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2025-2026学年湖北省咸宁市华师元一赤壁学校高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的 30%分位数是( )
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
2.若复数 = 3 + 2 3，则| | =( )
A. 5 B. 6 C. 10 D. 3 2
3.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是( )
A.众数=平均数=中位数
B.众数<中位数<平均数
C.众数<平均数<中位数
D.中位数<平均数<众数
4.某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为 100，100，50.按学生所在年级进行分层，用分层随机抽
样的方法从中抽取 5 名学生去敬老院献爱心.从这 5 人中随机抽取 2 人作为负责人，则 2 名负责人至少有一
名来自高二年级的概率为( )
A. 4 25 B. 5 C.
3
5 D.
7
10
5.已知 ( 2,3)、 (2,1)，若斜率存在的直线 经过点 (0, 1)，且与线段 有交点，则 的斜率的取值范围
为( )
A. [ 2,1] B. [ 1,2]
C. ( ∞, 2] ∪ [1, + ∞) D. ( ∞, 1] ∪ [2, + ∞)
6.已知正四棱锥的底面边长为 6，且其侧面积是底面积的 3 倍，则此正四棱锥的体积为( )
A. 36 3 B. 36 6 C. 72 2 D. 108 6
7.已知向量 ， 满足| | = 5， (3 ) = 30，则 在 上的投影向量为( )
A. 2 B. 6 C. 2 D. 3 5 5 3 5
8.如图，在扇形 中，半径 = 2，圆心角∠ = 60°， 是扇形弧上的动点，
过 作 ⊥ 于 ，作 ⊥ 于 ，记∠ = ， = ( )，则 ( )( )
A. (0, ] 在 6 上单调递增 B.在( 6 , 3 )上单调递增
C.是定值 3 D.是定值 1
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件 ， ，且 ( ) = 0.3， ( ) = 0.5，则( )
A.事件 与事件 互为对立事件
B.若事件 与事件 互斥，则 ( ∪ ) = 0.8
C.若事件 与事件 互斥，则 ( ) = 0.2

D.若 ( ) = 0.35，则事件 与事件 相互独立
10.已知点 是△ 所在平面内一点，且 = 2 + ， ， ∈ ，则下列说法正确的是( )
A.若 = = 12，则点 是边 的中点
B.若点 是边 上靠近 点的三等分点，则 = = 13
C.若 2 + = 12，则 △ = 2 △
D.若点 2在 边的中线上，且 2 + = 3，则点 是△ 的重心
11.在棱长为 3 的正方体 1 1 1 1中，点 是平面 1 1内一个动点，
且满足 + = 3( 2+ 6)1 ，则下列结论正确的是( )2
A. 1 ⊥
B.点 的轨迹是一个半径为 2的圆
C.直线 1 与平面 1 1所成角为定值
D.三棱锥 1 1体积的最大值为 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知复数 满足 2 + 4 = 0，则| + 2|的值为______．
13.若直线 21：2 + + = 0 与直线 2： + 2 + 1 = 0 平行，则实数 = ______．
14.如图，设 、 是平面内相交成 60°角的两条数轴， 1、 2分别是与 轴、
轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点 ，若向量 = 1+ 2，则记
( , )， ( ) = | | + | |.已知平面内两点 ( 1, 1)、 ( 2, 2)，其中 ( ) = 2，

则点 的轨迹围成的图形面积为______；若 ( ) = 2 ( ) = 2 ( )，则 | 的最|
大值为______．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，角 , , 的对边分别为 , , ， 2 + 2 = 2 + 2 ．
(1)求 的大小;
(2)求 2cos + cos 的最大值．
16.(本小题 15 分)
已知△ 的顶点 (1,3)， (2,7)， ( 3,4)， 为 的中点．
(1)求直线 的斜率；
(2)判断△ 的形状；
(3)设 ， 分别为 ， 的中点，求直线 的斜率．
17.(本小题 15 分)
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100
份作为样本，将样本的成绩(满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，
[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值与样本成绩的平均数；
(2)在样本答卷成绩为[70,80)，[80,90)，[90,100]的三组市民中，用分层抽样的方法抽取 13 人，则样本的
答卷成绩在[70,80)中的市民应抽取多少人？
(3)若落在[50,60)的平均成绩是 57，方差是 2，落在[60,70)的平均成绩为 69，方差是 5，求这两组成绩的

总平均数 和总方差 2．
18.(本小题 17 分)
某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为 1，2 的两个红球和标号为 3，4，5
的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取 1 个，有放回地抽取 2 次，根
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据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球
标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为 5 的倍数获二等奖，抽到两个
球标号和为偶数，且不是 5 的倍数获三等奖，其余不获奖．
(1)求两种规则下获得二等奖的概率；
(2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由．
19.(本小题 17 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中，棱长为 2， 是棱 1的中点， 是 的中点， 1 = 3 ．
(1)证明： //平面 ；
(2)求四棱锥 1 和四棱锥 1 重合部分的体积；
(3)求二面角 1 的平面角的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 2
13. 2
14.4 3 2
15.解：(1)由题意， 2 + 2 = 2 + 2 ．
2+ 2 2 2 2
余弦定理： = 2 = 2 = 2 ．
∵ 0 < <
∴ = 4，
(2) ∵ + + = = ， 4，
3
则 = 4 ．
3 2
那么： 2 + = 2 + cos( 4 ) = 2 2 +
2
2 = sin( +

4 ).
3
∵ 0 < < 4

∴ 4 < + 4 <
+ 当 4 = 2时，取得最大值为 1．
即 2 + 的最大值 1．
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16.(1)由题意△ 的顶点 (1,3)， (2,7)， ( 3,4)，
11 3
因为 为 1 11 5的中点，结合已知坐标有 ( , )，则 = 22 2 1 = 3
；
2 1
(2) 7 3 4 3 1 7 4 3由 = 2 1 = 4， = 3 1 = 4， = 2 ( 3) = 5，
由 = 1， = 90°，知△ 是直角三角形．
又 = 1，结合已知，则 是 的垂直平分线，
所以△ 是等腰直角三角形．
(3)由于 ， 分别为 ， 的中点，所以 是△ 的中位线，则 / / ，
3 3所以 = = 5，故直线 的斜率为5．
17.(1)根据题意可得(0.005 + 0.01 + 0.02 + + 0.025 + 0.01) × 10 = 1，解得 = 0.03；
所以样本成绩的平均数为：
45 × 0.05 + 55 × 0.1 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.1 = 74；
(2)因为[70,80)，[80,90)，[90,100]三组的频率之比为 0.3：0.25：0.1 = 6：5：2，
所以样本的答卷成绩在[70,80)中的市民应抽取 6 人；
(3)因为[50,60)与[60,70)的频率之比为 0.1：0.2 = 1：2，
又落在[50,60)的平均成绩是 57，方差是 2，落在[60,70)的平均成绩为 69，方差是 5，
1 2
所以这两组成绩的总平均数为 = 57 × 3 + 69 × 3 = 65，
所以这两组成绩的总方差为 2 = [2 + (57 65)2] × 13 + [5 + (69 65)
2] × 23 = 36．
18.(1)据题意，两次抽取小球的所有可能结果为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，
(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共 25 种情况，
记规则一获得二等奖为事件 2，记规则二获得二等奖为事件 2，
事件 2包含(3,3)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(5,5)，共 5 个样本点，
∴ ( 2) =
5 1
25 = 5，
事件 2包含(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,5)，共 5 个样本点，
∴ ( ) = 5 = 12 25 5．
∴ 1两种规则下获得二等奖的概率均为5．
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(2)两种规则的获奖概率一样大．理由如下：
记规则一获得一、二、三等奖分别为事件 1， 2， 3．
由(1)可知事件 1包含(1,1)，(2,2)
2
两个样本点，所以 ( 1) = 25．
事件 3包含(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，共 12 个
样本点，
∴ ( 123) = 25．
由(1)知 ( 2) =
1
5，
∴规则一的获奖概率为 ( 1 + 2 + 3) = ( 1) + ( 2) + ( 3) =
2 1 12 19
25 + 5+ 25 = 25．
规则二为：抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，
抽到两个球的标号和为 5 的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数，且不是 5 的倍数获三等奖，其余不
获奖，
记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件 1， 2， 3．
事件 1包含(1,2)，(2,1)两个样本点，∴ ( 1) =
2
25；
事件 3包含(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，共 12 个
样本点，
∴ ( ) = 123 25，
由(1)知 ( ) = 12 5，
∴ ( + + ) = ( ) + ( ) + ( ) = 2 1 12 19规则二的获奖概率为 1 2 3 1 2 3 25 + 5 + 25 = 25，
∴两种规则的获奖概率一样大．
19.(1)证明：如图所示，取 的中点 ，在 上取 = 3 ，
因为 是 的中点， 是 1的中点，
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// = 1 = 1所以 ，且 2 4 1，
因为 1 = 3 ， = 3 ，
// 1所以 ，且 = 4 1，
所以 // ， = ，
所以四边形 是平行四边形，则 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)如图，设 1 ∩ 1 = ， 1 ∩ 1 = ，取 中点为 ， 的中点为 ，
由正方体性质可知，点 为正方体的中心，
所以四棱锥 1 和四棱锥 1 重合的几何体为四棱锥 和三棱柱 形成的组
合体．
= 1△ 2 × 2 × 1 = 1, 四边形 = 2 × 1 = 2，
= 1 1 5 + = △ | | + 3 四边形 = 1 × 1 + 3 × 2 × 1 = 3；
(3)以 点为坐标原点，直线 为 轴，直线 为 轴，直线 1为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
有 1(0,2,2)， (0,2,0)， (2,2,0)， (0,2,1)， (0,1,
1
2 )， (
3 , 2, 12 2 )，
所以 1 = (0, 1,
3
2 )，
1 = (
3 3
2 , 0, 2 )，
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设平面 1 的法向量 = ( , , )，
3
1 = 0 = 0则 2
1
，则 3 3 ， = 0
2 2 = 0
令 = 1，则 = (1, 32 , 1)，
又 = (0, 1, 1 32 )， = ( 2 , 0,
1
2 )，
设平面 的法向量 = ( , , )，
1
= 0 +
则 ，则 2
= 0
，
= 0 3 + 12 2 = 0
令 = 1 2，即 = ( 3 , 1,2)，
设 1 所成二面角的平面角为 ，
| 2 3+2|
| | = | | 3 2 17| | | | = 17×7
= 119，
2 3
由图可知，二面角 1 所成角的平面角为钝角，
所以 1
17
所成二面角的平面角的余弦值为 119．
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