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2025-2026学年江苏省无锡市梅村高级中学高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则其共轭复数( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.函数的最小正周期记为若，且的图象关于点中心对称，则( )
A. B. C. D.
7.已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，点在曲线上，则( )
A. 有最大值为，最小值为 B. 有最大值为，最小值为
C. 有最大值为，无最小值 D. 无最大值，有最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则下列说法中正确的是( )
A. 若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上
B. 若复数满足，则复数
C. 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离也就是复数对应的向量的模
D. 若，则
10.已知的内角，，的对边分别为，，，满足，且，则( )
A. B.
C. 的周长为 D. 的面积为
11.如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则( )
A. 存在，使得
B. 当时，存在，使得平面
C. 当，时，四面体的体积为
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则的前项和 ______．
13.已知，，，，则的值为______．
14.定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
求的取值范围；
若为线段的中点，直线与相交于点，求．
16.本小题分
已知函数，．
求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线；
请在以下三个函数：
；；中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，，．
求角；
若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
18.本小题分
已知数列的前项和为，满足，数列满足，．
求数列、的通项公式；
，求数列的前项和；
对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中．
讨论的单调性；
若函数有两个极值点，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.设，
因为在三角形中，，
所以，
所以
，
又，所以，
故的取值范围为；
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
因为为的中点，
所以，
又，，三点共线，所以存在使得，
所以，
所以，解得，
则
．
16.解：证明：令直线与曲线切于点，
所以导函数，所以，
所以切线方程为，设，
此时曲线在处的切线方程为，所以是曲线的切线，
联立切线方程和，所以，
所以曲线在处的切线为，
所以也是的切线．
所以直线既是曲线的切线，也是曲线的切线；
若选，当时，函数，函数显然无最大值．不符合题意，
若选，函数，
则导函数，
当或时，导函数，当，导函数，
所以函数在上单调递减；上单调递增，上单调递减，
当时，且，，，所以．
若选，函数，
那么导函数，
当，导函数，当或时，导函数，
因此函数在上单调递增；上单调递减；上单调递增，
时，且，，，所以．
17.在中，由正弦定理及，
得，
即，
而，，解得，
又，所以；
因为是的中点，所以，
则，
由正弦定理得，，
即，
因为为锐角三角形，所以，
所以，所以，
所以
所以
所以
所以
即边上的中线的取值范围为．
18.解：在数列中，当时，，
当时，由得
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即．
在数列中，当时，有，
叠加得，， 故，
当时，也符合上式，
所以．
当为偶数时，
．
当为奇数时，
．
对任意的正整数，有，
假设存在正整数，使得，则，
令，
解得，又为正整数，
所以或满足题意．
19.解：由题意得，函数定义域为，且，，
令，
当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减．
当即时，函数有两个零点：，
当变化时，，的变化情况如下表所示：
单调递减 单调递增 单调递减
综上，当时，在内单调递增，
在和上单调递减；
当时，在上单调递减．
证明：由知，时，有两个极值点，，
则，是方程的两个根，由韦达定理，得，
所以，
，
令，，则，
当时，，则在区间上是单调递减，
从而，
故．
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