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2024-2025 学年河南省驻马店市确山第二高级中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cos( 2100°)的值为( )
A. 1 1 3 32 B. 2 C. 2 D. 2
2.中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目
人数最多的“黄金时间”，即晚上 7 点与 8 点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时
刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是( )
A. 7 点 36 分 B. 7 点 38 分 C. 7 点 39 分 D. 7 点 40 分
3 3 5 .已知 是第一象限角，且 sin( 7 ) = 5，则 cos( + 14 ) =( )
A. 4 B. 45 5 C.
3
5 D.
3
5
4.“ = “是“ = ”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.若锐角 ， 满足 > ，则下列各式中正确的是( )
A. > B. > C. 1 1tan > tan D.以上说法均不对
6.已知平面向量 , 满足| | = 4, | | = 2, ( ) = 20，则向量 与 的夹角为( )
A. 6 B.
C. 2 D. 5 3 3 6
7.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的
废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 ( / )与时间 ( )的关系为 = 0 .如果在前 18
个小时消除了 19%的污染物，那么从过滤开始到污染物共减少 10%需要花的时间为( )
A. 8 小时 B. 9 小时 C. 10 小时 D. 11 小时
8.在平行四边形 中， 是对角线 上靠近点 的三等分点，则( )
A. = 1 + 2 B. = 2 1 3 3 3 3
C. = 1 2 D. = 23 3 3
+ 1 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知向量 = (3, )， = ( , 1)， 2 = ( 1,2)，则下列结论中正确的是( )
A. //(3 + 2 ) B. (2 5 ) ⊥
C. cos , = 2 55 D. | | = 5|
|
10.如图是某地一天从 6 点到 14 点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数： ( ) = ( + ) + ，其
中： > 0， > 0，0 < < .则下列说法正确的有( )
A.函数的最小正周期为 16
B. 3 函数解析式为 ( ) = 10 ( 8 + 4 ) + 20
C.函数在区间(2024,2025)上单调递增
D. ∈ ， (1 ) + (5 + ) = 40
11.已知函数 ( ) = cos4 sin4 ，则下列结论正确的是( )
A. ( )的最小正周期为
B. ( ) 的对称中心为( + 2 , 0), ( ∈ )
C. ( ) 的对称轴为直线 = 2 , ( ∈ )
D. ( )的单调递增区间为[ 2 , ], ( ∈ )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = 2，则 =______．
13.已知向量 = (2,1), = (1, 1)，且 与 + 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是______．
14.在四边形 中， = 2 ，点 是四边形 所在平面上一点，满足 + 2 + 7 + + 8 =
| 0
|
，点 为线段 的中点，则
|
= ______．
|
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设 ， ∈ ，向量 = ( , 1)， = (1, )， = (2, 4)，且 ⊥ ， // ．
(1)求| + |；
(2)求向量 + 与 2 + 夹角的余弦值．
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16.(本小题 15 分)
如图，在梯形 中， // ， ⊥ ， = 2 = 4， 、 分别为 、 的中点，且 = 2，
是线段 上的一个动点．
(1)若 = + ，求 的值；
(2)求 的长；
(3)求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = sin(2 + 3 )( > 0)，若 ( )的最小正周期为 ．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若函数 ( ) = 2( ) ( ) + 4在[ 6 , 4 ]上有三个不同零点 1， 2， 3，且 1 < 2 < 3．
①求实数 的取值范围；
②求 2 1 + 2 >

4，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, 2 < < 0)的部分图像如图所示．
(1)求 ( )的解析式及对称中心；
(2)若 ( ) = 32， ∈ [

2 ,

2 ]求 的值；
(3)若方程 2 ( ) 3 3 = 0 在(0, )上恰有 5 个不相等的实数根，求 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
如图，圆 的半径为 3，其中 ， 为圆 上两点．
(1)若 cos∠ = 1，当 为何值时， + 2 与 3
垂直？
(2)若 为△ 2的重心，直线 过点 交边 于点 ，交边 于点 ，且 = , = ，求 + + 3
最小值．
(3)若| + |的最小值为 1，求| |的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.25
13.( 5,0) ∪ (0, + ∞)
14.59
15.解：(1)由 ⊥ ， // ，
可得 + = 0 且 4 2 = 0，
解得 = 2， = 2，
即 = (2,1)， = (1, 2)，
则 + = (3, 1)，
则| + | = 32 + ( 1)2 = 10；
(2)由(1)知，2 + = (3,4)， + = (3, 1)，
所以( + ) (2 + ) = 5，|2 + | = 5，
设向量 + 与 2 + 夹角为 ，

= ( + ) (2 + )则 = 5 = 10，
| + | |2 + | 10×5 10
即向量 + 与 2 + 10夹角的余弦值为 10 ．
16.解：(1)由 ， 分别为 ， 的中点，
则 // ， = 12 ，
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1
由图可得 = = 1 ( ) = + 2 2 ，则 =
1 1
2 , = 2，
所以 = 14；
(2)由(1)可知 = 1 1 2 2 ， =
1 + 2 ，
由 ⊥ ，则 = 0，
= ( 12
+ ) ( 1 1 2 2
) = 1 | 4 |
2 12 |
|2 = 2，
可得 4 1 | 2
|2 = 2，解得| | = 2；
(3)设 = ，0 ≤ ≤ 1，则 = (1 ) ，
由图可得 = + + = + + 1 = ( 1 ) 4 4
+ ，
= + = (1 ) + 1 1 3 1 2 = (1 ) + 2 ( + + ) = ( 4 ) + 2 ，
则 = [( 1 ) + 4
][( 34 )
+ 1 2 ] = (
1 3 2 1
4 )( 4 )| | + 2 |
|2
= ( 3 + 2) × 16 + 1 × 4 = 16 2 16 + 5 = 16( 1 )216 2 2 + 1，
又 0 ≤ ≤ 1，则 ∈ [1,5]．
17.解：(1) ( ) = 32 2 +
1
2 2 = sin(2 +

3 )，
( ) 2 因为 的最小正周期为 ，所以2 = ，即 = 1，
所以 ( ) = sin(2 + 3 )．
(2)①由(1)知 ( ) = sin2(2 + 3 ) (2 +

3 ) +

4，
5
由 6 ≤ ≤ 4，可得 0 ≤ 2 + 3 ≤ 6，
令 = sin(2 + 3 )，则 ( ) =
2 + 4，0 ≤ ≤ 1，
若函数 ( ) = sin2(2 + 3 ) (2 +

3 ) +

4在[ 6 , 4 ]有三个零点，
即sin2(2 + 3 ) (2 +

3 ) + 4 = 0 在[
, 6 4 ]有三个不相等的实数根，
1 1
也就是关于 的方程 2 + 4 = 0 在区间[0, 2 )有一个实根，另一个实根在[ 2 , 1)上，
1 1 1 1或一个实根是 ，另一个实根在[ 2 , 1)，当一个根在(0, 2 )，另一个实根在( 2 , 1)，
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(0) > 0 4 > 0
( 1 ) < 0 1 + 4所以 2 ，即 4 2 4 < 0，解得：1 < < 3，
(1) > 0 1 + 4 > 0
当一个根为 0 时，即 = 0，所以 = 0，此时方程为 24 = 0，所以 = 0，不合题意；
1 1 1
当一个根是2，即4 2 + 4 = 0，解得 = 1，
1 1
此时方程为 2 + 4 = 0，所以 = 2，不合题意；
1
当一个根是 1，另一个实根在( 2 , 1)，
由 1 + 4 = 0 =
4 2 4 + 1 1得 3，此时方程为 3 3 = 0，解得 = 1 或 = 3，
1 4
这两个根都不属于( 2 , 1)，不合题意，综上 的取值范围是(1, 3 )．
1 + 2 =
②设 1， 2为方程 2 +

4 = 0 的两个不相等的实数根，则 1
，
2 = 4
由①知， 1 < 2， 1 = sin(2 +
1
1 3 ) ∈ (0, 2 )，所以 2 1 + 3 ∈ (0, 6 )，
即 1 ∈ ( 6 , 12 )， 2 = sin(2 2 +

3 ) ∈ (
1
2 , 1)，
所以 2 2 + 3 ∈ ( 6 , 2 )，即 2 ∈ (
, 12 12 )，
由 2 1 + 2 >

4得 2 1 >

4 2，所以 2 1 + 3 > 4 2 + 3 = 12 2，

因为 2 1 + 3 ∈ (0, 6 )，12 2 ∈ (0,

6 )，
所以 sin(2 1 + 3 ) > sin( 12 2)，
2 2 1 cos(

6 2 2) 1 sin(2 +

2 )
所以sin (2 1 + 3 ) > sin (
3
12 2) = 2 = 2 ，
所以 2 21 > 1 2，
2
1 + =

2 1 =
又 = ，且 1 < ，所以
2
2 ，
1 2 4 + 2 2 = 2
2 + 2
所以 2( 22 ) > 1 2 ，整理得( 1)(8
2 5 4) > 0，
因为 1 > 0，所以 8 2 5 4 > 0，
< 5 153 > 5+ 153解得 16 或 16 ，
又 1 < < 43，所以 ∈ (
5+ 153 4
16 , 3 )．
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18.解：(1)由题意可得 = 3，周期 = 4( 7 12 3 ) = ，
则 = 2， ( ) = 3 (2 + )，
( 7 7 将点 12 , 3)代入可得 2 × 12 + = 2 + ， ∈ ，

解得 = 6 + 2 ( ∈ ) ∵

， 2 < < 0，∴ =

6， ( ) = 3 (2

6 )；
2 = + ∈ = 令 3 2， ，解得 3 + 2 , ( ∈ )，
( ) 的对称中心为( 3 + 2 , 0), ( ∈ )；
(2)由(1)知 ( ) = 3 (2 6 )，
∴ 3 (2 6 ) =
3
2，即 cos(2
1
6 ) = 2，
∴ 2 6 =
2 4
3 + 2 或 2 6 = 3 + 2 , ∈

又 ∈ [ 2 , 2 ]，
∴ = 5 或 =

12 4．
(3) 由(1)知 ( ) = 3 (2 6 )，则 ( ) = 2 ( ) 3 3 = 6 (2

6 ) 3 3，
由函数 ( ) = 2 ( ) 3 3在(0, )上恰有 5 个零点，

即 6 (2 6 ) 3 3 = 0 在(0, )上恰有 5 个解，
即 cos(2 ) = 3在(0, )上恰有 5 个解，6 2
∵ ∈ (0, )，∴ = 2 6 ∈ (
, 2 6 6 )，
即函数 = 与 = 3在区间 ∈ ( 6 , 2 6 )有 5 个交点，2
25 < 2 ≤ 35 13 则 6 6 6 ，解得 6 < ≤ 3 ，
故 13 的范围为( 6 , 3 ].
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19.解：(1)在△ 中， = = 3，cos∠ = 13，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
化简得 2 2 = 0，解得 = 2，可得 = | | | |cos∠ = 2 × 3 × 13 = 2．
若 + 2 与 垂直，则( + 2 ) ( ) = 0，
即
2
+ (2 1) 2
2
= 0，所以 9 + 2(2 1) 8 = 0，解得 = 1013．
10
所以 = 13时，
+ 2 与 垂直；
(2)因为 为△ 2 1的重心，所以 = ( + ) = 1 3 2 3
+ 1 3
，
结合 = , = ，可得 = 1 3 +
1
3 ．
由于 、 、 1 1 1 1共线，所以3 + 3 = 1，即 + = 3．
结合 > 0 1、 > 0，可得 + = 3 ( + )(
1 + 1 ) = 1 (2 + + 1 3 ) ≥ 3 (2 + 2
4
× ) = 3，

当且仅当 = 时，即 = 时，等号成立．
2 2
综上所述，当 = = 3时， + + 3取得最小值 2；
(3)若| + |的最小值为 1，设| | = , 与 的夹角为 ，
2+ 2 2 2 | |
在△ 中， = 2 = 2 = ，2| |
1
所以 = | || | = | ||
| |
| 2 1 2
|
= 2 | | ． |
因为| + | = ( + )2 =
2
+ 2 + 2
2
= 9 +
2 2
+ 2
2
= 9 + 2 + 2 2 = 2( + 1 )2 + 9 ，当 = 1时，| +
2
2 4 2 |有最小值 9 4 ，
9
2
所以 4 = 1，解得 = 4 2，即|
+ |取最小值 1 时，| | = 4 2．
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