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2024-2025 学年海南省临高县新盈中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3,4}， = { | 2 6 + 5 < 0}，则 ∩ =( )
A. {0} B. {0,1} C. {2,3,4} D. {1,2,3,4}
2.已知 = (3, 2, 1)， = (2, , 3)，若 ⊥ ，则 的值为( )．
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
3.复数 6 + 5 与 3 + 4 分别表示向量 ， ，则表示向量 的复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.如图所示为 = ′( )的图象，则函数 = ( )的单调递减区间是( )
A. ( ∞, 1)
B. ( 2,0)
C. ( 2,0)，(2, + ∞)
D. ( ∞, 1)，(1, + ∞)
5.在△ 中， = 5，∠ = 4， = 2，则 的值是( )
A. 10 2 B. 2 10 C. 10 D. 2
6.给一些书编号，准备用 3 个字符，其中首字符用 ， ，后两个字符用 ， ， (允许重复)，则不同编号的
书共有( )
A. 8 本 B. 9 本 C. 12 本 D. 18 本
7.在等差数列{ }中，已知 3 + 4 = 12，则数列{ }的前 6 项之和为( )
A. 12 B. 32 C. 36 D. 72
8.从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中任取 2 个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是( )
A.恰有一个红球与恰有两个红球 B.至少一个红球与至少一个白球
C.至少一个红球与都是白球 D.至少一个红球与都是红球
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.已知双曲线 ： 3 = 1 过点(3, 2)，则下列结论正确的是( )
A. 的焦距为 4
B. 的离心率为 3
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C. 的渐近线方程为 =± 33
D.直线 2 3 1 = 0 与 有两个公共点
2 2
10 .已知椭圆16 + = 1 的焦距是 2 3，则 的值可能是( )
A. 13 B. 13 C. 19 D. 19
11.下列求导运算错误的是( )
A. ( )′ = B. (3 )′ = 3 log3 C. ( )′ =
1
10 D. (
2)′ = 2 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某运动队有 5 对老搭档运动员，现抽派 4 名运动员参加比赛，则这 4 人都不是老搭档的抽派方法数为
______．
13.等比数列{ }中， 1 + 2 = 1， 4 + 5 = 8，则{ }的前 4 项和等于______．
14.已知 tan( + 4 ) = 3
1
，则tan +1 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 + ．
(1)若函数 ( )在 = 1 处取得极小值 4，求实数 ， 的值；
(2)讨论 ( )的单调性．
16.(本小题 15 分)
我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数
来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有 996 斤棉花要赠送给 8 个子女做旅费，从第 1 个孩子
开始，以后每人依次多 17 斤，直到第 8 个孩子为止……你能根据这些信息算出每人分得了多少棉花吗？
17.(本小题 15 分)
已知抛物线 ： 2 = 2 的焦点 到准线的距离为 2，过 的直线 与 交于 ， 两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线 的倾斜角为 45°，求| |．
18.(本小题 17 分)
1 1
数列{ }满足 1 = 1，2 = +1 2
+ 1( ∈ ).

(1) 1求证：数列{ }是等差数列；
(2)求数列{ }的通项公式．
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19.(本小题 17 分)
如图，直三棱柱 1 1 1中， = = 1，∠ = 120°， 1 = 3．
(1)证明： 1 1//平面 1；
(2)求点 到平面 1的距离．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.80
13.5
14.13
15.解：(1) ′( ) = 6 2 2 ，
′(1) = 0 6 2 = 0
则 ，即 ，
(1) = 4 2 + = 4
= 3
解得 = 3．
(2) ′( ) = 6 2 2 = 2 (3 )，
令 ′( ) = 0 ，得 = 0 或 = 3，
当 = 0 时， ′( ) ≥ 0， ( )在( ∞, + ∞)上单调递增，
当 < 0 时，在( ∞, 3 )，(0, + ∞)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
在( 3 , 0)上 ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 > 0 时，在( ∞,0)，( 3 , + ∞)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
(0, 在 3 )上 ′( ) < 0， ( )单调递减，
综上所述，当 = 0 时， ( )在( ∞, + ∞)上单调递增，
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当 < 0 时， ( )在( ∞, 3 )，(0, + ∞)上单调递增，在( 3 , 0)上单调递减，
当 > 0 时， ( )在( ∞,0)，( 3 , + ∞)上单调递增，在(0,

3 )上单调递减．
16.
17.
18.解：(1) 1 1证明：∵ 2 = +1 2 + 1( ∈ )，
∴ 1 1 = 2， +1
∴ { 1数列 }是以 1 为首项，2 为公差的等差数列；
(2)由(1) 1可知， = 1 + 2( 1) = 2 1，
1
故 = 2 1．
19.(1)证明：∵ 1 1 1为三棱柱，
∴ 1 1// ，
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又 1 1 平面 1， 平面 1，
∴ 1 1//平面 1．
(2)解：(方法一)在△ 中， = = 1，∠ = 120°，
1 3
可求得 = 3，△ 的面积为2 × 1 × 1 × 120° = 4 ，
∵ 1 1 1为直三棱柱，∴ 1 ⊥平面 ，
∴ 1 ⊥ ，从而 1 = 1 = 2，
取 的中点 ，连接 1 ，则 1 ⊥ ，
13
易得 1 = 2 ，
∴△ 1 13 391的面积为2 × 3 × 2 = 4 ，
设点 到平面 1的距离为 ，
由于 三棱锥 = 1 三棱锥 ，1
∴ 1 3 1 39 393 × 4 × 3 = 3 × 4 × ，解得 = 13 ，
∴ . 39点 到平面 1的距离为 13 ．
(方法二)取 的中点 ，连接 ， 1 ，
在△ 1中，过点 作 ⊥ 1 ，垂足为 ，
∵ 1 1 1为直三棱柱，∴ 1 ⊥平面 ，
∴ 1 ⊥ ，
又∵ = ， 为 中点，
∴ ⊥ ，
∵ 1 ∩ = ，
∴ ⊥平面 1 ，
又 平面 1，∴平面 1 ⊥平面 1，
∵平面 1 ∩平面 1 = 1 ，
∴ ⊥平面 1，
1 13
由题意可知 1 = 3， = 2， 1 = 2 ，
3×1
= 2 = 39可求得 13 13 ，
2
∴ 39点 到平面 1的距离为 13 ．
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