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2024-2025学年内蒙古赤峰实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.，，若，则( )
A. B. C. D.
3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在矩形中，是的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的一条对称轴方程为，则可能的取值为( )
A. B. C. D.
10.已知向量，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若，则
11.已知的内角，，的对边分别是，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，则是钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知向量，的夹角为，，，则 ．
14.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
当且时，求；
当，，求向量与的夹角．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若的面积为，求．
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示先将图象上的每个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到函数的图象．
求的解析式；
已知，均为锐角，，，求的值．
18.本小题分
已知向量，，令．
求的最小正周期和单调递增区间；
已知当时，关于的方程有两个不等实根，求的取值范围和这两根之和；
在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，已知，，求周长的取值范围．
19.本小题分
若点，，都在半径为的圆上，且存在实数，，，使得，则称为，，关于圆的“和谐数对”．
若，，关于圆的“和谐数对”为，求证：；
若，，关于圆的“和谐数对”为，求实数的取值范围；
若，，关于圆的“和谐数对”为，且为锐角三角形，，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.且
15.解：根据题意，向量，，
则，
，
若，则有，
解得或，
又因为，所以．
根据题意，若，，则，
又由，且向量，
则有，解得，
所以，
所以，
又是向量与的夹角，则，所以．
16.解：因为，所以由余弦定理得，
而，因此．
又因为，所以，即，解得，
而，因此．
由知：，，因此．
因为的面积为，所以，即，解得．
又因为由正弦定理得，，所以，
即，
即，解得舍去．
17.解：由函数的部分图象知，，解，所以，
又，所以，，；解得，；
因为，所以，所以；
将图象上的每个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得，
再将所得图象向右平移个单位长度，得，
向下平移个单位长度，得，所以；
因为，均为锐角，，所以，，，
由，，所以，由，得，
所以．
18.解：因为向量，，令，
可得，
可得函数的最小正周期，
令，，解得，，
所以函数的最小正周期为；函数的单调递增期间为，；
当时，可得，
当，且时，有两个不等的两个根，
且，可得，
所以，且两根之和为；
在锐角三角形中，因为，即，即，
可得，
可得，可得，
又因为，
由正弦定理可得，
所以，，
所以的周长为
，
因为，所以，
所以该三角形的周长为．
19.证明：根据题意可知，，，关于圆的“和谐数对”为，
所以，即，
两边平方得，
所以，；
根据题意可知，，，关于圆的“和谐数对”为，
所以，所以，
两边平方得，
所以，
因为，所以，
所以实数的取值范围是；
根据题意可知，，，关于圆的“和谐数对”为，
所以，
即，
两边平方得，
因为，且为锐角三角形，所以，
，
所以，
所以，
所以，
整理得，
解得或，
因为为锐角三角形，且，
所以，，，
所以，当时取等号，所以的最大值为．
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