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广东省部分学校2026届高三上学期9月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则“”是“是奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在中，已知，则( )
A. B. C. D.
5.一组数据，，，，的第百分位数为，若，，三个数成等差数列，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，，若恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则( )
A. B. C. D.
8.若对任意实数，函数在上最少有三个不同的零点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，，分别为，的中点，，，则( )
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面平面
10.已知双曲线经过点，为的右焦点，为坐标原点，则( )
A. 直线的斜率为
B. 的离心率为
C. 的两条渐近线的夹角小于
D. 若点，是左支上一点，则的最小值为
11.已知函数的导函数为，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则，
C. 若，则，
D. ，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知，则 ．
14.在平面直角坐标系中，斜率为的直线与圆交于，两点，且射线，所对应的象限角分别为，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是等比数列，且，．
求数列的通项公式
求数列的前项和．
16.本小题分
甲、乙两位同学参加答题活动，已知两人各答道试题，答对每道试题的概率均为假定两位同学的答题情况互不影响，且每位同学每道试题答对与否相互独立．
记甲同学答对的试题数为，求的分布列与期望
求甲同学答对的试题数比乙同学答对的试题数多的概率．
17.本小题分
已知函数
若，证明：，
若存在两个极值点，求的取值范围．
18.本小题分
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动“菱角”折纸教程：如图，将一张长方形的纸条用虚线分成个全等的等腰直角三角形，沿着虚线折叠便可得到一个如图所示的“菱角”．
证明：平面．
试判断该“菱角”所有的顶点是否在同一个球面上，并说明理由．
求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的焦距为，且与直线相切直线与交于，两点，为坐标原点，是上的点异于，，直线，的斜率分别为，．
求的方程．
若的面积为，求的值．
是否存在定点，使得为定值若存在，求出该定点的坐标若不存在，说明理由。
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由，，得，，
因为是等比数列，
设的公比为，
所以，得，
则，
则；
记的前项和为，
则
．
16.解：由题可知，的可能取值为，，，，
，，
，．
的分布列为：
．
记事件为“甲同学答对的试题数比乙同学答对的试题数多”，
甲同学答对的试题数为，乙同学答对的试题数为，
则
．
17.证明：因为，所以，，则．
令，，则．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，即恒成立，则在上单调递增，
故，．
解：由，，得．
令，，则．
当时，易得在上恒成立，则在上单调递减，
则最多只有一个零点，则不可能存在两个极值点，不符合题意．
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，从而
若，则，则在上单调递增，所以没有极值点，不符合题意．
若，则，，，．
令，，则，
当时，，单调递增，
则，则，
从而
令，，则恒成立，
所以在上单调递减，则，即，则，
故，，，，
则当时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
故是的极大值点，是的极小值点，符合题意．
综上所述，的取值范围为．

18.证明：由题可知，，，， 则平面．
因为平面，所以 同理可得，
因为，所以平面．
解：由题可知，该“菱角”由两个正三棱锥，组成，且．
根据对称性，可知，在平面内的投影为的中心．
若该“菱角”所有的顶点在同一个球面上，则为球心，连接
不妨令，则，，
因为，所以该“菱角”所有的顶点不在同一个球面上．
方法一：
解：由知的中心为，过作的平行线，易得该直线与，两两垂直．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

令，得，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
由可得，令，得．
设平面的法向量为，
由可得，令，得．
，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
方法二：
令，可得，，
如图，过作，垂足为，则，．
过作，交于点因为，所以，
则即为二面角的平面角．
连接，则，．
在中，．
在中，，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
19.解：因为的焦距为，所以．
由得，
则，得，
则，
则的方程为．
设，，
，，．
的面积，整理得，得或，
则或
设，则
．
由可知，，，则．
假设为定值，则．
要使方程恒成立，则，解得或
且，
故存在定点或，使得为定值．
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