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2024-2025 学年甘肃省庆阳市兴奎高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 (1 + ) = 1 ，则 的共轭复数为( )
A. B. 1 + C. 1 D.
2.sin 8 cos

8的值为( )
A. 2 22 B. 4 C. 2 D. 4 2
3.已知向量 = ( ,2), = (2,3)，若 ⊥ (2 )，则 =( )
A. 12 B.
1 1 1
4 C. 4 D. 2
4.如图， 为 的边 上的中线，且 = , = ，那么 为( )
A. 2
B. 2
C. 2 +
D. + 2
5.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2， = 3， = 45°，则角 的大小为( )
A. 60° B. 120° C. 60°或 120° D. 15°或 75°
6. 70° 40° 110° 50°的值为( )
A. 32 B.
1 1
2 C. 2 D.
3
2
7 = 4 sin( ) = 5.已知 ， 均为锐角， 5， 13，则 =( )
A. 1665 B.
4
13 C.
33 63
65 D. 65
8 .要得到函数 ( ) = 3 + 的图象，只需将函数 ( ) = 2 ( 6 )的图象进行如下变换得到( )
A. 向右平移3个单位 B.向左平移3个单位 C.向右平移6个单位 D.向左平移6个单位
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量 = (2, 3), = (2,1)，则( )
A. ( 2 ) ⊥ B. 与 可作为一组基底向量
C. 与 65 2 1夹角的余弦值为 65 D. 在 方向上的投影向量的坐标为( 3 , 3 )
10.下列各式的值正确的是( )
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A. 15° 15° = 12 B. 28° 32° 62° 32° =
1
2
C. 22．5°1 tan222.5 = 1 D. (1 + 13°)(1 + 32°) = 2
11.已知向量 = (1,2)， = (1, 1)，则( )
A. | | = 5 B. + 2 = (3,0)
C. cos ， = 1010 D. 在
1 1上的投影向量的坐标为( 2 , 2 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 = ( + 2 )(1 2 )( ∈ )是纯虚数，则复数 的虚部为______．
13.如图，在△ 中， = 1 = + 12 ，点 是线段 上的一点，若

5 ，
则实数 = ．
14 .已知 ∈ ( 6 , 3 )，则函数 ( ) = 2
2 + 2 3 的最大值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1, )， = (2,3)．
(1)若 3 ⊥ ( )，求 的值；
(2)若 = ( 3, 4)， //( + )，求 3 + 与 的夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
已知 是虚数单位，复数 = ( 2 + 2 8) + ( 2) ， ∈ ．
(Ⅰ)当 = 1 时，求| |；
(Ⅱ)若 是纯虚数，求 的值；
(Ⅲ)若 在复平面内对应的点位于第三象限，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且sin2 + sin2 + = sin2C.
(1)求角 的大小；
(2)若△ 的面积为 2 3， = 2 7，求 、 的值．
18.(本小题 17 分)
已知 tan( + 4 ) = 3
3
，其中 < < 2．
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(1)求 的值；
(2) 1+2 ( )cos( 2 )求 的值．
sin2( ) sin2(3 2 )
19.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 = 0．
(1)求角 的大小．
(2)若 = 3，△ 的面积为 3 3，求△ 的周长．
(3)若△ 为锐角三角形，求 2 + 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10
13.25
14.3
15.解：(1)根据题意可知，向量 = (1, )， = (2,3)，
2
由 3 ⊥ ( )，可得 3 ( ) = 0，即 = 0，
又 = (1, )， = (2,3)，所以 = 2 + 3 ，
2
= | |2 = 22 + 32 = 13，
所以 2 + 3 13 = 0 11，解得 = 3；
(2)因为 = (1, )， = ( 3, 4)，所以 + = ( 2, 4)，
又 //( + )，所以 2 × 3 2( 4) = 0，解得 = 1，所以 = (1,1)，又 3 + = (3,5)，

所以 cos < 3 + , >= (3 + ) = 3×1+5×1 = 8 = 4 17，
|3 + | | | 32+52× 12+12 2 17 17
所以 3 + 与 4 17的夹角的余弦值为 17 ．
16.( )解：当 = 1 时， = 5 ．
所以| | = ( 5)2 + ( 1)2 = 26．
( ) = ( 2 + 2 8) + ( 2)
若复数 是纯虚数，则
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2 + 2 8 = 0，解得 = 2 或 = 4，
2 ≠ 0 ≠ 2
所以 = 4．
( )解：复数 在复平面内对应的点位于第三象限，
2 + 2 8 < 0 4 < < 2则 ，即 ，
2 < 0 < 2
所以实数 的取值范围是 4 < < 2．
17.解：(1)在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且sin2 + sin2 + = sin2 ，
由正弦定理得， 2 + 2 + = 2，
化简为 2 + 2 2 = ，
由余弦定理可得 2 + 2 2 = 2 ，所以 = 12，
2
又 ∈ (0, )，则 = 3；
(2)若△ 的面积为 2 3， = 2 7，
1
则2
2
3 = 2 3，可得 = 8，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，
将 = 2 7， = 8 代入可得：28 = 2 + 2 2 × 8 × ( 12 )，
可得 2 + 2 = 20，
所以( + )2 = 2 + 2 + 2 = 20 + 16 = 36，
所以 + = 6，
+ = 6
由 = 8 ，
= 2 = 4
解得 = 4或 = 2，
故 = 2， = 4 或 = 4， = 2．

18. +tan(1)由 tan( + 4 ) =
4
1 tan = 3，解得 =
1
4 2
；
(2) = 1+2 原式 sin2 cos2
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( + )2
= (sin + cos )(sin cos )
+
= sin cos
+ 1
= tan 1
= 3．
19.解：(1) ∵ 2 = 0，由正弦定理 2 = 0
又∵ ， ∈ (0, )，∴ ≠ 0， ≠ 0，∴ = 1 2，故 = 3；
(2)由(1) = 3得， 2 ，
∵△ 的面积为 3 3 1，∴ 2 = 3 3
3 3
，即 4 = 3 3，解得 = 4，
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 = 9 + 16 2 × 3 × 4 × 12 = 13，∴ = 13，
故△ 的周长为 + + = 7 + 13；
(3) = 由 3得 + =
2
3，则 =
2
3 ，
2 1 3
∴ 2 + = 2 + cos( 3 ) = 2 2 + 2
= 32 +
3
2 = 3sin( +

3 )，
0 < <
∵△ 为锐角三角形，∴ 2 2 ，故6 < <

2，0 < 3 < 2
∴ < + < 5 1 32 3 6，故2 < sin( + 3 ) < 1，∴ 2 < 3sin( +

3 ) < 3，
即 2 + 3的取值范围是( 2 , 3)．
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