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2025-2026学年河南省青桐鸣大联考高二（上）开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 2 2 3 + 2025 = 0 的倾斜角为( )
A. 2 5 6 B. 3 C. 3 D. 6
2.已知 = { 1,0,2}， = { || 2| ≤ 2}，则 ∩ =( )
A. {0,2} B. { 1} C. { 1,0} D. { 1,1}
3.若 ( ) = ( 4 + ) 的图象关于原点对称，则实数 的值为( )
A. 4 B. 1 C. 2 D. 0
4.设点 (0,1)到直线 1： 2 = 0 的距离为 1，直线 1与直线 2： 5 = 0 之间的距离为 2，则 1
与 2之间的大小关系为( )
A. 1 > 2 B. 1 = 2 C. 1 < 2 D.无法确定
5.函数 ( ) = sin(2 + ) 10 6 的图象在区间[0, 3 ]内的对称轴条数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.过点( 1,0)，(3,0)，(0,2)的圆的圆心坐标为( )
A. (1, 1 1 12 ) B. (1, 4 ) C. (1, 4 ) D. (1,
1
2 )

7.设随机事件 ， 满足 ( ) = ( ) = 0.75， ( ) = 0.6，则 ( ) =( )
A. 0.4 B. 0.35 C. 0.25 D. 0.1
8.已知平面向量 = ( 2, 2), = ( 1,2 )， ， ∈ ，若 ， ， 三点共线，则 的
取值范围为( )
A. ( ∞,3 22 ] B. ( ∞,2
2
4 ] ∪ [2 +
2
4 , + ∞)
C. ( ∞, 3 2 3 22 4 ] ∪ [ 2+ 4 , + ∞) D. [2 +
2
2 , + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某工厂生产了一批钢丝，现随机抽取其中 5 根，得到它们的长度分别为 51，58，53，59，54(单位：厘
米)，则这组数据的( )
A.极差为 3 B.平均数为 55 C.中位数为 54 D.方差为 9
10.已知函数 ( ) = lg +1 ，则下列选项正确的有( )
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A. ( )的定义域为( ∞, 1) ∪ (0, + ∞)
B.曲线 = ( ) 1的图象关于点( 2 , 0)中心对称
C.若 ∈ ，则 2 ( ) > 1
D. (2) < 2 (4)
11.已知 为坐标原点，过点 ( 2,0)的直线 与圆 ： 2 + 2 = 1 交于 ， 不同的两点，分别作圆 在点 ，
处的切线，两条切线相交于点 ，则下列选项正确的有( )
A. ⊥ sin∠ = 2当 时， 4
B.当直线 1 2的斜率为2时，△ 的面积为5
C. | | = 2 1当 时，△ 的外接圆半径为2
D.当∠ = 5 12时，| | = 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知某圆柱与某圆锥的母线长均为 6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的 2 倍，若圆柱的体积为 96 ，
则圆锥的体积为______．
13.若圆 2 + 2 + + 5 + 2 = 0( ∈ )恒过两个不同的定点 ， ，则| | =______．
14.已知函数 ( ) = |2 |( > 1)，则方程 ( ( )) = 0 的根的个数为______，其所有根之和的取值范围为
______(提示：函数 ( ) = 2 ( 2 )2在(1, + ∞)上单调递增)．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知圆 ： 2 + 2 = 2，直线 1： + + 2 = 0，直线 2：2 + + 3 = 0， ∈ ．
(1)探究 1与 2是否垂直；
(2)若 = 1，判断 1与圆 的位置关系；
(3) 1若 = 2，求圆 与圆 ：( 2 )
2 + 2 = 4 公切线的条数．
16.(本小题 15 分)
△ ≠ 2 , + 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 2．
(1)证明：△ 为等腰三角形；
(2)若 = 3， = 2，求 的值．
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17.(本小题 15 分)

在平面直角坐标系 中，直线 1： + = 1( , ≠ 0)的一个方向向量为 = (1,1)．
(1)证明： + = 0；
(2)若直线 2的方向向量与直线 1的方向向量的数量积为 0，且点 到直线 2的距离为 1，求 2的一般式方程．
18.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系 中，已知 (3,4)， ( , )， ( , 0)，满足| |2 + (| | 4)2 = 32，点 与点 可以重
合，记点 的轨迹为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)若 ⊥ ，求| |的值；
(3)若点 不与原点 重合，求∠ 的角平分线所在直线的斜截式方程．
19.(本小题 17 分)
已知圆 1： 2 + 2 = 1，圆 2： 2 2 3 + 2 2 + 4 1 = 0, ≠ 0,
1
2．
(1)证明： 1与 2相切；
(2)若 1与 2内切，求公切线 的方程；
(3)若 > 1 3 12，且 ≠ 1，圆 3与 1内切于点 ( 2 , 2 )，且 与
2
3 2的面积之积为 ，若经过点 2， 3的直线分
别交 2于点 (异于点 )，交 3于点 (异于点 )，证明：以 为直径的圆过定点．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.16 23
13.3
14.2 (0, + ∞)
15.(1)因为 1 × 2 + × 1 = 3 ，
若 = 0，则 1与 2垂直，
若 ≠ 0，则 1与 2不垂直；
(2)当 = 1 时， 1： + + 2 = 0，圆 ： 2 + 2 = 1，
则圆 的圆心为 (0,0)，半径为 1 = 1，
因圆心 (0,0) 2到直线 1的距离为 = 2 > 1 = 1，12+12
所以 1与圆 相离；
(3) 1 1当 = 2时，圆 ：
2 + 2 = 2 24，圆 ：( 1) + = 4，
则圆 的圆心为 (0,0)，半径为 2 =
1
2，
圆 的圆心为 (1,0)，半径为 3 = 2，
则两圆的圆心距为| | = 1 < | 2 3|，
则圆 与圆 内含，其公切线的条数为 0．
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16. (1) △ + 证明： 中， = 2，
+ = sin( + ) sin( ) 由正弦定理可得 = = = 2，
可得 = 2 = 2 ，
又 ≠ 2 ，所以 + 2 = ，
又 + + = ，可得 = ，则有 = ，
所以△ 为等腰三角形；
解：(2)若 = 3， = 2，则 = = 2，
2 2 2 2 2 2
可得 = + 2 =
2 +2 3
2×2×2 =
1
8，
又 ∈ (0, )，
所以 = 1 cos2 = 1 1 3 764 = 8 ．
17. 证明：(1)由 + = 1 可化为 = ，

则其一个方向向量为(1, )，

由题意可知(1, ) = (1,1)，

解之得 = 1, = 1，
所以 + = 0；
解：(2)设直线 2的方向向量为( , )，则该直线方程为 + + = 0，
( , ) (1,1) = 0 =
由题意可知 | | = 1 ，解之得
2 2 =± 2
，
+
即该直线方程为 + ± 2 = 0 + ± 2 = 0，
所以 2的一般式方程为 + ± 2 = 0．
18.(1)根据题意， (3,4)， ( , )， ( , 0)，且满足| |2 + (| | 4)2 = 32，
即( 3)2 + 16 + ( 2 4)2 = 32，化简得( 3)2 + (| | 4)2 = 16，
即曲线 的方程为( 3)2 + (| | 4)2 = 16；
(2)由(1)，可得曲线 的图像，如图所示，
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因为 (3,4)，所以| | = 32 + 42 = 5，
又 为圆心， 在圆上，所以| | = 4，
又 ⊥ ，| | = | |2 + | |2 = 52 + 42 = 41；
(3)设∠ 的角平分线所在直线的倾斜角为 ，
当 > 0 时，∠ 为锐角，且 = 12∠ ，又 (3,4)， ( , 0)，所以 tan∠ =
4
3，
tan∠ = 2 = 4 2 4 1所以 3，即1 tan2 = 3，解得 = 2或 = 2，
因为 1为锐角，所以 = 2，
1
又因为∠ 的角平分线过原点(0,0)，所以其直线方程的斜截式为： = 2 ；
当 < 0 时，∠ = 1为钝角，且 2∠ + ∠ ，又 (3,4)， ( , 0)
4
，所以 tan∠ = 3，tan∠ =
4
3，
2 1∠
所以 tan∠ = 2( 12∠ ) =
4 2 = 43，即 ，1 tan21 32∠
tan 1∠ = 1 1解得 2 2或 tan 2∠ = 2，
1 1
因为2∠ 为锐角，所以 tan 2∠ = 2，
tan11 2∠ +tan∠ 2+
4
所以 = tan( 2∠ + ∠ ) = =
3 = 2，
1 tan12∠ tan∠ 1 2×
4
3
又因为∠ 的角平分线过原点(0,0)，所以其直线方程的斜截式为： = 2 ．
综上所述，∠ 1的角平分线所在直线的斜截式方程为 = 2 或 = 2 ．
19.(1)证明：由 1： 2 + 2 = 1，可得圆心 1(0,0)，半径 1 = 1，
圆 22： 2 3 + 2 2 + 4 1 = 0，可得( 3 )2 + ( )2 = (2 1)2，
可得圆心 2( 3 , )，半径 2 = |2 1|，
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则| | = ( 3 0)21 2 + ( 0)2 = 4 2 = 2| |，
1
当 > 2时，可得 2 = 2 1，| 1 2| = 2 ，则| 1 2| = 1 + 2，两圆相外切；
当 0 < < 12时，可得 2 = 1 2 ，| 1 2| = 2 ，则| 1 2| = 1 2，两圆相内切；
当 < 0 时，可得 2 = 1 2 ，| 1 2| = 2 ，则| 1 2| = 2 1，两圆相内切；
1
综上可得，当 ≠ 0, ≠ 2时，圆 1与 2相切；
2 + 2 = 1
(2)解：联立方程组 2 ，可得 3 + 2 = 0， 2 3 + 2 2 + 4 1 = 0
设直线 的方程为 3 + 2 = 0，由点 | 2|1到直线 的距离为 1 = = 1 = 1，
( 3)2+1
|3 + 2|点 2到直线 的距离为 2 = = |2 1| = 2，
( 3)2+1
所以直线 与 1相切，也与 2相切，所以 为圆 1与 2的公切线方程，
即圆 1与 2的公切线方程 3 + 2 = 0；
2 + 2 = 1
(3) 1证明：联立方程组 ，整理得(2 1)2 = 0，解得 = ，
3 + 2 = 0 2
( 3 , 1 ) ( 3 1所以 1与 2的切点为 2 2 ，且圆 3与 1内切于点 2 , 2 )，
所以直线 2 3过点 1(0,0), (
3 , 12 2 )的直线，
3
此时直线方程为 1： = 3 ，
1
当 > 2且 ≠ 1 时，可得 2 = 2 1，且 2和 3的面积之积为
2，
则 (2 1)2 × 23 = 2
1
，可得 3 = 2 1，
又由直线 1的倾斜角为 30°，则有 = (2 2 30°, 2 2 30°), = ( 2 3 30°, 2 3 30°)，
( 3(4 1) , 4 1 3(2 3) 2 3可得 2 2 ), ( 4 2 , 4 2 )，
( 3(4 1) )( 3(2 3) ) + ( 4 1 )( 2 3则以 为直径的圆的方程为： 2 4 2 2 4 2 ) = 0，
2
2 + 2 3 × 4 2 1
2 2
整理得 2 1
4 2 1 8 14 +3
2 1 + 2 1 = 0，
即( 2 + 2)(2 1) (4 2 2 1)( 3 + ) + 8 2 14 + 3 = 0，
将其整理为关于 的二次多项式，可得：[ 4( 3 + ) + 8] 2 + [2( 2 + 2) + 2( 3 + ) 14] [( 2 +
2) ( 3 + ) 3] = 0，
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4( 3 + ) + 8 = 0
2 + 22 = 5所以 2( + 2) + 2( 3 + ) 14 = 0，即 ，
2 2 3 + = 2( + ) ( 3 + ) 3 = 0
= 3+2 = 3 2
解得 2 或 2 ，
= 1 2 32 =
1+2 3
2
所以以 为直径的圆恒过定点( 3+2 , 1 2 3 3 2 1+2 32 2 ), ( 2 , 2 )．
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