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2024-2025学年广东省中山市华辰中学厚德班八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知⊙O的半径为3，OA=2，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点A在圆上 B. 点A在圆外 C. 点A在圆内 D. 不能确定
2.如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点A对应的数是（　　）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
3.关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　）
A. x＞0时，y随x的增大而减小 B. 当1＜x＜6时，1＜y＜6
C. 当x≤-1时，y有最大值为-6 D. 它的图象位于第一、三象限
4.如图，量角器外缘上有A，B，C三点，且A，B两点所表示的读数分别是130°，100°，则∠ACB应为（　　）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 40°
5.如图，使△ABC∽△ADE成立的条件是（　　）
A. ∠A=∠A
B. ∠ADE=∠AED
C. ∠ABC=∠ADE
D.
6.在反比例函数的图象上有三个点（-1，y1），（-2，y2），（-3，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y2＜y3＜y1 B. y1＜y3＜y2 C. y1＜y2＜y3 D. y3＜y1＜y2
7.编织草帽是云南各族尤擅的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜.某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示）.若这种圆锥形草帽的母线长为35厘米，底面圆的半径为20厘米，则该圆锥形草帽的侧面积为（　　）
A. 700π平方厘米 B. 900π平方厘米 C. 1400π平方厘米 D. 1600π平方厘米
8.如图，一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πcm,假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了（　　）
A. 108°
B. 120°
C. 135°
D. 144°
9.如图，矩形ABCD对角线的交点M在x轴上，边AB平行于x轴，OE：OF=1：3，S△BMF=1，反比例函数经过点B、D两点，则k的值是（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10.规定：若两个函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”.下列四个函数中，与二次函数y=2x2-4x-3互为“兄弟函数”的是（　　）
A. y=x+1 B. y=-x2+1 C. D. y=3x2-1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是______．
12.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，圆心到水面AB的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为______米.
13.如图，一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数为常数且m≠0）图象的都经过A（-1，2），B（2，-1），结合图象，则不等式的解集是______.
14.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置，若该车车身总长AB约为5米，则车头A与后视镜C的水平距离约为______米.（提示：黄金分割比=）
15.如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网1.6m远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为0.9m的球网，而且落在离球网3.2m远的位置上，则球拍击球的高度h为______m.
16.如图，在锐角△ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s,点E运动的速度为2cm/s,如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为______秒.
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.已知=，求下列算式的值：
（1）；
（2）（a+2b≠0）．
四、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，测得AB=24cm,CD=8cm.
（1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
19.(本小题9分)
边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若CF的长为1，求CE的长．
20.(本小题9分)
《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴.飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度AB.如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD=64.5米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿BE所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的像（∠CED=∠FEG），GE=2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米.已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且点B，D，E，G在同一水平线上.求飞虹塔的高度AB.
21.(本小题9分)
心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
22.(本小题9分)
小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案.如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF.
（1）求k值；
（2）计算图形阴影部分面积之和.
23.(本小题9分)
一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
24.(本小题9分)
操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
说明：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点
纸片利用率=×100%
发现：
（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：
（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．
说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】k＞2
12.【答案】1
13.【答案】x＜-1或0＜x＜2
14.【答案】
15.【答案】1.35
16.【答案】3或4.8
17.【答案】解：设==k，则a=3k，b=2k，
（1）=；
（2）===．
18.【答案】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，
以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，
如图1所示．
（2）连接OA，如图2所示：
设OA=x,AD=12cm,OD=（x-8）cm,
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x-8）2，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm.
19.【答案】（1）证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=FEC，
∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽ECF；
（2）解：∵△ABE∽ECF，
∴=，
∴=，
解得CE=2．
20.【答案】解：∵∠CED=∠FEG，∠CDE=∠FGE=90°，
∴△CDE∽△FGE，
∴，
∴，
∴DE=6米，
∴BE=BD+DE=64.5+6=70.5米，
∵∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴，
∴AB=47米，
答：飞虹塔的高度AB为47米．
21.【答案】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴y1=2x+20．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴
当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当，
∴y1＜y2
∴第30分钟注意力更集中．
（2）令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8
令y2=36，
∴，
∴
∵27.8-8=19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
22.【答案】解：（1）∵点A在反比例的图象上，
∴；
（2）连接AC角OD于N，设BF与OE交于点M，如图所示：

∵四边形AOCD为菱形，
∴AC与OD互相垂直平分，OA=OC，
∵点A，
∴AN=CN=2，ON=，
∴AC=2AN=4，OD=2ON=，
∴S菱形OADC=AC OD=×4×=，
在Rt△AON中，AN=2，ON=，
由勾股定理得：OA==4，
∴OA=OC=AC=4，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴S扇形OAC==，
∴S阴影ADC=S菱形OADC-S扇形OAC=，
∵四边形OBEF为菱形，
∴OE和BF互相垂直平分，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBM=|k|=，
∴S△OBF=2S△OBM=，
∴图形阴影部分面积之和为：．
23.【答案】解：（1）∵四边形EGFH为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80-x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
解得x=48．
答：正方形零件的边长为48mm．
（3）设EF=x，EG=y，
∵△AEF∽△ABC
∴，
∴=
∴y=80-x
∴矩形面积S=xy=-x2+80x=-（x-60）2+2400（0＜x＜120）
故当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．
24.【答案】解：发现：（1）小明的这个发现正确．
理由：
解法一：如图一：连接AC、BC、AB，
∵AC=BC=，AB=2
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠BCA=90°，
∴AB为该圆的直径．
解法二：如图二：连接AC、BC、AB．
易证△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，
即∠BCA=90°，
∴AB为该圆的直径．
（2）如图三：∵DE=FH，DE∥FH，
∴∠AED=∠EFH，
∵∠ADE=∠EHF=90°，
∴△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴BC=8，
∴S△ACB=16．
∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=37.5%；
探究：（3）过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，
设AP=a，
∵PQ∥EK，
易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，
∴AP：AQ=QK：EK=1：2，
∴AQ=2a，PQ=a，
∴EQ=5a，
∵EC：ED=QE：QK，
∴EC=a，
则PG=5a+a=a，GL=a，
∴GH=a，
∵，
解得：GB=a，
∴AB=a，AC=a，
∴S△ABC=×AB×AC=a2，
S展开图面积=6×5a2=30a2，
∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=49.86%．
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