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2025-2026学年重庆外国语学校（B区）高二（上）第三次定时作业
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“直线 ( + 6) + 8 = 0 与 3 + 5 = 0 平行”是“ = 6”的( )条件．
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
2.若直线 的方向向量是(1, )，则直线 的倾斜角 的范围是( )
A. [0, ) B. [0, ] C. [ , 3 ] D. [0, ] ∪ [ 3 4 4 4 4 4 , )
3 1 3 2.已知实数 ， 满足 = 5 5，且 2 3，则 +1的取值范围( )
A. ( ∞, 12 ] ∪ [3, + ∞) B. [
1
2 , 3]
C. ( ∞, 1] ∪ [3, + ∞) D. [ 1,3]
4.已知直线 5 + 12 3 = 0 与直线 10 + + 20 = 0 平行，则它们之间的距离是( )
A. 1 B. 2 C. 12 D. 4
5.已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A.若 // ， ， ，则 // B.若 ⊥ ， ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
6.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为
几何问题加以解决，如： ( )2 + ( )2可以转化为点( , )到点( , )的距离，则 2 + 1 +
2 4 + 8的最小值为( )
A. 3 B. 2 2 + 1 C. 2 3 D. 13
7.已知三棱锥 底面边长均为 3，侧棱 = 2，且 ⊥平面 ，则该三棱锥外接球的半径长为( )
A. 2 B. 52 C. 3 D. 3
8.如图，在平行四边形 中， = 1， = 2，∠ = 45°，现将△ 沿直线 翻折至△ ，
使得点 到达点 的位置，且二面角 的平面角等于 45°，则直线 与平面 所成的角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 (2,3)， (4, 5)到直线 的距离相等，且 过点 (1,2)，则 的方程可能是( )
A. + 4 6 = 0 B. 4 + 6 = 0 C. 2 + 3 7 = 0 D. 3 + 2 7 = 0
10.已知△ 的三个顶点 (2, 1)， ( 2,7)， ( 2,1)，则下列描述正确的有( )
A.直线 的倾斜角不存在
B.直线 的斜率为 2
C.边 上的高所在直线的方程为 2 + 4 = 0
D.边 上的中线所在直线的方程为 + 3 = 0
11.如图，直三棱柱 1 1 1所有棱长均为 4， ， ， ， 分别在棱 1 1， 1 1， ， 上，(不与
端点重合)且 1 = 1 = = ， ， 分别为 ， 1 中点，则( )
A. 1 1//平面
B.过 ， ， 三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形
C. 在△ 1 1
2
1内部(含边界)，∠ 1 = 6，则 到棱 1 1距离的最小值为3 3
D.若 ， 分别是平面 1 1和 1 1内的动点，则△ 周长的最小值为 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.过点 (3, 1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 ．
13.直线 2 4 = 0 上有一点 ，它与两定点 (4, 1)、 (3,4)的距离之差最大，则 点的坐标是______．
14.正四面体的棱长为 2， 是它内切球的一条弦(把球面上任意 2 个点之间的线段称为球的弦)， 为正四
面体表面上的动点，当弦 最长时， 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知直线 的方程为：(2 + ) + (1 2 ) + (4 3 ) = 0．
(1)求证：不论 为何值，直线必过定点 ；
(2)过点 引直线 1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 1的方程．
16.(本小题 15 分)
已知直线 ：2 3 + 1 = 0，点 ( 1, 2).求：
(1)点 关于直线 的对称点 ′的坐标；
(2)直线 ：3 2 6 = 0 关于直线 对称的直线 ′的方程；
(3)直线 关于点 ( 1, 2)对称的直线 ′的方程．
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17.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 3sin( + ) = 1．
(1)求 ；
(2)若 = 4，△ 的面积为 4 3， 为 边上一点，满足 = 3 ，
①求△ 的周长；
②求 的长．
18.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是等腰梯形， // ，△ 是正三角形.已知 = 4， = =
= 2， = 10．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
在四棱锥 中，底面 为正方形， 是 的中点， ⊥平面 ， = 3， = 2，平面 ∩
平面 = ．
(1)求证： // ；
(2)如图， ∈ 且 = 3，求点 到平面 的距离；
(3)设四棱锥 的外接球球心为 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正
3 105
弦值为 35 ？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. + 2 = 0 或 + 3 = 0
13.(5,6)
14.43
15.(1)证明：原方程整理得：( 2 3) + 2 + + 4 = 0．
2 3 = 0 = 1
由 2 + + 4 = 0，可得 = 2，
∴不论 为何值，直线必过定点 ( 1, 2)；
(2)解：设直线 1的方程为 = ( + 1) 2( < 0)．
= 0, = 2令 ,令 = 0, = 2．
∴ = 1 | 2 1 4 12 || 2| = 2 [( ) + + 4] ≥ 2 (4 + 4) = 4．
当且仅当 = 4 ，即 = 2 时，三角形面积最小．
则 1的方程为 2 + + 4 = 0．
16.解：(1)点 ( 1, 2).点 关于直线 的对称点 ′的坐标为( 0, 0)，
∵直线 ：2 3 + 1 = 0，
0+2 = 3
∴ 0+1 2
2 × 0 12 3 ×
0 2
2 + 1 = 0
0 =
33 4
13， 0 = 13，
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(2)设直线 与直线 的交点为 ，
2 3 + 1 = 0
联立直线 与直线 ， 3 2 6 = 0，解得 (4,3)
在直线 上取一点，如 (2,0)，
则 (2,0)关于直线 的对称点 ′必在直线 ′上，
2 × +2 3 × ( +0 ) + 1 = 0
设对称点 ′( , ) 6 30，则 2 2 0 × 2
，解得 ′( , )，
2 3 = 1
13 13
∵ ′经过点 (4,3)
∴由两点式公式可得，直线 ′的方程为 9 46 + 102 = 0．
(3)设直线 关于点 ( 1, 2)对称的直线 ′的点的坐标为 ( , )，
∴ ( , )关于点 ( 1, 2)对称点为 ′( 2 , 4 )，
∴ ′( 2 , 4 )在直线 ：2 3 + 1 = 0 上，
代入直线方程得：直线 ′的方程为：2 3 9 = 0．
17.(1)因为 3sin( + ) = 1，
所以 3 = 1，所以 2 ( 6 ) 1 = 0，
即 sin( ) = 16 2，
因为 ∈ (0, ) = ，所以 6 6，即 =

3；
(2) 1①因为 △ = 2 =
3
4 = 4 3，所以 = 16．
因为 = 4，所以由余弦定理： 2 = 2 + 2 2 ，
即 16 = 2 + 2 ，所以( + )2 = 64，则 + = 8，
所以 = = 4，即△ 为等边三角形，
则△ 的周长为 + + = 12．
②因为 = 4，且 = 3 ，所以 = 43，
在△ 中，由余弦定理得：
2 = 2 + 2 2 cos = 16 + 16 4 1 73 9 2 × 4 × 3 × 2 = 16 × 9，
4 7
所以 = 3 ．
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18.解：(1)证明：分别作 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
且四边形 为等腰梯形， // ，
所以 ⊥ ，
又 = 4， = = = 2，易知 = 4 1 = 3, = 2，
所以 = 2 + 2 = 7，
因为△ 是正三角形， 是 中点，所以 ⊥ ，且由 = 2，可知 = 3，
又 = 10，所以 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)由(1)可知， ， ， 两两垂直，如(1)图，以 为原点，
以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0, 3)， ( 3, 2,0), ( 3, 2,0), (0,1,0), (0, 1,0)，
所以 = ( 3, 1,0), = (0,1, 3)， = ( 3, 2, 3)， = (0,1, 3)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ = 3 = 0则 ，即
⊥
，
= + 3 = 0
取 = 3，可得 = 1， = 1，所以 = (1, 3, 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ = + 3 = 0则 ，即
⊥
，
= 3 = 0
取 = 3，可得 = 1， = 1，
所以 = (1, 3, 1)，
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设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
= | | |1 3+1| 1则 | | | | = 1+3+1 1+3+1 = 5．
故平面 与平面 1所成锐二面角的余弦值为5．
19.(1)证明：∵四边形 为正方形，∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
又 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ；
(2)取 中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0, 3)， (1,2,0)， ( 1,2,0)， (0, 3, 3)， (1,0,0)，
于是， = (1,2, 3)， = ( 2,0,0)， = (0, 3, 0)，
设平面 的一个法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
⊥ 1 1 = 0 1 + 2 1 3 1 = 0则

，则
⊥ 1
，得 ，
1 = 0 2 1 = 0
故可取 1 = (0, 3, 2)，

∴ | 1| = | 3| 3 7点 到平面 的距离为 | 1| 7
= 7 ．
(3) 3 105存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 35 ，
∵ = = = ，且平面 为正方形，
∴点 在平面上的射影是 的中心，
可设 (0,1, )，则 = ，
∴ 1 + ( 3)2 = 1 + 1 + 2，
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解得 = 33 ．
(0,1, 3 ) 2 3即 3 ，
= (0,1, 3 )，
设 = ， ∈ [0,1]，
∴ ( , 2 , 3 3 )， = ( 1,2 , 3 3 )， = ( 2,2,0)，
设平面 的一个法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
⊥ 2 则 ，则 2
= 0 ( 1) 2 + 2 2 + ( 3 3 ) 2 = 0
⊥ 2
，得 ，
2 = 0 2 2 + 2 2 = 0
取 2 = ( 3( 1), 3( 1), 3 1)，
设直线 与平面 所成的角为 ，
| 2| | 3( 1)
2 3
3 (3 1)|∴ = |cos 2 | =
3 105
|
= = ，
| | 2| 1+(2 3 23 ) 6( 1)
2+(3 1)2 35
化简得 90 2 129 + 46 = 0，
∴ = 2 233或30，
∴ 2 23当 = 3 或
= 30 时，
直线 与平面 3 105所成角的正弦值为 35 ．
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