，且为的垂心．
若点的纵坐标为，求直线的斜率
若为坐标原点，求的面积．
16.射频芯片在无线通信技术中起着至关重要的作用，其性能的好坏直接影响到通信的稳定性和效率现从型号为与的两款射频芯片中各抽取枚芯片，每枚芯片为一组，得到它们的频率参数表：
组 组 组 组 组
记型号为的射频芯片所得平均频率为，方差为型号为的射频芯片所得平均频率为，方差为．
记．
(ⅰ)求，
(ⅱ)已知：若，则称这两款射频芯片的电气参数相近判断这两款射频芯片的电气参数是否相近，并证明．
现从这组射频芯片中抽取组进行频率检测，求至少有组的平均频率不低于的概率．
17.如图，四棱锥中，，，，，．
证明：
若平面平面，且四棱锥的高为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.已知函数．
若，求的零点
若，讨论的单调性
若，证明：．
19.已知等差数列与等比数列满足，，．
求，的通项公式
记为数列的前项和．
(ⅰ)求
(ⅱ)若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值．
参考答案
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14.
15.解：由题意可得抛物线，
令易得，故直线的斜率为，
由于为垂心，故BC，
故直线的斜率为．
易得此时轴，
设，则，
则有 ，
解得．
从而的面积为 ．
16.解：由题意可得，
．
易得，
此时，故，
故可推测这两款射频芯片的电气参数相近．
易知共有组的平均频率不低于，
记事件共抽到组的平均频率不低于，
则，
，
故．
17.证明：如图，取的中点，连接，，
由，且为中点，得．
由于，且，，
则四边形为正方形，故．
因为，，，平面，且，
所以平面．
又平面，
故．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，则为四棱锥的高，故．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则．
故．
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，得，故．
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，得，故．
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：时，，
令可得的零点为．
易得，
若，令，解得，，
若，即时，
当时，；当时，，
故在区间上单调递增，在区间，上单调递减，
若，即时，，故在上单调递减，
若，即时，当时，；当时，，
故在区间上单调递增，在，上单调递减．
要证，
因为，故，
故只需证明，
设，则 ，
所以当时，，故在区间上单调递增，
所以，原式得证．
19.解：记公差为，公比为，
则，，
故，即，
故解得．
故，．
当为偶数时，，
而，
两式相减，可得到，
故此时．
当为奇数时，，
于是
考虑可以构成三角形的情况．
当为奇数时，
，，，
于是，
故要能够以，，为三边构成一个三角形，则只需即可．
则，
当时，，，
故此时
当时，显然故由为奇数可知此时的最大值为．
当为偶数时，
，，．
当时，，，，此时显然可构成三角形，
当时，易知，故只需即可构成三角形．
而，
故当为偶数时，以，，为三边必然构成一个三角形综上，的最大值为．
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