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2025-2026学年云南省文山州文山一中高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3,4,5}， = { ∈ | 2 7 + 6 ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. [1,5] B. [0,6] C. {2,3,4,5} D. {1,2,3,4,5}

2.设 = (2 + )，则 =( )
A. 1 + 2 B. 1+ 2 C. 1 2 D. 1 2
3.已知空间向量 = ( , 1,2)， = (4,2,4)，若 ⊥ ，则 =( )
A. 1 B. 5 32 C. 2 D. 3
4.已知直线 过点 (1,2)， (3,4)，则直线 的倾斜角为( )
A. 6 B.

3 C. 4 D.

3
5.已知直线 1， 2， 1的倾斜角为 60°.若 1 ⊥ 2，则 2的斜率为( )
A. 3 33 B. 3 C. 3 D. 3
6.空间向量 = (1,0,1)在 = (0,1,1)上的投影向量为( )
A. ( 1 , 0, 1 2 2 12 2 ) B. ( 2 , 0, 2 ) C. (0, 2 ,
1
2 ) D. (0,
2
2 ,
2
2 )
7.已知 (0,0,2)， (1,0,2)， (0,2,0)，则点 到直线 的距离为( )
A. 2 23 B. 1 C. 2 D. 2 2
8.长方体 1 1 1 1中， = = 2， 1 = 3， 为侧面 1 1内的一个动点，且 1 ⊥ ，
记 与平面 1 1所成的角为 ，则 的最大值为( )
A. 221 B. 17 221 1517 17 C. 15 D. 15
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 32 2 +
3
2 2 ，则下列选项正确的有( )
A. ( )的最小正周期为 B.曲线 = ( ) 关于点( 3 , 0)中心对称
C. ( ) 的最大值为 3 D.曲线 = ( )关于直线 = 6对称
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
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A.两条不重合直线 1， 2的方向向量分别是 = (2,3, 1)， = ( 2, 3,1)，则 1// 2
B.两个不同的平面 ， 的法向量分别是 = (2,2, 1)， = ( 3,4,2)，则 ⊥
C.直线 的方向向量 = (1, 1,2)，平面 的法向量是 = (6,4, 1)，则 ⊥
D.直线 的方向向量 = (0,3,0)，平面 的法向量是 = (0, 5,0)，则 //
11.已知直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 2， ⊥ ，点 为 1 1的中点，则下列说法正确
的是( )
A. = 1 + 1 + 12 2
B. 1//平面 1
C. 3异面直线 与 1 所成的角的余弦值为12
D. 2 5点 1到平面 的距离为 5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知直线 1的倾斜角为 45°，直线 1// 2，且 2过点 ( 2, 1)和 (3, )，则 的值为______．
13.在长方体 1 1 1 1中，设 = 1 = 1， = 2，则 1 =______．
14.若 , , 为空间两两夹角都是 120°的三个单位向量，则| + 2 3 | = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 2 ， = 2 ．
(1) 求 的值；
(2)若 = 2 时，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
如图，在平行六面体 1 1 1 1中， = 5， = 3， 1 = 4，∠ = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，
设 = ， = ， 1 = ．
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(1)用 ， ， 表示 1；
(2)求 1的长．
17.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 为 1的中点， = 1 = 2 = 2．
(1)证明： ⊥ 1 ；
(2)求二面角 1 的余弦值．
18.(本小题 17 分)
如图所示，四棱锥 的底面 是矩形， ⊥底面 ， = = 3， = 3， = 13 ， =
1
3 ．
(1)证明： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
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19.(本小题 17 分)
⊥ , ∠ = 如图，在四棱锥 中， 平面 3，底面 为直角梯形， // ， ⊥ ， =
2 = 4， = 2 2．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成角(即两个平面相交时所成的锐二面角)的余弦
7
值为9，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13. 1
14. 21
15.解：已知在△ 中， = 2 ， = 2
2 2 2
(1) ∵ = 2 + ，由余弦定理得， = 2 2 ，
又 = 2 ，
2 2
∴ = 2 × 2 × + (2 )
2
，化简得 2 = 6 22 ，
∴ = 6．
(2) (1) = = 6 由 得 2 2×2 =
6
4 ，
∴ 为锐角，∴ = 1 cos2 = 104 ，
∵ = 2，∴ = 2 6，
∴△ 的面积 = 12 =
1
2 × 2 6 × 2 ×
10
4 = 15．
16.解：(1) ∵在平行六面体 1 1 1 1中， = ， = ， 1 = ，
∴ 1 = + + 1 = + + 1 = + + ．
(2) ∵ = 5， = 3， 1 = 4，∠ = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，
1 = + + 1 = + + 1 = + + ．
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∴ 1
2
= ( + + )2
2
= 2 + + 2 + 2 + 2 + 2
= 25 + 9 + 16 + 0 + 2 × 5 × 4 × 60° + 2 × 3 × 4 × 60°
= 82．
∴ 1的长| 1| = 82．
17.解：(1)证明：在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ 1 ⊥ ，
1， 平面 1 1，且 1 ∩ = ，
∴ ⊥平面 1 1，
∵ 1 平面 1 1，∴ ⊥ 1E.
(2)以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 1所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
由 ⊥ ， = 2，得 = 3，
∴ ( 3, 0,0)， (0,1,1)， 1(0,0,2)， (0,0,1)，
设平面 1的一个方向向量为 = ( , , )，
= ( 3, 1,1)， 1 = ( 3, 0,2)，

∴
= 3 + + = 0
，令 = 3，得 = (2, 3, 3)， 1 = 3 + 2 = 0
∵ ⊥平面 1 1，∴ = ( 3, 0,0)是平面 1 的一个法向量，

∴ cos < , >= 2 3 10
| | |
=
| 10 3
= 5 ，
∴二面角 1 的余弦值为
10．
5
18.解：(1)证明：∵ ⊥底面 ， 平面 ， 平面 ，且底面 为矩形，
∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则建立以 为原点，以 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴的空
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间直角坐标系 ，如图所示：
= = 3， = 3， = 1 13 ， = 3 ，则 (0,0,0)， (3,0,0)， (2,3,0)
(2,0,1)， (0,3,0)， (3,0,0)， (3,3,0)， (0,0,3)， (2,0,1)，
则 = (0,3, 1)，
又 ⊥平面 ，在平面 的一个法向量为 = (3,0,0)，
∴ = 0，即 ⊥ ，
又 平面 ，
∴ / /平面 ；
(2)由(1)得 = (3,0, 3)， = (3,0,0)， = (2, 3,1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 3 = 0
则

，取 = 3，则 = 1， = 0，
= 2 3 + = 0
∴平面 的一个法向量为 = (0,1,3)，
设直线 与平面 所成角为 ，
| ∴ = |cos < > | =
| 9 3 5
， = =
| | | | 3 2× 10 10
，
故直线 与平面 所成角的正弦值为3 5．
10
19.(1)证明：由 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
又 ⊥ ，由 ∩ = ，且 ， 平面 ，
所以 ⊥面 ，
又 面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2) (1) ⊥ ∠ = 解：由 易知 ，又 3，过 作 ⊥ 于 ，
由面 ⊥面 ，面 ∩面 = ， 面 ，
所以 ⊥面 ，
过 作 // ，易知 ⊥ ，
故可构建如图示空间直角坐标系，
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又 = 2 = 4, = 2 2, // ，
则 (0, 3,0), ( 3, 0,0), (0,1,2 2), (0, 1,2 2)，
所以 = ( 3, 3,0), = (0,2,2 2), = (0,2,0)，
若 = ( , , )是面 的一个法向量，
= 3 + 3 = 0
则 ,解得 = ( 6, 2, 1)， = 2 + 2 2 = 0

所以点 | | = 2 2到平面 的距离 | | 3 ；
(3)解：同(2)构建空间直角坐标系，
易知平面 的法向量 = ( 6, 2, 1)，
设 = ，
于是 = + = +
= (0,0,2 2) + ( 3, 1, 2 2)
= ( 3 , , 2 2 2 2 )，
= (0,2, 2 2)，
设 = ( , , )是平面 的一个法向量，
= 3 + (2 2 2 2 ) = 0
则 ，
= 2 2 2 = 0
令 = 1, = ( 3 2 2 23 , 2, 1)，
7
因为平面 与平面 所成角的余弦值为9，
= 6 × 3 2 2 2+ 2 × 2 1 × 1 = 5 + 43 ，
| | = ( 6)2 + ( 2)2 + ( 1)2 = 3，
| | = ( 3 2 2 2 23 ) + ( 2)
2 + 12 = 8 83 2 + 9，
5+4
可得 cos < >= ， | | | | = ，3× 8 82 +93
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5+4
可得|cos < ， > | = | | = 7，
3× 8 8 9
3 2
+9
整理得 81 2 12 5 = 0 1 5，解得 = 3或 = 27 (舍)，
= 1故 3 ，所以 = 2．
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