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2025-2026学年安徽省马鞍山二中高二（上）9月质检
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 在复平面内对应的点是(0,1) 1+ ，则 =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 + D. 1
2.已知向量 = ( 2,2 3), = (1, 3)，则 在 方向上的投影向量为( )
A. 1 1 4 B. 4 C. D.
3.一个正四棱锥的高是 2，底面边长也为 2，则正四棱锥的侧面积是( )
A. 4 3 B. 8 3 C. 4 5 D. 8 5
4.已知一组数据 8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的 25%分位数是( )
A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5
5.已知 ， 表示两个不同的平面， ， ， 表示三条不同的直线，( )
A.若 // ， ，则 // B.若 ， ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ， ， // ， // ，则 // D.若 ⊥ ， // ， ，则 ⊥
6.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的 200 名学生进行调查.为了得到该
敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一
颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，
两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”
的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为 57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为( )
A. 0.035 B. 0.07 C. 0.105 D. 0.14
7.已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 ( + )的最小值是( )
A. 2 B. 3 42 C. 3 D. 1
8.如图所示，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为线
段 1， 1上的动点， 为 1 的中点，则△ 的周长的最小值为( )
A. 1 + 2 4+2 22 B. 2
C. 1 + 3 4+ 32 D. 2
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = (3, 1), = (2,1)，则下列结论正确的是( )
A. ( 2 ) ⊥ B. 与 的夹角为4
C. ( + 2 ) = 5 10 D. 在 方向上的投影向量的模是 5
10.在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为 1、2、3、4 的 4 个神秘书签，书签除编号外完全
相同.小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号( )
A. 1第一张书签编号比第二张大的概率是2
B. 1“两书签编号之和为 6”的概率是12
C.“抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为 5”相互独立
D. 5 2“抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为 ”的概率为3
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 为 1 上一动点， 为棱 的中点，则( )
A.四面体 1 的体积为定值
B.存在点 ，使 ⊥平面 1
C.二面角 1
5
的正切值为 5
D.当 为 1 的中点时，四面体 的外接球表面积为 5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若 1 + ( 为虚数单位)是关于 的实系数一元二次方程 2 + + 2 = 0 的一个虚根，则实数 = ______．
13.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为 1 的正方形，则原图形的周长为______ ．
14.在锐角△ 中，角 ， ， 2 的对边分别为 ， ， ，△ 的面积为 ，若 sin( + ) = 2 2，则 +
1
3 ( )的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为 100 分，所有参赛学生的成绩都不低于 50 分.现
从中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)， ，[90,100]分成 5 组，制成了如图所示的频率
分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组
区间的中点值代表)；
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(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求
恰有 1 人成绩在[80,90)的概率．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (1,2)， = (1, )( ∈ )．
(1)若( + ) ⊥ (5 8 )，求 的值；
(2)若 = 1， 与 + 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
△ 3 在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 + = ．
(1)求 ；
2(2) +
2
求 2 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
某次答辩活动有 4 道题目，第 1 题 1 分，第 2 题 2 分，第 3 题 3 分，第 4 题 4 分，每道题目答对给满分，
1 1 1 1
答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第 1，2，3，4 题的概率分别为2，3，4，5，且每道
题目能否答对都是相互独立的．
(1)求甲得 10 分的概率；
(2)求甲得 3 分的概率；
(3)若参加者的答辩分数大于 6 分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．
19.(本小题 17 分)
如图 1，在矩形 中， = 2 2, = 2, 为 的中点.将△ 沿 向上翻折，进而得到多面体 1
(如图 2)．
(1)当平面 1 ⊥平面 时，求直线 1 与平面 所成角的正切值；
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(2)在翻折过程中，求直线 1 与平面 所成角的最大值；
(3)在翻折过程中，求二面角 1 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.8
14.( 2 3 43 , 3 )
15.(1)由已知可得(0.01 × 2 + 0.03 × 2 + ) × 10 = 1，解得 = 0.02，
所抽取的 50 名学生成绩的平均数为 55 × 0.1 + 65 × 0.3 + 75 × 0.3 + 85 × 0.2 + 95 × 0.1 = 74(分)，
由于前两组的频率之和为 0.1 + 0.3 = 0.4 < 0.5，前三组的频率之和为 0.1 + 0.3 × 2 = 0.7 > 0.5，
所以中位数位于[70,80)内，设为 ，
所以 0.4 + ( 70) × 0.03 = 0.5 220，解得 = 3 (分)．
(2)由(1)可知，后三组中的人数分别为 15，10，5，故这三组中所抽取的人数分别为 3，2，1，
记成绩在[70,80)这组的 3 名学生分别为 ， ， ，成绩在[80,90)这组的 2 名学生分别为 ， ，成绩在(90,100]
这组的 1 名学生为 ，
则从中任抽取 2 人的所有可能结果为：( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、
( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )，共 15 种．
其中恰有 1 人成绩在[80,90)为( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )、( , )共 8 种．
8
故所求概率为 = 15．
16.解：(1)因为 = (1,2)， = (1, )，
所以 + = (1,2) + (1, ) = (2,2 + )，5 8 = 5(1,2) 8(1, ) = ( 3,10 8 )
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( + ) ⊥ (5 8 )，
则( + ) (5 8 ) = 0，
故 2 × ( 3) + (2 + ) × (10 8 ) = 0，即 4 2 + 3 7 = 0，
解得 = 74或 = 1．
(2)当 = 1 时 = (1,1)， + = (1,2) + (1,1) = (1 + ,2 + )，
与 + 的夹角为锐角，
则 ( + ) > 0 且 与 + 不共线同向，
1 × (1 + ) + 2 × (2 + ) > 0
故 >
5
1 × (2 + ) 2 × (1 + ) ≠ 0，解得 3， ≠ 0
故 5的取值范围是( 3 , 0) ∪ (0, + ∞)．
17.(1)因为 + = 3 ，
+ = + = + = sin( + ) 而 = ，
3 3
由正弦定理可得 = ，
= 3 所以 ，
锐角△ 中， ≠ 0， ≠ 0，
可得 = 3，

在锐角△ 中， ∈ (0, 2 )，
所以 = 3；
(2)由(1)知 = 3， =
2 3
3 ，可得 = 2 ，
在△ 中， = sin( + ) = sin( + 3 )，
0 < <
又△ 2 为锐角三角形， 2 ，解得 ∈ ( 6 , 2 )，0 < 3 < 2
2+ 2 sin2 +sin2 4
由正弦定理， = 2 2 2 sin2 = 3 (sin + sin )
4
= [sin2
4 3 1
3 + sin
2( 3 + )] = 3 [sin
2 + ( 2 +
2
2 ) ]
4 5 3 3
= 3 ( sin
2
4 + 4 cos
2 + 2 )
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4 3 1 3
= 3 (4 + 2 sin
2 + 4 2 )
2 1 2 3
= 1 + 3 2 + 3 2
3 1 4
= 3 2 3 2 + 3
= 23 sin(2

6 ) +
4
3，
又 ∈ ( , 6 2 )，2
∈ ( , 5 6 6 6 )，sin(2
1
6 ) ∈ ( 2 , 1],
2 sin(2 ) + 4 53 6 3 ∈ ( 3 , 2]．
2+ 2 5
所以 2 的取值范围( 3 , 2]．
18.(1) 10 1 × 1 × 1 × 1 1甲得 分的概率为2 3 4 5 = 120；
(2)甲得 3 分有两种情况：甲答对第 1 题和第 2 题，甲答对第 3 题，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
故甲得 3 分的概率为2 × 3 × (1 4 ) × (1 5 ) + (1 2 ) × (1 3 ) × 4 × (1 5 ) = 6；
(3)若甲恰好答对 2 道题目答辩成功，则甲必定答对第 3 题和第 4 题，
1 1 1 1 1
甲答辩成功的概率为(1 2 ) × (1 3 ) × 4 × 5 = 60，
若甲恰好答对 3 道题目答辩成功，
则甲答对第 2 题、第 3 题、第 4 题，或者答对第 1 题、第 3 题、第 4 题，或者答对第 1 题、第 2 题、第 4
题，
1 1 1
甲答辩成功的概率为(1 2 ) × 3 × 4 ×
1
5 +
1 1 1 1
2 × (1 3 ) × 4 × 5+
1 × 12 3 × (1
1 ) × 14 5 =
1
20，
(1) 1 1 1 1 3由 可知甲得 10 分的概率为120，所以甲答辩成功的概率为60+ 20 + 120 = 40．
19.(1)连接 交 于点 ，如下图所示：
则 = 2 + 2 = 2 3，
∵ = , ∠ = ∠ = 90°，∴△ ～△ ，即∠ = ∠ ，
又∠ + ∠ = 90°，∴ ∠ + ∠ = 90°，可得 ⊥ ，
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同理易证△ 2 3 4 3～△ ，∴ = 3 , = 3 ，
翻折后当平面 1 ⊥平面 时，平面 1 ∩平面 = ，且 1 ⊥ ，
又 1 平面 1 ，∴ 1 ⊥平面 ；
可知直线 1 与平面 所成的角为∠ 1 ，
2 3
△ 1在 1 中，tan∠ = 11 =
3
4 3 = 2，
3
即直线 1 与平面
1
所成角的正切值为2；
(2)如图，过点 1作 1 ⊥ ，垂足为 ，
∵ ⊥ 1 ， ⊥ ， 1 ∩ = ， 1 平面 1 ， 平面 1 ，
∴ ⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，∴ ⊥ 1 ，
又 1 ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ 1 ⊥平面 ，
∴直线 1 与平面 所成的角即为∠ 1 ，
在翻折过程中，设∠ 1 = ， ∈ (0, )，由(1)可知， 1 =
2 3 , = 4 33 3 ，
2 3
在 △ 1 中， 1 = 3 , =
2 3
3 ，
∴ = = 2 33 (2 ), tan∠
1
1 = = 2 cos ，
= 设 2 cos , ∈ (0, )，则 + = 2 ，
∴ 1 + 2sin( + ) = 2 ，其中 = ，
∴ sin( + ) ≤ 2 ≤ 1 0 < ≤ 3，解得 ，
1+ 2 3
3

显然当 = 时， = = 2 3 33 2 cos 1 = 3 ，故 2
= 3 ，
2
即(tan∠ 31 ) = 3 ，又易知∠ 1 ∈ (0,

2 )，∴ (∠ 1 ) = 6，

即直线 1 与平面 所成角的最大值为6；
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(3)过 作 ⊥ 于点 ，连接 1 ，如下图所示：
由(2)知 1 ⊥平面 ，∵ 平面 ，∴ 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，
∴ ⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，∴ ⊥ 1 ，又 ⊥ ，
∴ ∠ 1 为二面角 1 的平面角，
∵ ⊥ ⊥ ∴ // = ， ， ，可得 ，
结合(2) = 2(2 )可得 3 ，
在 △ 1 中，tan∠ =
1 = 3 1 2 , ∈ (0, )，
3
令 = 2 ，则 3 + = 2 ，
即 3 + 2sin( + ) = 2 ，其中 = 3，
∴ sin( + ) = 2 ≤ 1，解得 0 < ≤ 1，
3+ 2
3
= = 3
3×
显然当 3时，
2
2 = = 1，故 = 1，2 1 2
即(tan∠ 1 )

= 1，结合∠ 1 ∈ (0, 2 )，可知(∠ 1 ) = 4，

因此二面角 1 的最大值为4．
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