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2025-2026学年重庆外国语学校高二（上）第三次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，若，在复平面中对应的向量分别为为坐标原点，且，则( )
A. B. C. D. 或
3.若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
4.如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱若二面角的平面角为，且，，，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
6.九章算术是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体如图，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B.
C. D.
7.已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图，图象上两点，关于原点对称，点的横坐标，过点，分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为，，，将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知分别为直线，的方向向量不重合，，分别为平面，的法向量不重合，则下列说法中，正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设，，是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是( )
A.
B.
C. 一定不与垂直
D.
11.在棱长为的正方体中，点满足，且，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则面
B. 若，则
C. 若，则到平面的距离为
D. 若，时，直线与平面所成角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则______．
13.已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面，，，，则异面直线与之间的距离为______．
14.如图，水平广场上有一盏路灯挂在长的电线杆上，记电线杆的底部为点，把路灯看作一个点光源，身高的女孩站在离点的点处若女孩向点前行到达点，然后从点出发，沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶视为一点的影子所围成封闭图形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若，求，的值；
若，求的值．
16.本小题分
如图，已知是底面边长为的正四棱柱，为与的交点，为与的交点．
证明：平面；
若点到平面的距离为，求正四棱柱的高．
17.本小题分
如图在平行六面体中，，．
求证：直线平面；
求直线和夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点．
求证：平面；
当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在四边形中，，，，如图，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点．
求证：；
求二面角的余弦值；
判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
，．
，
，
解得，．
，，
，
又，，
求得．
16.解：证明：在正四棱柱中，连接，
由，，得四边形为平行四边形，
则，，
又为与的交点，为与的交点，
则，，
因此四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面．
以为坐标原点，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，设，则，
设平面的一个法向量为，
而，
则，则，
令，得，又，
由点到平面的距离为，
得，
解得，
所以正四棱柱的高为．
17.证明：设，，，则为空间的一个基底，
则，，，
因为，，
所以，，
所以，，
所以，，又，
所以平面．
解：由得，
所以，
，
所以，则，
所以，
设与的夹角为，则．
所以直线和夹角的余弦值为．
18.证明：取的中点，连接，，
为的中点，且，
又，，则且，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
取的中点为，连接，，则，
平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，则，
又，，，则，
故，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由是边长为的等边三角形，得，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得，，
即平面的一个法向量为；
，
直线与平面所成角的正弦值为．
19.在图中，由，，得，因此，
因此，由，得，即，
在图中，，取的中点，连接，，由为的中点，
得，因此，由，得，而，
，平面，因此平面，又平面，因此．
由已知及得平面平面，平面平面，，
于是平面，直线，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因此，，，，
，
设平面的法向量为，
因此，令，因此，，
因此平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
因此，令，因此，，
因此平面的法向量为，
因此，
由图知二面角为锐二面角，因此二面角的余弦值为．
假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，
在中，，因此，
因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，
因此，因此，因此点到平面的距离为，
令，由得，，
又平面的法向量为，
因此点到平面的距离为，解得，
线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且．
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