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2024-2025 学年福建省莆田十五中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数 ( )在 = ( 处可导，且 → 0 0+ ) ( 0)0 = 2，则 ′( 0) =( )
A. 3 B. 2 C. 32 D. 2
2.如图在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱) 1 1 1 1中， 为 延长线上的一点， = 3 ，
则 1 =( )
A. + 1 3 1

B. + 2 3
1
C. + 13
+ 1
D. + 1 3 1
3 1.已知曲线 ( ) = 22 2 上一点(1, 0)，记 ′( )为函数 ( )的导数，则 (1) + ′(2) =( )
A. 32 B.
3 1 1
2 C. 2 D. 2
2
4.函数 ( ) = 1 的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，则点 1到平面 1 的距离为( )
A. 3 B. 2 3 33 C. 3 D.
1
3
6.正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 为棱 1的中点，点 在面对角线 1上运动( 点异于 ， 1点)，
以下说法错误的是( )
A. 1//平面
B. 1 ⊥ 1
C. 2直线 1 与平面 1 1所成角的余弦值为3
D.三棱锥 11的体积为6
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7 4.已知 为空间中任意一点， 、 、 、 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且 = 3
+ 1 6 ，
则实数 的值为( )
A. 13 B.
1
3 C.
1
2 D.
1
2
8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过 ( 3,4)的直线 的一个
法向量为(1, 3)，则直线 的点法式方程为：1 × ( + 3) + ( 3) × ( 4) = 0，化简得 3 + 15 = 0.
类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点 (1, 3,4)的平面的一个法向量为 = (1,2, 4)，则该平面
的方程为( )
A. + 2 4 + 21 = 0 B. 3 + 4 + 7 = 0
C. 3 + 4 + 21 = 0 D. 3 + 4 11 = 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系 中，下列说法正确的有( )
A.与点 ( 3,4,2)关于 轴对称的点的坐标为( 3, 4, 2)
B.若{ , , }是空间向量的一组基底，且 = + ( , ∈ )，则{ , , }也是空间向量的一组基底
C.已知 = ( 1,2,0)， = (1,2,3)，则 在 3 6上的投影向量的坐标为( 5 , 5 , 0)
D.已知 = ( 1, 12 , 0)，平面 的法向量为 = (1,2,1)，则 //
10.已知函数 ( ) = 3 3 2，其导函数为 ( )，则( )
A. ( )有两个极值点
B. ( )有三个互不相同的零点
C.方程 ( ) = 有三个不同解，则实数 的取值范围为( 4,0)
D. (2 ) = ( )
11.在三棱锥 中，下列命题正确的是( )
A.若 = 1 3
+ 2 3 ，则
= 3
B. △ 1 1 1若 为 的重心，则 = 3 + 3 + 3
C.若 = 0， = 0，则 = 0
D.若三棱锥 的棱长都为 2， ， 分别为 ， 中点，则| | = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (3, 2, + 2)( ∈ )是直线 的方向向量， = (1,2,3)是平面 的法向量，若 // ，则 =______．
13.已知 = (3,0,4)， = ( 3,2,5)，则向量 在向量 上的投影向量是______．
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14.如图所示，在长方体 1 1 1 1中， = 1 = 2， = 4， 1
与平面 1交于点 ，则点 到直线 的距离为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = + 2 + 在 = 1 处的切线方程 6 2 = 0．
(1)求 ， 的值；
(2)求 ( )的单调区间与极值．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为长方形， ⊥底面 ， 是 中点，已知 = 2， = 2 2，
= 2．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求二面角 的大小．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，且 = 2， = 1， = 1， = 2， ⊥ ，
为 的中点．
(Ⅰ)求证： //平面 ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值；
(Ⅲ) 6点 在线段 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 3 ，求点 到平面 的距离．
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18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 2 ( > 0)．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( ) ≥ 32恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为棱 的中点， 为棱 的中点．
(1)求证： 1 //平面 1 1；
(2)求直线 1与平面 1 1所成角的正弦值；
(3)求平面 1 1和平面 1 1 夹角的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.( 33 , 22 5538 38 , 38 )
14.2 173
15.(1)已知函数 ( ) = + 2 + ，
( ) = 则 ′ + 2 + 1，
又在 = 1 处切线方程 6 2 = 0，
所以 = (1) = 4，
′(1) = 6
可 ，
(1) = 4
+ 2 + 1 = 6
即 + 1 = 4 ，
= 1
解得 = 3 ．
(2)由(1)可得 ( ) = + 3 2 + ，
所以 ′( ) = 1 (3 1)(2 +1) + 6 + 1 = ( > 0)，
令 ′( ) > 0 1 1，解得 > 3；令 ′( ) < 0，解得 0 < < 3，
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则 ( )在(0, 13 )
1
单调递减，在( 3 , + ∞)单调递增，
即当 = 13时， ( )
2
的极小值为3 + 3，无极大值．
16.解：(1)证明：因为 ⊥底面 ， 底面 ，所以 ⊥ ，
又底面 为长方形，所以 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)以 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
易知底面 的一个法向量为(0,0,1)，记为 ，
又 (0,0,0)， (0,2 2, 0)， (1, 2, 1)， = (0,2 2, 0)， = (1, 2, 1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )
2 2 = 0
则 = 0，则 ，
= 0 + 2 + = 0
取 = 1，可得 = (1,0, 1)，
设二面角 的大小为 ，
则 = |cos , | = | | = 1 = 2| ， || | 2 2

所以二面角 的大小为4．
17.解：(Ⅰ)证明：设 的中点为 ，连接 ， ，
因为 为 的中点，所以 // 1，且 = 2 ，
又 // = 1，且 2 ，所以 // ，且 = ，
所以四边形 为平行四边形，则 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(Ⅱ)记 的中点为 ，连结 ，
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因为 // ， = 12 = 1 = ， ⊥ ，
所以四边形 是矩形，则 = = 1， ⊥ ，
以 为原点，以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 (0,0,0)， (1, 1,0)， (1,1,0)， (0,0,2)，
则 = (0, 2,0)， = (1, 1, 2)， = (0,0,2)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则 ⊥ = 2 = 0 ，所以 ， ⊥ = 2 = 0
令 = 1，则 = (1,1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则 ⊥ = 2 = 0

，所以 ，
⊥ = 2 = 0
令 = 1，则 = (2,0,1)，
所以 cos < , >= 2 10| | | ， | = 2× 5 = 5
由图可知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 10．
5
(Ⅲ)依题意，设 (0,0, )(0 ≤ ≤ 2)，则 = ( 1, 1, )，
又由(Ⅱ)得平面 的一个法向量为 = (1,1,0)，
记直线 与平面 所成角为 ，

所以 = |cos < , > | = | | = 2 = 6
| | |
，
| 2 2+ 2 3
解得 = 1(负值舍去)，
所以 (0,0,1)，则 = (0,0,1)，
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而由(Ⅱ)得平面 的一个法向量为 = (2,0,1)，
| | 1 5
所以点 到平面 的距离为 | | = 5 = 5 ．
18.解：(1)当 = 1 时， ( ) = + 1 2 , ′( ) =
1 2
3，
则 (1) = 1， ′(1) = 1，
故所求切线方程为 1 = ( 1)，即 + 2 = 0；
2
(2) 1 2 ′( ) = 3 =
2
3 ，
又 > 0，
则当 ∈ (0, 2 )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，当 ∈ ( 2 , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) = ( 2 ) = ln 2 +
1 3
2 ≥ 2，
2
解得 ≥ 2，
2
则实数 的取值范围为[ 2 , + ∞)．
19.解：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则 1(0,0,2)， 1(2,2,2)， (2,1,0)， 1(0,2,2)， (1,2,0)，
设平面 1 1的一个法向量为 = ( , , )，
1 = 0则 ，
1 1 = 0
2 + 2 = 0
即 2 + 2 = 0 ，
令 = 2，则 = 2， = 1，
即 = (2, 2,1)，
又 1 = (1,0, 2)，
则 1 = 2 × 1 + ( 2) × 0 + 1 × ( 2) = 0，
即 1 ⊥ ，
因为 1 平面 1 1，所以 1 //平面 1 1；
(2)设直线 1与平面 1 1所成角的为 ，
由(1)可得：sin = |cos < 1

, > | = | 1 | = 2 3
| 1
= ，
|| | 3×2 3 9
即直线 31与平面 1 1所成角的正弦值为 9 ；
(3)由 ⊥平面 1 1，
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则平面 1 1的一个法向量为 = (2, 2,0)，
cos < , >= 8 2 2则 | = =|| | 3×2 2 3 ，
2 2 1
则平面 1 1与平面 1 1 的夹角正弦值为 1 ( 23 ) = 3．
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