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2025-2026学年贵州省贵阳一中高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点坐标为( 7, 0)，则 =( )
A. 3 B. 7 C. 2 3 D. 2 7
2.记 是公差不为 0 的等差数列{ }的前 项和，若 2 = 3， 1 3 = 4，则数列{ }的公差为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
3.已知圆 2 2 2 21： + = 4 与圆 2：( 3) + ( + 4) = 9，则圆 1与圆 2位置关系( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内含
4
2 2
.设 1和 2为椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点，若 1， 2， (0,2 )是等边三角形的三个顶点，则椭
圆的离心率为( )
A. 7 B. 2 7 C. 3 D. 2 37 7 3 3
5.已知 = 2 3 2， = 5 5 + 1， = 3 2 2 2 + 1，则 ， ， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.已知过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 作斜率为 2 2的直线 ， 与 的一个交点 位于第四象限，且
与 的准线交于点 ，若| | = 8，则| | =( )
A. 5 72 B. 2 C. 3 D. 3
7.若圆 ： 2 + 2 6 + 8 = 0 上至少有 3 个点到直线 ： 1 = ( 3) 5的距离为2，则 的取值范围是
( )
A. [ 3, 0) ∪ (0, 3] B. [ 3, 3]
C. ( ∞, 3] ∪ [ 3, + ∞) D. ( ∞, 3) ∪ ( 3, + ∞)
8.设点 是曲线： = 3 3 + ( 为实常数)上任意一点， 点处切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是( )
A. [ 23 , ) B. (
, 52 6 ]
C. [0, ] ∪ [ 5 2 6 , ) D. [0,
) ∪ [ 2 2 3， )
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 29.已知双曲线 ： 6 3 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2，直线 ： = 交 于 ， 两点，则( )
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A. | | < 22 B. || 1| | 1|| = 2 3
C. 1 2的最小值为 3 D. 2到 的距离的最大值为 3
10.数列{ }的前 项和为 ，已知 4 2 = + 2 + 1，下列说法中正确的是( )
A. { }为等差数列
B. { }可能为等比数列
C. { }为等差数列或等比数列
D. { }可能既不是等差数列也不是等比数列
11.如图，在正方体 1 1 1 1中，点 为线段 的中点，点 在线段 1上，下列说法正确的是( )
A. 1 与平面 所成角为 60°
B.平面 与平面 31 的夹角的余弦值为 3
C.当点 是线段 1的中点时， ⊥平面 1
D.当点 与点 重合时，点 到平面 1 的距离最小
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 ( ) = | 1|， 1 < 0， 2 > 0，函数 ( )的图象在点 ( 1, ( 1))处和点 ( 2, ( 2))处的两条
| |切线互相垂直，且分别交 轴于 ， 两点，则| |的取值范围是 ．
2
13
2
.已知椭圆 ： 4 + 3 = 1， 1， 2为 的左、右焦点， 为 上的一个动点(异于左右顶点)，设△ 1 2的
外接圆面积为 1，内切圆面积为 2，则 1 + 2 2的最小值为______．
14 1.在数列{ }中， 1 = 2， +1 + 1 = ， ∈ ，则 2022 =______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1，且数列{ }是以 2 为公比的等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求 1 + 3 + … + 2 +1．
16.(本小题 15 分)
如图，空间几何体 中，△ 、△ 、△ 均是边长为 2 的等边三角形，平面 ⊥平面 ，
且平面 ⊥平面 ， 为 中点．
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(1)证明： //平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知{ }是各项均为正数的等比数列， 1 = 4，且 1， 2 + 18， 3成等差数列．
(1)求{ }的通项公式；
(2) 1设 = ，求数列{ }的前 项和．4 4 +1
18.(本小题 17 分)
2 2
已知 (4,0)和 (0,3) 分别是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上两点．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若过点 的直线 交 于另一点 ，且△ 的面积为 6，求直线 的方程．
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = ．
(1)当 = 1 时，求曲线 ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(0,1)
13.2
14.2
15.解：(1)根据题意：数列{ }是以 2 为公比的等比数列，
且 1 = 1 = 1，
则 = 2 1，
当 ≥ 2 时， = 1 = 2 2(2 1) = 2 2．
1 = 1 不符合 = 2 2 ．
1, = 1
则 = 2 2, ≥ 2，
(2)由(1)知， 3， 5，…， 2 +1是以 2 为首项，4 为公比的等比数列，
2(1 4 ) 2(4 1)
则有 3 + 5 + … + 2 +1 = 1 4 = 3

+ + + … + = 1 + 2(4 1) = 2
2 +1+1
则 1 3 5 2 +1 3 3 ．
16.(1)证明：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， ， ．
由平面 ⊥平面 ，且交于 ， 平面 ， ⊥ 有 ⊥面 ，
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由平面 ⊥平面 ，且交于 ， 平面 ， ⊥ 有 ⊥面
所以 // ，
//
平面 ，所以 //平面 ，
平面
由 = ， = 有 // ，
//
平面 ，所以 //面 ，
平面
//面
//面 ，所以面 //面 ，
∩ =
所以 //平面
(2)解：法 1：以点 为原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系
由 ⊥面 ，所以面 的法向量可取 = (0,0,1)，
点 (1,0,0)，点 ( 1,0,0)，点 ( 12 ,
3
2 , 3)，
= ( 2,0,0)， = ( 3 , 3 ，2 2 , 3)
2 = 0
设面 的法向量 = ( , , )，所以 3 + 3 + 3 = 0，取 = (0,2, 1)，2 2
= | | = | 1 5设二面角 的平面角为 ，据判断其为锐角． | | = ，|| | 1× 5 5
法 2：过 点作 垂线，垂足为 ，连接 ．
由(1)问可知 ⊥ ，又因为 ⊥ ，所以 ⊥平面 ，则有 ⊥ ．
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所以∠ 为二面角 的平面角．
//
由题可知 3 15 1 ，所以 = ，则2 = ，2 2
3
cos∠ = 2 5所以， = =15 5 ．
2
17.解：(1)设{ }的公比为 ，由{ }的各项均为正数，可得 > 0，
因为 1， 2 + 18， 3成等差数列，
所以 1 + 3 = 2( 2 + 18)，
又因为 1 = 4，可得 4 + 4 2 = 2(4 + 18)，
化简得( + 2)( 4) = 0，
解得 = 4 或 = 2(舍去)，
故{ }的通项公式为 = 4 × 4 1 = 4 ；
(2)由(1) 1 1 1 1 1知 = 4 4
= 4 4 +1 = +1 4 4 ( +1)
= +1，
设{ }的前 项和为 ，
则 = 1
1
2 +
1 1 1 1 1 1 1 2 3 + + 1 + +1 = 1 +1 = +1．
2 2
18.(1)因为 (4,0) 和 (0,3)是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上两点，
42 02
2 + 2 = 1 = 4所以 2 2 ，解得 ，0 + 3 = 3 2 2 = 1
2 +
2
所以椭圆的方程为16 9 = 1；
所以 2 = 2 2 = 7，所以 = 7，
7
所以椭圆 的离心率为 = 4 ；
(2)因为 (4,0)和 (0,3)，
所以| | = (4 0)2 + (0 3)2 = 5，
设 到 边上的高为 ，又△ 的面积为 6，
1 1
所以 △ = 2 | | = 2 × 5 = 6，
12
解得 = 5，
又 所在直线方程为4+ 3 = 1，
整理得 3 + 4 12 = 0，
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设 的坐标为( , )，
|3 +4 12| = 12所以
32+42 5
，
解得 3 + 4 = 0 或 3 + 4 24 = 0，
当 3 + 4 = 0，又点 在椭圆上，
2 2
所以16 + 9 = 1，
= 2 2 = 2 2
解得 或 ，
= 3 22 =
3 2
2
当 3 + 4 24 = 0 时，又点 在椭圆上，
2 +
2
所以16 9 = 1，
代入得(24 4 )2 + 16 2 = 144，
整理得 32 2 8 × 24 + 242 144 = 0，
即 2 2 12 + 27 = 0，
因为 = ( 12)2 4 × 2 × 27 < 0，所以方程无解，
3 2 3 2
所以点 的坐标为(2 2, 2 )或( 2 2, 2 )，
3 2
当点 的坐标为( 2 2, 2 )，
3 2
2 3 = 3 3 2 3 2 3可得 2 2 = 4 = 4 ，
3 3 2
所以直线 的方程为 = 4 + 3，
即(3 2 3) 4 + 12 = 0；
当点 3 2的坐标为(2 2, 2 )，
3 2 3 3 3 2
可得 2 = 2 2 = 4 =
3 2 3
4 ，
3 3 2所以直线 的方程为 = 4 + 3，
即(3 2 + 3) + 4 12 = 0；
综上所述：直线线 的方程为(3 2 3) 4 + 12 = 0 或(3 2 + 3) + 4 12 = 0．

19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = 1 ( ) =
+1 1
， ′ 2 ，
则 (1) = 1， ′(1) = 0，
故 ( )在(1, (1))处的切线方程为： ( 1) = 0，即 = 1．
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(2) ( ) =
+1 1 = ( 1)(
1)
由题意可知 ′ 2 2 ， > 0，
(ⅰ)若 ≤ 0，则 1 < 0 在(0, + ∞)内恒成立，
当 > 1，则 ′( ) < 0；当 0 < < 1，则 ′( ) > 0；
可知 ( )在(0,1)内单调递增，在(1, + ∞)内单调递减；
(ⅱ)若 > 0，令 ′( ) = 0，则 = 1 或 = ，
①当 ≤ 0，即 ≥ 1，则 1 > 0 在(0, + ∞)内恒成立，
当 > 1，则 ′( ) > 0；当 0 < < 1，则 ′( ) < 0；
可知 ( )在(0,1)内单调递减，在(1, + ∞)内单调递增；
0 < < 1 1②当 ，即 < < 1 时，
当 > 1 或 0 < < ，则 ′( ) > 0；当 < < 1，则 ′( ) < 0；
可知 ( )在(0, )，(1, + ∞)内单调递增，在( , 1)内单调递减；
1
③当 = 1，即 = 时，则 ′( ) ≥ 0 在(0, + ∞)内恒成立，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增；
1
④当 > 1，即 0 < < 时，
当 > 或 0 < < 1，则 ′( ) > 0；当 1 < < ，则 ′( ) < 0；
可知 ( )在(0,1)，( , + ∞)内单调递增，在(1, )内单调递减；
综上所述：若 ≤ 0， ( )在(0,1)内单调递增，在(1, + ∞)内单调递减；
若 ≥ 1， ( )在(0,1)内单调递减，在(1, + ∞)内单调递增；
1
若 < < 1， ( )在(0, )，(1, + ∞)内单调递增，在( , 1)内单调递减；
若 = 1 ， ( )在(0, + ∞)内单调递增；
若 0 < < 1 时， ( )在(0,1)，( , + ∞)内单调递增，在(1, )内单调递减．
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