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2024-2025 学年福建省莆田十五中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数 在复平面内所对应点的坐标为(2,4)，则 3 + 2 =( )
A. 7 8 B. 7 + 8 C. 8 + 7 D. 8 7
2.已知边长为 2 的正方形 中，点 ， 分别为 ， 的中点，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.如图所示，△ 中，点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 的三等分点，则 =( )
A. 2 + 1 3 6
B. 1 1 3 + 3

C. 2 + 1 3 3
D. 1 1 3 + 6
4.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百
姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台 1 1 1 1， = 2，
1 1 = 4，侧面面积为 12 3，则该正四棱台的体积为( )
A. 28 2 28 33 B. 28 2 C. 3 D. 28 3
5.在三角形 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 + (2 ) = ，则三角形 的形状
为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
6 2.已知圆锥的底面周长为 2 ，其侧面展开图的圆心角为3 ，则该圆锥的高为( )
A. 3 B. 2 2 C. 1 D. 2
7.已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， = = = 10, △ 是边长为 3的正三角形，
则球 的表面积等于( )
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A. 64 B. 100 9 9 C. 16 D. 36
8.已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 6( ) = ， 2 = 5 2 + 2 ，且
△ 的面积为 15，则△ 的周长为( )
A. 6 + 2 6 B. 4 + 15 C. 6 + 4 D. 3 + 2 15
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )
A.若 // ， ，则直线 平行于平面 内的无数条直线
B.若 // ， ， ，则 与 是异面直线
C.若 // ， ，则 //
D.若 ∩ = ， ，则 ， 一定相交
10.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 1 2，在轴截面 中， = = =
2 ，且 = 2 ，下列说法正确的有( )
A. ∠ = 30°
B.该圆台轴截面 面积为 3 3 2
C. 7 3 该圆台的体积为 33
D.沿着该圆台表面，从点 到 中点的最短距离为 5
11.△ 是边长为 3 的等边三角形， = 2 ，则下列说法正确的是( )
A. = 1 2 3 + 3 B. | | = 7
C. = 32 D.
在 1上的投影向量是 6

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 .已知向量 与 的夹角为3，| | = 1， ( +
) = 2，则| | =______．

13. ∈ ，若| | = 1 + 2 ，则 =______．
14.如图所示，为了测量河对岸 ， 两点间的距离，在这一岸定一基线 ，现已
测出 = 100 米，∠ = 60°，∠ = 30°，∠ = 105°，∠ = 60°，则
的长为______米.
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
如图，在梯形 中， // ， ⊥ ， = 2 = 2 3，∠ = 45°，梯形绕着直线 旋转一周．
(1)求所形成的封闭几何体的表面积；
(2)求所形成的封闭几何体的体积．
16.(本小题 12 分)
已知向量 = (1, 2)， = ( 3, )．
(1)若 / / ，求| |的值；
(2)若 ⊥ ( + 2 )，求实数 的值；
(3)若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围．
17.(本小题 12 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中，点 、 分别是 1 1、 1 1的中点.求证：
(1)直线 和 在同一平面上；
(2)直线 、 1和 交于一点．
18.(本小题 12 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 + = 2 ．
(1)求 ；
(2)若 = 2 3，且△ 的周长为 2 + 5，求△ 的面积．
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19.(本小题 12 分)
如图，四边形 是平行四边形，点 是平面 外一点．
(1)求证： //平面 ；
(2) 是 的中点，在 上取一点 ，过 和 作平面交平面 于 ，求证： // ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.32 + 2
14.50 2
15.解：依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，
(1)其表面积 =圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积= 12 + 3 2 + 3 = (15 + 3 2) ．
(2)其体积 =圆柱体积 圆锥体积= 6 3 3 = 5 3 ．
16.解：(1)因为向量 = (1, 2)， = ( 3, )，且 / / ，
所以 1 × 2 × ( 3) = 0，解得 = 6，
所以| | = ( 3)2 + ( 6)2 = 3 5．
(2)因为 + 2 = ( 5, 2 + 2 )，且 ⊥ ( + 2 )，
所以 1 × ( 5) + 2 × (2 + 2 ) = 0，解得 = 14，
(3)因为 与 的夹角是钝角，
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则 < 0 且 与 不共线．
即 1 × ( 3) + 2 × < 0 且 ≠ 6，
3
所以 < 2且 ≠ 6．
17.解：(1)如图，连结 ， 1 1， ，
因为点 ， 分别是 1 1， 1 1的中点，
所以 // 1 1，
由正方体的结构特征可知 1 1// ，
所以 // ，
所以 ， ， ， 四点共面，即 和 共面；
(2)由(1)可知， // 且 ≠ ，
所以 与 相交，设交点为 ，
因为 ∈ ， 平面 1 1，
所以 ∈平面 1 1，
又因为 ∈ ， 平面 1 1，
所以 ∈平面 1 1，
因为平面 1 1 ∩平面 1 1 = 1，
所以 ∈ 1，
所以 、 1、 三线交于点 ．
18.解：(1)由题设有 ( + ) = 2 ，
则 ( + ) = 2 ，
所以 ( + ) = 2 ，而 + = ，
故 = 2 ，又 > 0，
所以 = 2．
2 2 2 2 2
(2) + + 4 1由(1)及已知，有 = 2 = 2 = 2，
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整理得 2 + 2 + = 4，
又 + + = 2 + 5，即 + = 5，
所以( + )2 = 5 = 4，解得 = 1，
1 3故 △ = 2 = 4 ．
19.(1)证明：因为底面四边形 是平行四边形，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)证明：连接 ，交 于 ，连接 ，
因为四边形 是平行四边形，
所以 是 的中点，
又因为 是 的中点，
所以 // ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
又因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ．
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