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2024-2025 学年青海省海南州第三民族高级中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 3 = 6 4 ，则 等于( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2.函数 = 2 的导数为( )
A. ′ = 2 2 B. ′ = 2 + 2
C. ′ = 2 2 D. ′ = 2
3.( 2 + + )5的展开式中， 5 2的系数为( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 60
4.已知函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则 ( )的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了 6 箱相同规格的医用外科口罩，
现需将这 6 箱口罩分配给 4 家医院，每家医院至少 1 箱，则不同的分法共有( )
A. 10 种 B. 40 种 C. 80 种 D. 240 种
6.函数 ( ) = 2 的单调递减区间是( )
A. (0, 22 ] B. [
2
2 , + ∞)
C. ( ∞, 22 ]，(0,
2
2 ) D. [
2
2 , 0)，(0,
2
2 ]
7.已知函数 ( ) = 2 2 ，则 (2 2)， ( 12)， (log23)的大小关系是( )
3
A. ( 12) < ( 23) < (2 2) B. ( 12) < (2 2) < ( 23)
3 3
C. ( 23) < ( 12) < (2 2) D. (2 2) < ( 23) < ( 12)
3 3
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8.设 为正整数，( + )2 展开式的二项式系数的最大值为 ，( + )2 +1展开式的二项式系数的最大值为
，若 13 = 7 ，则 =( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + ，下列结论中正确的是( )
A. 0 ∈ ， ( 0) = 0
B.函数 = ( )的图象是中心对称图形
C.若 0是 ( )的极小值点，则 ( )在区间( ∞, 0)单调递减
D.若 0是 ( )的极值点，则 ′( 0) = 0
10.为了提高教学质量，省教育局派 5 位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有 3 所重点高中，
则下列说法正确的有( )
A.每个教研员只能去 1 所学校调研，则不同的调研方案有 243 种
B.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有 150 种
C.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有 300 种
D.若每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员不去同一所高中则不同的调研安排方案有有 114
种
11.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + ， < 0，则 ( )的图象可能是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 ∈ {1,2,3}， ∈ {5,7,9}，则 的不同的值有______个.
13.曲线 = 2 + 1 在点(0,2)处的切线与直线 = 0 和 = 围成的三角形的面积为______．
14.已知直线 为函数 ( ) = 3 + 16 的切线，且经过原点，则直线 的方程为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
求下列函数的导数：
(1) = ；
(2) = ( + 1)( + 2)( + 3)；
(3) = 2 2+1；
(4) = 2 ．
16.(本小题 15 分)
如图，在半径为 4 的四分之一圆( 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ，其中点 在圆弧上，点 ，
在两半径上，现将此矩形铝皮 卷成一个以 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩
形的边长 = ，圆柱的体积为 3．
(1)求出体积 关于 的函数关系式，并指出定义域；
(2)当 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积 最大？最大体积是多少？
17.(本小题 15 分)
7 人站成一排.求：
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？
18.(本小题 17 分)
某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费 (单位：百万
元)，可增加销售额约为 2 + 5 (单位：百万元)(0 ≤ ≤ 3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最
大？
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(2)现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费 (单位：百万
1
元)，可增加的销售额约为 3
3 + 2 + 3 (单位：百万元)．
请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大. (收益=销售额 投入)
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + 在点 0处取得极小值 4，其导函数的图象经过( 1,0)，(1,0)，如图所示：
(1)求 0的值；
(2)求 ， ， 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.9
13.13
14. = 13
15.
16.解：(1)在 △ 中，
因为 = ，所以 = 16 2，
设圆柱的底面半径为 ，则 16 2 = 2 ，即 16 2 = 4 2 2，
16 3
所以 = 2 = 4 ，定义域为{ |0 < < 4}．
(2) (1) = 2 = 16
3
0 < < 4 ( ) = 16 3
2
由 得 4 ， ， ′ 4 ，
2
令 ′( ) = 0 16 3 ，则 4 = 0，解得 =
4 3
3 ，
当 0 < < 4 33 时， ′( ) > 0
4 3
，当 3 < < 4 时， ′( ) < 0，
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所以 ( )在(0, 4 33 )
4 3
上单调递增，在( 3 , 4)上单调递减．
64 3 64 3
4 3 4 3
当 = 时，圆柱形罐子的体积 最大，最大体积是 ( ) = 3
9 = 32 3 33 3 4 9 ．
17.
18.解：(1)设投入 ( 百万元)的广告费后增加的收益为 ( )(百万元)，
则有 ( ) = ( 2 + 5 ) = 2 + 4 = ( 2)2 + 4(0 ≤ ≤ 3)，
所以当 = 2 百万元时， ( )取得最大值 4 百万元．
即投入 2 百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用技术改造的资金为 (百万元)，
则用于广告促销的资金为(3 )(百万元)，
则增加的收益为 ( ) = ( 1 33 +
2 + 3 ) + [ (3 )2 + 5(3 )] 3 = 13
3 + 4 + 3(0 ≤ ≤ 3)，
所以 ′( ) = 2 + 4.令 ′( ) = 0，
解得 = 2，或 = 2(舍去)．
又当 0 ≤ < 2 时， ′( ) > 0，
当 2 < ≤ 3 时， ′( ) < 0．
故 ( )在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数．
所以当 = 2 时， ( )取最大值，
即将 2 百万元用于技术改造，1 百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．
19.解：(1)由图象可知，
在( ∞, 1)上 ′( ) < 0，
在( 1,1)上 ′( ) > 0，
在(1, + ∞)上 ′( ) < 0．
故 ( )在( ∞, 1)，(1, + ∞)上递减，在( 1,1)上递增．
因此 ( )在 = 1 处取得极小值 4，所以 0 = 1．
(2) ′( ) = 3 2 + 2 + ，
由 ′( 1) = 0， ′(1) = 0， ( 1) = 4，
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3 2 + = 0
得 3 + 2 + = 0，
+ = 4
解得 = 2， = 0， = 6．
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