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2024-2025 学年河南省周口市沈丘第一高级中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.3888°的终边落在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如果 ， 是两个单位向量，下列四个结论中正确的是( )
2
A. = B. = 1 C. 2 ≠ D. | |2 = | |2
3.将时钟的分针拨快 5 分钟，则分针转过的弧度是( )
A. B. C. D. 6 6 3 3
4 5 5 .已知角 的终边上一点坐标为(sin 6 , cos 6 )，则角 的最小正值为( )
A. 5 6 B.
5
3 C.
11 2
6 D. 3
5 1 1.设向量 = (1,0)， = ( 2 , 2 )，则下列结论中正确的是( )
A. | | = | | B. = 2 C. / / 2 D.
与 垂直
6.已知| | = 2 10，| | = 10， 与 的夹角为3，则| 2
| =( )
A. 3 10 B. 2 10 C. 2 30 D. 10
7.下列函数既是奇函数又是周期为 的函数是( )
A. = tan2 B. = sin 2 + 2
C. = sin D. = cos 32 2
8.已知△ 外接圆半径为 1，圆心为 ，若 2 + + = 0，则△ 面积的最大值为( )
A. 2 B. 32 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 120° 2 化成弧度是 3 B. 10 化成角度是 18°
C. 1°化成弧度是 180 D. 330°与 750°的终边相同
10.已知 ， ， 分别是△ 三个内角 ， ， 的对边，则下列命题中正确的是( )
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A.若 > ，则 >
B. 3若△ 是边长为 1 的正三角形，则 = 2
C. 若 = 6， = 2， = 2，则△ 有一解
D.若 0 < < 1，则△ 是钝角三角形
11.已知向量 = (2,1)， = ( 3,1)，则( )
A.与向量 2 5 5方向相同的单位向量是( 5 , 5 )
B. ( + ) ⊥
C.向量 在向量 10上的投影向量是 2
D. | + 2 | = 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在三角形 中， 是 上靠近点 的三等分点， 为 中点，
若 = + ，则 = ______．
13.若| | = 8，| | = 5，则| |的取值范围是______．
14.在四边形 中，已知 = (4, 2)， = (7,4)， = (3,6)，则四边形 的面积是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
一个扇形所在圆的半径为 5，该扇形的周长为 15．
(1)求该扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积．
16.(本小题 15 分)
( ) = sin( + )cos(2 )cos( )已知 cos( )sin( ) ．
(1)化简 ( )；
(2) = 31 若 3 ，求 ( )的值．
17.(本小题 15 分)
已知向量 = (3,2)， = ( 1,2)．
(1)求| 2 |的值；
(2)若 3 与 + 共线，求实数 的值．
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18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 + + = ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2 3，求△ 面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + ) + ( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )图象的对称中心坐标；
(3) 11当 ∈ ( 6 , 3 )时，方程 ( ) = 5有两个不相等的实数根 1， 2且 1 < 2，求 sin( 2 1)的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 56
13.[3,13]
14.30
15.(1)设扇形对应的圆心角对应的弧度数为 ，
∵扇形所在圆的半径为 5，该扇形的周长为 15，
∴ 15 = 5 + 5 + 5 ，解得 = 1．
(2) 1 1 25该扇形的面积为2
2 = 2 × 1 × 25 = 2．
16.(1) ( ) = 由题意得 cos( + )[ sin( + )] = cos sin = ．
(2) = 31 因为 3 =
5
3 + ( 6) × 2 ，
31
所以 ( ) = ( 3 ) = cos[
5
3 + ( 6) × 2 ] = cos
5 = cos 13 3 = 2．
17.解：(1)向量 = (3,2)， = ( 1,2)，
则 2 = (5, 2)，
则有| 2 | = 25 + 4 = 29；
(2)根据题意，3 = (10,4)， + = (3 , 2 + 2 )，
若 3 与 + 共线，则有 10(2 + 2 ) = 4(3 )，
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解可得： = 13；
1
故 = 3．
18.解：(1)在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 + + = ．
利用正弦定理得： 2 + 2 + = 2 2 + 2 2 = ，
∴ = 12，
∴ ∈ (0, )，
∴ = 2 3．
(2)由于 = 2 3 12 = 2 + 2 2 2 3 ≥ 2 + = 3 ，当且仅当 = 时，取等号，
∴ ≤ 4．
1 3
故三角形面积为 = 2 = 4 ≤ 3，
即 = 3．
19. (1) 5 解： 由图象知 = 2， = 1，又2 = 12 + 12 = 2，
故 = ， = 2，
由图象可知 2 × 12 + =

2 + 2 , ∈

，得 = 2 + 3 , ∈ ，
| | < 由于 2，故 =

3， ( ) = 2 (2 + 3 ) + 1．
(2)令 2 + 3 = , ∈

，解得 = 2 6 , ∈ ，

所以函数 ( )的对称中心为( 2 6 , 1)( ∈ )．
(3) ∈ ( , ) 2 + 由 6 3 可得 3 ∈ (0, )，
又方程 ( ) = 115在有 ∈ (

6 , 3 )两个不相等的实数根 1， 2且 1 < 2，
所以(2 1 +

3 ) + (2

2 + 3 ) = 2 × 2，所以 1 +

2 = 6，
且 2 + 1 3 ∈ (0,

2 )，2 2 +

3 ∈ (

2 , )
又 ( 1) = ( 2) =
11 2 (2 + 5，即 1 3 ) + 1 = 2 (2
11
2 + 3 ) + 1 = 5，
3
所以 sin(2 1 + 3 ) = sin(2 2 + 3 ) = 5，
所以 cos(2 41 + 3 ) = 5，
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又 sin( 2

1) = sin( 6 2 1) = cos(2 +

1 3 )，
即 sin( 2
4
1)的值为5．
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