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百师联盟2026届高三上学期9月调研考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
3.已知函数且是奇函数，则
A. B. C. D.
4.若，，，则下列说法中正确的是
A. B. C. D.
5.本福特定律在大量进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 ，则实数的最大值为
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，其图象关于直线对称且，当时，，则下列说法不正确的是
A. 函数为偶函数 B. 函数在上单调递增
C. 函数的图象关于直线对称 D.
8.已知关于的方程有一个实根，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有
A. 与表示同一个函数
B. 函数的定义域是
C. 命题：“，”的否定是：“，”
D. 若，则
10.下列说法中正确的有
A. 若，则 B. 若，则有最小值
C. 若，则 D. 若 ，则有最大值
11.已知函数，则下列说法正确的有
A. 当时，只有极大值，无极小值
B. 若函数在处取到极大值，则实数的取值范围为
C. 当时，函数在区间，内取到最大值，则实数的取值范围为
D. 不存在实数，使得函数在区间内既有最大值又有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，若，则实数的取值范围是 ．
13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 ．
14.已知直线与曲线相切，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求实数的取值范围；
设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数
若，求函数的图象在点处的切线方程；
讨论函数的单调性．
17.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
若有两个极值点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
证明：；
求不等式的解集；
若函数的图象在区间上与轴有个交点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的值域；
若在上只有一个零点，求实数的取值范围；
设，是的两个零点，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知，
解不等式，移项得，
通分得，即，
等价于
解得，所以，
由，得，
因为，
当时，，解得，符合题意；
当时，则解得，
综上，，所以实数的取值范围为；
由题意，是的充分不必要条件，所以，
又，
由得，
则解得，所以实数的取值范围是．
16.解：当时，，，
所以，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即．
由，得．
若，则恒成立，函数在上单调递增
若，则，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
17.解：当时，，
则，令，解得．
当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增．
故函数在处取得极小值，极小值为，无极大值．
由题意知，函数的定义域为，，
因为有两个极值点，
所以方程在上有两个不同的根，
即方程在上有两个不同的根，
即方程在上有两个不同的根
令，，则，解，得
则当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以．
因为，当时，，当时，，当时，，
所以函数大致图象如图．
又在上有两个不同的根，
所以实数的取值范围为
18.解：证明：．
解：因为，所以．
因为的定义域为，，
所以函数是奇函数，所以．
又因为函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以，解得，
所以不等式的解集为
解：因为的图象在区间上与轴有个交点，
所以在上有个实数根，
即在上有个实数根．
令，
因为在区间上单调递增，所以，
由得，．
令，，
由对勾函数的性质知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又，，，
作函数大致图象如图，
当时，函数与的图象有两个交点，
即函数的图象在区间上与轴有个交点，
所以，即实数的取值范围为

19.解：将代入函数，得
，
设，
则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
所以，
即当时，函数的值域为；
由，得，
设，则，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，且极大值为，
在处取得极小值，且极小值为，
，
当时，，
所以实数的取值范围是
证明：因为，是的两个零点，
所以，，
则，
即，
因为，，，
所以，
所以，
设，，
则，
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增，
所以函数的最小值为，
所以，
即
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