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2025-2026学年云南省文山州富宁县上海市新纪元总校高二（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且与互相垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
2.某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有张抽奖券，其中张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出张抽奖券，则小李能获得奖品的概率为( )
A. B. C. D.
3.设，是一个随机试验中的两个事件，，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么 ( )
A. B. C. D.
5.向量，，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D.
6.在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若为钝角，则
D. 若在上的投影向量为，则
7.如图在三棱柱中，是面的中心，且，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，在长方体，若，，分别是，的中点，则下列结论中不成立的是( )
A. 与垂直
B. 平面
C. 与所成的角为
D. 平面
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
10.某社团开展“建党周年主题活动学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则( )
A. 两人均获得满分的概率 B. 两人至少一人获得满分的概率
C. 两人恰好只有甲获得满分的概率 D. 两人至多一人获得满分的概率
11.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与是平行直线
B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为
D. 平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则平面的法向量的坐标为______．
13.已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是______．
14.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，，若，就称“甲、乙心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为，，，而且这人之间的测试互不影响．
Ⅰ求甲、乙、丙都通过测试的概率；
Ⅱ求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
Ⅲ求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
16.本小题分
如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点．
求证：平面；
求证：平面
17.本小题分
如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．
证明；平面．
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的培训，培训前需要面试，面试时共有道题目，答对道题则通过面试前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件．
求事件发生的概率；
求事件和事件同时发生的概率；
求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
19.本小题分
在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”，
Ⅰ人之间的测试互不影响，相互独立，
；
Ⅱ；
Ⅲ设事件“甲、乙、丙至少有一人通过”，则“甲、乙、丙三人都没通过”，
．
16.证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
在长方体中，，，、分别是、的中点，
则，，，，
，
平面的一个法向量，
，
平面，平面．
，，
，，
，，
，、平面，
平面
17.解：证明：在正四棱柱中，，，分别为，的中点，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，平面，
平面．
，
设与平面所成角为，
则与平面所成角的正弦值为：
．
18.
19.解：Ⅰ证明：，为中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
，，，．
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，
，．
Ⅱ设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
Ⅲ设平面的一个法向量为，
，，
则，取，得，
设平面与平面夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
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