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2025-2026学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y=2x2+3与y轴的交点是（　　）
A. （0，5） B. （0，3） C. （0，2） D. （2，1）
2.一元二次方程（x+2）（x-5）=0的根是（　　）
A. -2 B. 5 C. 2或-5 D. -2或5
3.下列函数的图象，经过点（1，-2）的是（　　）
A. y=x B. y=2x-4 C. y=-x+1 D. y=2x-1
4.下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A. AB∥CD，AD=BC B. ∠A=∠B，∠C=∠D
C. AB=AD，CB=CD D. AB∥CD，AB=CD
5.有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛.某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的（　　）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 总分
6.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若OE=3，则CD的长为（　　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
7.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是（　　）
A. 16（1+x）2=23 B. 23（1-x）2=16 C. 16（1+2x）2=23 D. 23（1-2x）2=16
8.小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（　　）
A. 2.2 B. C. D.
9.如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE=1：2，S△ADE=3，则S△ABC为（　　）
A. 9
B. 12
C. 24
D. 27
10.已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）上有三点（2，y1），（4，y2），（6，y3）.若y1y3＜0，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A. y2＜y1＜y3 B. y1＜y2＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
12.将直线y=2x向上平移3个单位长度后，得到的新直线解析式为______.
13.甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：cm）的平均数和方差如下表：
运动员 平均数 方差
甲 601 95.4
乙 601 243.4
则这两名运动员测试成绩更稳定的是______（填“甲”或“乙”）.
14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=8，点D是AC的中点，则BD= .
15.如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为______.
16.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，当点C，B′，C′三点共线时，AB′交DC于点E，则DE的长度是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题10分)
如图，点C为Rt△ABD下方一点，连接AC、BC，将AC绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，已知AB=AD，∠BAD=90°，求证：BC=DE.
19.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题10分)
如图，平面直角坐标系中，点A（-1，3），B（1，1）.
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）求△OAB的面积.
21.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，O是BD的中点，点E在线段OB上.
（1）尺规作图：求作菱形EFGH，使得点F，G，H分别在BC，OD，AD上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，若BC=8，CD=4，求BF的长.
22.(本小题10分)
已知实数a,b,c,m,n满足，.
（1）当a=1，b=3，c=6时，求m-n的值；
（2）求证：为非负数.
23.(本小题10分)
2025年4月24日17时17分，火箭点火发射，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功.某校八年级举办以“大国航天筑梦星辰”为主题的航天知识竞赛，先后进行了笔试和面试.在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩分别是9.5分，9.4分，8.8分.在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分的平均数.对甲、乙、丙三位同学的面试成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
信息一：评委给甲同学打分的条形统计图
信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图
信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数
甲 7.8 8 c
乙 a 9 10
丙 8.7 b 8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a=______分，b=______分，c=______分；
（2）在面试中，评委对______的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”），你可以依据的统计量是______（①平均数，②中位数，③众数，④方差）（填序号，填一个即可）；
（3）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学.
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=mx（x-2m）（m≠0）.
（1）当m=1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点.
①若对于x1=-2，x2=3，有y1=y2，求m的值；
②若对于x1=2m,1≤x2≤2，都有y1＜y2，求m的取值范围.
25.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上（不与B，C重合），点E在AB边，且∠ADE=∠B，过点A作AF⊥DE于点F，点G是BD的中点，连接FG.
（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
（2）求证：∠FGD=2∠ABC；
（3）如图2，过点A作AH⊥BC于点H，判断的值，并说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】x≥3
12.【答案】y=2x+3
13.【答案】甲
14.【答案】4
15.【答案】45
16.【答案】
17.【答案】．
18.【答案】证明见解答．
19.【答案】，．
20.【答案】y=-x+2；
2
21.【答案】解：（1）如图：菱形EFGH即为所求；
（2）在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，
∴BD=4，
∵O是BD的中点，
∴BD=BD=2，
∵∠CBD=∠OBF，∠BOF=∠C=90°，
∴△BCD∽△BFO，
∴，即：，
解得：BF=5．
22.【答案】m-n=±1；
证明：∵，．
∴
=
=m2+2mn+n2-4mn
=m2-2mn+n2
=（m-n）2≥0，
∵a≠0，
∴a2＞0，
∴，
即是非负数
23.【答案】8.6，8.5，8；
丙，④；
综合成绩最高的是乙同学，乙同学将代表年级参赛
24.【答案】（1，-1）；
①；②
25.【答案】∵AB=AC，AD=CD，
∴∠B=∠C，∠C=∠DAC，
∵∠ADE=∠B，
∴∠DAC=∠ADE，
∴DE∥AC；
如图1，延长DE至点K，使得FK=FD，连接BK，AK．
∵AF⊥DE，
∴AF垂直平分DK．
∴AK=AD，
∴∠AKD=∠ADK，
∵∠ABC=∠ADE，
∴∠AKD=∠ABC，
又∵∠AEK=∠DEB，
∴△AEK∽△DEB，
∴∠KAB=∠EDB，
∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠C+∠CAD，∠C=∠ABC=∠ADE，
∴∠DAC=∠EDB，
∴∠KAB=∠DAC，
在△AKB和△ADC中，
，
∴△AKB≌△ADC（SAS），
∴∠ABK=∠C，
∵DF=FK，DG=BG，
∴FG是△BDK的中位线，
∴FG∥BK，
∴∠KBD=∠FGD，
∵∠KBD=∠ABK+∠ABC，
∴∠FGD=∠ABK+∠ABC=∠C+∠ABC=2∠ABC，
即∠FGD=2∠ABC；
；理由如下：
如图2，连接HF．
∵AH⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFD=∠AHC=90°，
∵∠ADE=∠B，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠C，
∴△AFD∽△AHC，
∴∠FAD=∠HAC，，
∴∠FAH=∠DAC，，
∴△AFH∽△ADC，
∴∠AHF=∠C，
∴∠GHF=90°-∠AHF=90°-∠C，
又∵∠FGH=2∠B，∠B=∠C，
∴∠GHF=∠GFH=90°-∠B，
∴FG=GH，
∴
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