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2024-2025学年西藏昌都第一高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，若，则集合中的元素有个．
A. B. C. D.
2.复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
4.某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为( )
A. B. C. D.
5.若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
6.从，，，，，中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为奇数”，则( )
A. B. C. D.
7.某项羽毛球单打比赛规则是局胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
8.小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为，，在张家界去徒步爬山的概率为，在长沙去徒步爬山的概率为，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 当取最小值时，展开式的二项式系数的和为
C. 当时，展开式中的常数项为 D. 当时，展开式中没有项
10.下列关于随机变量的说法正确的是( )
A. 若服从正态分布，则
B. 服从两点分布，且，设，那么
C. 若服从超几何分布，则期望
D. 若服从二项分布，则
11.下列的叙述正确的有( )
A. 关于一元线性回归，若相关系数，则与的相关程度很强
B. 关于一元线性回归，若决定系数越大，模型的拟合效果越差
C. 关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大
D. 关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”参考数据：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第项，则展开式中的系数
为______．
13.现有根小棒，其长度分别为，，，，，，从这根小棒中随机抽出根，则抽出的根小棒首尾链接不能折断小棒，能构成三角形的概率是______．
14.在某次学校的游园活动中，高二班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了个红球和个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出个球，摸到个或个以上红球即为中奖，则中奖的概率是______精确到
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间单位：分钟，并将所得数据绘制成频率分布直方图如图，其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．
Ⅰ求直方图中的值；
Ⅱ如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校名新生中有多少名学生可以申请住宿；
Ⅲ从学校的新生中任选名学生，这名学生中上学所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．以直方图中新生上学所需时间少于分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于分钟的概率
16.本小题分
工信部发布的“十四五”促进中小企业发展规划中明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化、新颖化优势的中小企业如表是某地年新增企业数量的有关数据：
年份年
年份代码
新增企业数量
求和的相关系数精确到，并推断和的线性相关程度若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；
请根据表中所给的数据，求出关于的经验回归方程，并预测年此地新增企业的数量．
参考公式：相关系数，经验回归方程，其中
．
参考数据：．
17.本小题分
为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取人，从文史类乙班抽取人参加环保知识测试
根据题目条件完成下面列联表，并据此判断你是否有的把握认为环保知识与专业有关
优秀 非优秀 总计
甲班
乙班
总计
为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分分，优秀的同学得分以上通过预选，非优秀的同学得分以上通过预选，若每位同学得分以上的概率为，得分以上的概率为，现已知甲班有人参加预选赛，其中人为优秀学生，若随机变量表示甲班通过预选的人数，求的分布列及期望附：，
18.本小题分
已知函数，其中．
当时，求曲线在处的切线方程；
求的单调区间；
当时，设的两个零点为，，求证：．
19.本小题分
是杭州一家人工智能技术研究公司推出的助手它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习某科技公司在使用对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，的回答是否正确相互独立该公司科技人员小张想挑战，小张和各自从给定的个问题中随机抽取个作答已知在这个问题中，小张能正确作答个问题，答错个问题．
求小张能全部回答正确的概率；
求一个问题能被回答正确的概率；
设小张和答对的题数分别为和，求的分布列，并比较与的期望大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ由直方图可得：．
所以 ．
Ⅱ新生上学所需时间不少于小时的频率为：，
因为，
所以名新生中有名学生可以申请住宿．
Ⅲ的可能取值为，，，，．
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，
，
，
，
，
．
所以的分布列为：
或
所以的数学期望为．
16.，
，
可得相关系数，
变量和的线性相关程度很强．
由知，，
，
样本中心点在回归方程上，则，
；
预测年，即当时，由经验回归方程可得，
估计年此地新增企业的数量约为家．
17.解列联表如下
优秀 非优秀 总计
甲班
乙班
总计
，
所以有的把握认为环保知识与专业有关 分
不妨设名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件，，分别表示小王，小张，小李通过预选，则， 分
随机变量的取值为，，， 分
所以，
，
，
分
所以随机变量的分布列为：
分
18.解：已知函数，
当时，，
则，即，，
故当时，曲线在处的切线方程为．
由，，
则，
令，则；
令，则，
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，
由知在上单调递增，在上单调递减，
又，是的一个较小的零点，不妨设，
要证，只需证，
因为，且在上单调递减，
从而只需证即可．
，
令，
在上单调递增．
，即证，即证．
19.解：设小张答对的题数为，
则
设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被正确回答”，
由题意知，，，
则，
已知小张答对的题数为，则的可能取值是，，，
则，
，
，
所以，
已知答对的题数为，则∽，
故E，
所以
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