资源简介

苏科版（2024）九年级上册 2.4 圆周角
【题型1】利用同弧（等弧）所对的圆周角相等求度数
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE的度数是（　　）
A.13° B.16° C.18° D.21°
【举一反三1】如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠AOF等于（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40°，那么∠ABD的度数为（　　）
A.40° B.50° C.70° D.80°
【举一反三3】如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠ABD＝30°，则∠APD的度数为 　 　．
【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝62°，∠ADC＝48°，则∠CEB的度数为　 　．
【举一反三5】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的直径，CF是⊙O的弦，CF⊥AB，垂足为D，若∠BCE＝20°，求∠ACF的度数．
【题型2】同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半
【典型例题】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（　　）
A.28° B.34° C.56° D.62°
【举一反三1】如右图，AB，CE是⊙O的两条直径，D是劣弧BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝34°，则∠CED的度数为（　　）
A.26° B.28° C.34° D.56°
【举一反三2】如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（　　）
A.20° B.40° C.80° D.70°
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 　 　．
【举一反三4】如图，AD是⊙O的直径，P，B，C在圆上．
（1）若＝，若∠AOB＝35°，求∠BPC的度数．
（2）连接AB，CD，若∠PCD＝50°，求∠PBA的度数．
【题型3】利用圆周角定理求周长和面积
【典型例题】如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，则△ACD的面积是（　　）
A.16 B.24 C.32 D.48
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝3，则⊙O的周长为（　　）
A.6π B.3π C.9π D.12π
【举一反三2】如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝2，∠C＝30°，则⊙O的内接正方形的面积为（　　）
A.2 B.4 C.8 D.16
【举一反三3】如图，点A，B，C在⊙O上，四边形ABCO是平行四边形，若OA＝2，则四边形ABCO的面积为 　　 ．
【举一反三4】如图，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2厘米，则△ABC的周长是　 　厘米．
【举一反三5】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥AC于点D，延长DO交⊙O于点E，连接EC、EB、BC，若AC＝6，OD＝．
（1）求⊙O的直径；
（2）求△BEC的面积．
【举一反三6】如图，AC，BD是⊙O的两条直径．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）若⊙O的直径为8，∠AOB＝120°，求四边形ABCD的周长和面积．
【题型4】利用圆内接四边形的性质求度数
【典型例题】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝100°，则∠AOC的度数是（　　）
A.120° B.130° C.140° D.160°
【举一反三1】如图，A，B，C，D四点均在⊙O上，已知：∠AOB＝30°，∠BCD＝80°，OA∥BC，则∠D﹣∠CAD＝（　　）
A.40° B.35° C.30° D.25°
【举一反三2】如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD，则∠BDC的度数是 　 　．
【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
【举一反三4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，求∠C的度数．
【题型5】利用圆周角定理求长度
【典型例题】如图，已知⊙O的半径为5，圆心角∠AOD与∠BOC互补，若弦CD＝6，则弦AB的长为（　　）
A.8 B. C. D.
【举一反三1】如图，直径AB与弦CD交于点E，点F是CD的中点，延长FO交⊙O于点G，若AE＝5BE＝5，且∠AEC＝45°，则FG的长度是（　　）
A.4 B. C. D.
【举一反三2】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　）
A. B.2 C. D.
【举一反三3】如图，AB为⊙O的直径，E为弦CD的中点，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则BC的长是 　 　．
【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，AB的长为8cm，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则弦AC的长为 　 　cm．
【举一反三5】如图，A，C，B，D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长．
【题型6】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD，DC，AC，如果∠C＝65°，那么∠BAD的度数是（　　）
A.15° B.20° C.25° D.30°
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上AB的两侧，连接AC、BC、OD、CD，OD∥BC，若∠ODC＝20°，则∠BAC的度数为（　　）
A.40° B.50° C.60° D.65°
【举一反三2】如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且OD∥BC，若∠BAC＝α，则∠BAD的度数可以表示为（　　）
A.2α B.90°﹣α C. D.
【举一反三3】如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，若AB是⊙O的直径，且∠AED＝15°，则∠BCD的度数为 　 　．
【举一反三4】如图，锐角△ABC内接于圆O，连接OA，设∠OBA＝α，∠C＝β，则α+β的度数为　 　．
【举一反三5】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，BC，BD．若CD＝2OE，求∠A和∠CBD的度数．
【题型7】与圆周角定理有关的最值问题
【典型例题】如图，O的直径AB＝8，∠A＝30°，点P在线段AB上，则PC的最小值为（　　）
A.2 B. C.4 D.
【举一反三1】如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A（6，0）和B（0，2），点P是圆上一个动点，点C（0，﹣3），则PC长度的最小值为（　　）
A.4﹣ B.8﹣ C.2﹣ D.5﹣
【举一反三2】如图，以BC为直径作⊙O，A，D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为 　 ．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为 　 　．
【举一反三4】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC＝4，BC＝3，P为直径AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）当点P在直径AB上运动的过程中，试探究线段EF长度的最小值．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝4，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于D，E．
（1）求的值；
（2）求CE的最大值．
【题型8】圆内接四边形的性质
【典型例题】下列说法正确的是（　　）
①圆内接四边形的内角和是360°；
②圆内接平行四边形一定是矩形；
③四边形外接圆的圆心是四边形各边垂直平分线的交点；
④四边形外接圆的圆心是四边形各内角平分线的交点.
A.①④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
【举一反三1】如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（　　）
A.∠1＝∠4 B.∠1+∠2+∠3+∠5＝180° C.∠4＝∠7 D.∠ADC＝∠2+∠5
【举一反三2】如图，点A、B、C、D在同一个圆上，DB＝DC，DA、CB的延长线相交于点E．若∠BDC＝α，则∠EAB＝　 （用含α的式子表示）．
【举一反三3】如果一个圆内接四边形的三个内角度数之比为1：3：5，则第四个内角的度数是　 　．
【举一反三4】已知四边形ABCD的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为3：1：2：5，判断这个四边形是不是圆内接四边形，并说明理由．
【题型9】利用圆周角定理求半径
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且＝＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A.2 B.4 C.2 D.4
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径长为（　　）
A.2 B. C.2 D.2
【举一反三2】如图，AB、CD为⊙O的两条弦，若∠B+∠C＝90°，AB2+CD2＝100，则⊙O的半径为 　 　．
【举一反三3】如图，在⊙O中，OD⊥AC于点D，∠ABC＝60°，OD＝1，则⊙O的半径长为　 　．
【举一反三4】如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
【举一反三5】如图，在⊙O中，，连接AC，BD，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若，BE＝8，求⊙O的半径．
【题型10】利用圆内接四边形的性质求长度
【典型例题】如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则AC的长是（　　）
A.4 B.2 C.2π D.π
【举一反三1】如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，2），M是劣弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.2
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（　　）
A.4 B. C. D.
【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，，则AE＝　　 ．
【举一反三4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，求AE的长．
苏科版（2024）九年级上册 2.4 圆周角（参考答案）
【题型1】利用同弧（等弧）所对的圆周角相等求度数
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE的度数是（　　）
A.13° B.16° C.18° D.21°
【答案】A
【解析】连接CD，
∵点B是的中点，∴＝，∴BD＝BC，
∵∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∵∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝58°，∴∠DCE＝∠ACB﹣∠DCB＝13°，
∴∠ABE＝∠DCE＝13°.
故选：A．
【举一反三1】如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠AOF等于（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【答案】B
【解析】连接OB，如图所示，
∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝AB，
又∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠AOF＝∠BOF＝30°．
故选：B．
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40°，那么∠ABD的度数为（　　）
A.40° B.50° C.70° D.80°
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠C＝40°，∴∠DAB＝∠C＝40°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝50°．
故选：B．
【举一反三3】如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠ABD＝30°，则∠APD的度数为 　 　．
【答案】70°
【解析】∵∠APD＝∠B+∠D，又∵∠A＝∠D＝40°，∠B＝30°，
∴∠APD＝∠B+∠D＝70°.
【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝62°，∠ADC＝48°，则∠CEB的度数为　 　．
【答案】104°
【解析】连接BC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°．
∵∠ABC＝∠ADC＝48°∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣48°＝42°．
∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝42°+62°＝104°．
【举一反三5】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的直径，CF是⊙O的弦，CF⊥AB，垂足为D，若∠BCE＝20°，求∠ACF的度数．
【答案】解：∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，
∵CF⊥AB，∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝∠E，∴∠ACF＝∠BCE＝20°．
【题型2】同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半
【典型例题】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（　　）
A.28° B.34° C.56° D.62°
【答案】B
【解析】∵∠D＝28°，∴∠BOC＝2∠D＝56°．
∵OC⊥AB，∴点C为的中点，∴，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，
∴∠AOB＝2×56°＝112°．
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝．
故选：B．
【举一反三1】如右图，AB，CE是⊙O的两条直径，D是劣弧BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝34°，则∠CED的度数为（　　）
A.26° B.28° C.34° D.56°
【答案】B
【解析】连接OD，
∵∠ABC＝∠AOC，∠ABC＝34°，∴∠AOC＝68°，∴∠BOC＝180°﹣68°＝112°，
∵D是劣弧BC的中点，∴∠BOC＝∠COD＝∠BOC＝56°，∴∠CED＝∠COD＝28°．
故选：B．
【举一反三2】如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（　　）
A.20° B.40° C.80° D.70°
【答案】B
【解析】∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，
∴∠BOD＝2∠CAB＝2×20°＝40°．
故选：B．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 　 　．
【答案】80°或140°
【解析】如图1中，当BE＝BC时，
∵BE＝BC，∠EBC＝40°，∴∠BCE＝∠BEC＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵弧BD＝弧BD，∴∠BOD＝2∠BCE＝140°；
如图2中，当EB＝EC时，点E与O重合，
∵BE＝EC，∴∠EBC＝∠BCD＝40°，∴∠BOD＝2∠BCD＝80°.
【举一反三4】如图，AD是⊙O的直径，P，B，C在圆上．
（1）若＝，若∠AOB＝35°，求∠BPC的度数．
（2）连接AB，CD，若∠PCD＝50°，求∠PBA的度数．
【答案】解：（1）∵＝，∠AOB＝35°，∴∠COD＝∠AOB＝35°，
∴∠COB＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∴∠BPC＝∠BOC＝55°.
（2）如图：连接OP，
∵∠PCD＝50°，∴∠POD＝2∠PCD＝100°，
∴∠POA＝180°﹣∠POD＝180°﹣100°＝80°，∴∠PBA＝∠POA＝40°．
【题型3】利用圆周角定理求周长和面积
【典型例题】如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，则△ACD的面积是（　　）
A.16 B.24 C.32 D.48
【答案】C
【解析】连接OC，
∵弦CD⊥AB，CD＝8，∴CP＝CD＝4，
∴OP＝＝3，∴AP＝OA+OP＝8，∴S△ACD＝AP CD＝×8×8＝32．
故选：C．
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝3，则⊙O的周长为（　　）
A.6π B.3π C.9π D.12π
【答案】A
【解析】如图，连接AC．
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，∴AB＝2BC＝6，∴OA＝3，∴圆的周长为6π．
故选：A．
【举一反三2】如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝2，∠C＝30°，则⊙O的内接正方形的面积为（　　）
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】C
【解析】连接BO，并延长交⊙O于点D，再连接AD，如图，
∵∠ACB＝30°，∴∠BDA＝30°，
∵BD是直径，∴∠BAD＝90°，
在Rt△ADB中，BD＝2AB＝4，∴⊙O的半径是2，
∵⊙O的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，
∴正方形的边长＝＝2，∴S正方形＝2×2＝8．
故选：C．
【举一反三3】如图，点A，B，C在⊙O上，四边形ABCO是平行四边形，若OA＝2，则四边形ABCO的面积为 　　 ．
【答案】2
【解析】连接OB．
∵四边形OABC是平行四边形，∴OC＝AB，OA＝BC．
∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴△AOB，△OBC都是等边三角形，
∴S平行四边形ABCO＝2××22＝2．
【举一反三4】如图，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2厘米，则△ABC的周长是　 　厘米．
【答案】6
【解析】∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∴∠ACB＝60°，∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝2厘米，∴△ABC的周长是6厘米．
【举一反三5】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥AC于点D，延长DO交⊙O于点E，连接EC、EB、BC，若AC＝6，OD＝．
（1）求⊙O的直径；
（2）求△BEC的面积．
【答案】解：（1）∵OD⊥AC，AC＝6，∴AD＝3，
∵OD＝，∴OA＝4，∴⊙O的直径＝8.
（2）过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，
∵AB为直径，∴∠ACB＝∠CDE＝∠CFE＝90°，∴四边形CDEF为矩形，
∴EF＝CD＝AC＝3，BC＝＝＝2，
∴S△BEC＝×BC×EF＝×3＝3．
【举一反三6】如图，AC，BD是⊙O的两条直径．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）若⊙O的直径为8，∠AOB＝120°，求四边形ABCD的周长和面积．
【答案】解：（1）四边形ABCD是矩形．
理由：∵AC，BD是⊙O的两条直径，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠ABD＝30°，
在Rt△ABD中，DB＝8，∴AD＝4，AB＝4，
∴四边形的周长4+4+4+4＝8+8，面积＝4．
【题型4】利用圆内接四边形的性质求度数
【典型例题】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝100°，则∠AOC的度数是（　　）
A.120° B.130° C.140° D.160°
【答案】D
【解析】∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠D＝180°﹣100°＝80°，∴∠AOC＝2∠D＝160°．
故选：D．
【举一反三1】如图，A，B，C，D四点均在⊙O上，已知：∠AOB＝30°，∠BCD＝80°，OA∥BC，则∠D﹣∠CAD＝（　　）
A.40° B.35° C.30° D.25°
【答案】B
【解析】连接OC，如图所示，
∵OA∥BC，∠AOB＝30°，∴∠OBC＝∠AOB＝30°，
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠AOC＝120°+30°＝150°，∴，
∵∠AOB＝30°，∴，
∵∠BCD＝80°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝80°﹣15°＝65°，
∴∠DAC＝180﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣75°﹣65°＝40°，
∴∠D﹣∠CAD＝75°﹣40°＝35°.
故选：B．
【举一反三2】如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD，则∠BDC的度数是 　 　．
【答案】50°
【解析】由题意知，∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝75°，
∵＝，∴∠BOD＝2∠BAD＝150°，
∵∠BOC＝2∠COD，∠BOC+∠COD＝∠BOD，∴∠COD＝50°，
∴∠BOC＝2∠COD＝100°，∴∠BDC＝∠COB＝50°.
【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
【答案】解：（1）∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝40°，
由圆周角定理得，∠CAB＝∠CDB＝40°，∠CAD＝∠CBD＝40°，
∴∠BAD＝40°+40°＝80°.
（2）证明：∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠1+∠CDB＝∠2+∠CAB，
∵∠BAC＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2．
【举一反三4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，求∠C的度数．
【答案】解：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，∴∠A＝90°﹣20°＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠C＝110°．
【题型5】利用圆周角定理求长度
【典型例题】如图，已知⊙O的半径为5，圆心角∠AOD与∠BOC互补，若弦CD＝6，则弦AB的长为（　　）
A.8 B. C. D.
【答案】A
【解析】过A点作直径AE，连接BE，如图，
∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°，
∵∠AOB+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6，
∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，∵AE＝10，BE＝6，∴AB＝＝8，即AB的长为8．
故选：A．
【举一反三1】如图，直径AB与弦CD交于点E，点F是CD的中点，延长FO交⊙O于点G，若AE＝5BE＝5，且∠AEC＝45°，则FG的长度是（　　）
A.4 B. C. D.
【答案】C
【解析】∵AE＝5BE＝5，
∴AB＝6，EB＝1，OB＝OA＝3，OE＝OB﹣EB＝3﹣1＝2，
∵点F是CD的中点，延长FO交⊙O于点G，∴FG⊥CD，
∵∠AEC＝45°，∴△OFE是等腰直角三角形，∴OF＝EF＝，
∴FG＝OG+OF＝3+.
故选：C．
【举一反三2】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　）
A. B.2 C. D.
【答案】C
【解析】连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝4，∴OD＝2，CE＝DE＝CD，
∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∴△DOE为等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝，∴CD＝2DE＝2.
故选：C．
【举一反三3】如图，AB为⊙O的直径，E为弦CD的中点，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则BC的长是 　 　．
【答案】4
【解析】∵AB为⊙O的直径，E为弦CD的中点，∴AB⊥CD，∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝∠BAD＝30°，∴BC＝2BE＝2×2＝4.
【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，AB的长为8cm，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则弦AC的长为 　 　cm．
【答案】4
【解析】如图，连接OC．
∵AB＝8cm，∴OA＝OC＝4cm，
∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝4cm．
【举一反三5】如图，A，C，B，D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长．
【答案】解：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝×6＝3．
【题型6】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD，DC，AC，如果∠C＝65°，那么∠BAD的度数是（　　）
A.15° B.20° C.25° D.30°
【答案】C
【解析】连接BD，
∵∠C＝65°，∴∠B＝65°．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°．
故选：C．
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上AB的两侧，连接AC、BC、OD、CD，OD∥BC，若∠ODC＝20°，则∠BAC的度数为（　　）
A.40° B.50° C.60° D.65°
【答案】B
【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，∠ODC＝20°，∴∠ODC＝∠DCB＝20°，∴∠DOB＝2∠DCB＝40°，
∴∠OED＝∠CEB＝180°﹣20°﹣40°＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°.
故选：B．
【举一反三2】如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且OD∥BC，若∠BAC＝α，则∠BAD的度数可以表示为（　　）
A.2α B.90°﹣α C. D.
【答案】C
【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝α，∴∠B＝90°﹣α，
∵OD∥CB，∴∠BOD＝∠B＝90°﹣α，
∵OD＝OA，∴∠OAB＝∠ODA，
∵∠BOD＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，∴∠BAD＝×（90°﹣α）＝45°﹣α．
故选：C．
【举一反三3】如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，若AB是⊙O的直径，且∠AED＝15°，则∠BCD的度数为 　 　．
【答案】105°
【解析】∵∠AED＝15°，∴∠ACD＝∠AED＝15°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝∠ACB+∠ACD＝90°+15°＝105°.
【举一反三4】如图，锐角△ABC内接于圆O，连接OA，设∠OBA＝α，∠C＝β，则α+β的度数为　 　．
【答案】90°
【解析】延长AO交圆O于D，连接BD，
∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，∴α+∠D＝90°，
∵∠ACB＝∠D，∴α+β＝90°.
【举一反三5】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，BC，BD．若CD＝2OE，求∠A和∠CBD的度数．
【答案】解：连接OC，
∵直径AB⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2OE，CB＝DB，∴OE＝CE，
∴△COE是等腰直角三角形，∴∠COE＝45°，∴∠A＝∠COE＝22.5°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝67.5°，
∵CB＝DB，BE⊥CD，∴∠DBE＝∠CBE＝67.5°，∴∠CBD＝2∠DBE＝135°．
【题型7】与圆周角定理有关的最值问题
【典型例题】如图，O的直径AB＝8，∠A＝30°，点P在线段AB上，则PC的最小值为（　　）
A.2 B. C.4 D.
【答案】B
【解析】连接BC，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵AB＝8，∠A＝30°，∴BC＝4，AC＝4，
当CP⊥AB时，PC最小，
∵∠A＝30°，∴CP＝AC＝2．
故选：B．
【举一反三1】如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A（6，0）和B（0，2），点P是圆上一个动点，点C（0，﹣3），则PC长度的最小值为（　　）
A.4﹣ B.8﹣ C.2﹣ D.5﹣
【答案】D
【解析】连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT．
∵A（6，0），B（0，2），∴OA＝6，OB＝2，∴AB＝＝2，
∴TB＝AT＝PT＝，∴T（3，1），
∵C（0，﹣3），∴CT＝＝5，∴PC≥CT﹣PT＝5﹣，
∴PC的最小值为5﹣．
故选：D．
【举一反三2】如图，以BC为直径作⊙O，A，D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为 　 ．
【答案】2+2
【解析】连接AC，根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为AC，
∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2，∴＝＝，∴∠ABC＝2∠ACB，
∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，
∴AC＝ AB＝2，
所以阴影部分周长的最小值为AC+CD＝2+2.
【举一反三3】如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为 　 　．
【答案】12
【解析】当CO⊥AB时，△ABC的面积最大，则∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝30°，
∵OA＝OB＝4，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴OD＝OA＝2，AD＝BD，
∴AD＝BD＝＝＝2，即AB＝4，
∴△ABC的面积最大值＝＝×（2+4）＝12．
【举一反三4】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC＝4，BC＝3，P为直径AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）当点P在直径AB上运动的过程中，试探究线段EF长度的最小值．
【答案】解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
（2）作CH⊥AB于H，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴EF＝CP，
在直角△ABC中，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得，AB＝5，
∵×AC×BC＝×AB×CH，∴CH＝，∴CP的最小值为：，
即EF长度的最小值为．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝4，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于D，E．
（1）求的值；
（2）求CE的最大值．
【答案】解：（1）连接AE．
∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵∠C＝45°，∴∠C＝∠CAE＝45°，∴AE＝EC，∴＝1．
（2）∵AE＝EC，AE≤AB，∴当点E与B重合时，AE的值最大，AE的最大值为4，
∴CE的最大值为4．
【题型8】圆内接四边形的性质
【典型例题】下列说法正确的是（　　）
①圆内接四边形的内角和是360°；
②圆内接平行四边形一定是矩形；
③四边形外接圆的圆心是四边形各边垂直平分线的交点；
④四边形外接圆的圆心是四边形各内角平分线的交点.
A.①④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
【答案】B
【解析】①圆内接四边形的内角和是360°，说法正确；
②圆内接平行四边形一定是矩形，说法正确；
③四边形外接圆的圆心是四边形各边垂直平分线的交点，说法正确；
④四边形外接圆的圆心不一定是四边形各内角平分线的交点，故本小题说法错误.
故选：B．
【举一反三1】如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（　　）
A.∠1＝∠4 B.∠1+∠2+∠3+∠5＝180° C.∠4＝∠7 D.∠ADC＝∠2+∠5
【答案】C
【解析】∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD，∴∠1＝∠4，
∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC，∴∠2＝∠7，
∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB，∴∠5＝∠8，
∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC＝∠8+∠7，
∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC＝∠2+∠5，故A，B，D都正确，
∵和不一定相等，∴BC与DC不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C错误.
故选：C．
【举一反三2】如图，点A、B、C、D在同一个圆上，DB＝DC，DA、CB的延长线相交于点E．若∠BDC＝α，则∠EAB＝　 （用含α的式子表示）．
【答案】90°﹣α
【解析】∵DB＝DC，∠BDC＝α，∴∠C＝＝90°﹣α．
∵四边形ABCD内接是圆内接四边形，、∴∠EAB＝∠C＝90°﹣α．
【举一反三3】如果一个圆内接四边形的三个内角度数之比为1：3：5，则第四个内角的度数是　 　．
【答案】90°或157.5°
【解析】设三个内角为x，3x，5x，
根据圆内接四边形的对角互补，得x+5x＝180°，∴x＝30°．
所以第四个内角是180°﹣3x＝90°；
或3x+5x＝180°，∴x＝22.5°．
所以第四个内角是180°﹣x＝157.5°．
【举一反三4】已知四边形ABCD的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为3：1：2：5，判断这个四边形是不是圆内接四边形，并说明理由．
【答案】解：四边形ABCD不是圆内接四边形，理由如下：
∵四边形ABCD的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为3：1：2：5，
∴令∠A＝3x°，∠B＝x°，∠C＝2x°，∠D＝5x°，
∴∠A+∠C＝5x°，∠B+∠D＝6x°，
∵圆内接四边形的对角互补，
∴圆内接四边形对角的和相等，
∵∠A+∠C≠∠B+∠D，
∴四边形ABCD不是圆内接四边形．
【题型9】利用圆周角定理求半径
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且＝＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A.2 B.4 C.2 D.4
【答案】D
【解析】连接BC，如图，
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∵＝＝，∴∠BOC＝×180°＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝30°，
在Rt△ADC中，CD＝2，∴AC＝2CD＝4，
在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2，即（4）2+（AB）2＝AB2，∴AB＝8，
∴⊙O的半径为4．
故选：D．
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径长为（　　）
A.2 B. C.2 D.2
【答案】B
【解析】连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，
∵AB是⊙O的直径，D是的中点，∴∠ADB＝90°，AD＝DB，
∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠A＝∠ABD＝45°，∴∠C＝∠A＝45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∵BC＝4，∴EC＝EB＝2，
∵CD＝3，∴DE＝，∴BD＝＝＝，
在等腰直角△BDA中，AB＝＝2，
∴⊙O的半径长为.
故选：B．
【举一反三2】如图，AB、CD为⊙O的两条弦，若∠B+∠C＝90°，AB2+CD2＝100，则⊙O的半径为 　 　．
【答案】5
【解析】如图，连接DO并延长交⊙O于点E，连接CE，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，CE2+CD2＝DE2，
∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ABC，∴＝，∴＝，∴CE＝AB，
∵AB2+CD2＝100，∴CE2+CD2＝100，即DE2＝100，∴DE＝10，∴OD＝5，
即⊙O的半径为5．
【举一反三3】如图，在⊙O中，OD⊥AC于点D，∠ABC＝60°，OD＝1，则⊙O的半径长为　 　．
【答案】2
【解析】连接OC、OA，如图，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，而OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
在Rt△ODC中，OC＝2OD＝2，即⊙O的半径长为2．
【举一反三4】如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
【答案】解：（1）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC.
（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，∴∠DOB＝∠BOC，∴BD＝BC．
∵AB＝4，，∴BE＝2，，
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝（OB﹣1）2+22，解得，
即⊙O的半径是．
【举一反三5】如图，在⊙O中，，连接AC，BD，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若，BE＝8，求⊙O的半径．
【答案】解：（1）证明：∵BE∥AC，∴∠E＝∠ACD，
∵＝，∴∠ACD＝∠D，∴∠D＝∠E．
（2）由（1）知，∠E＝∠BDC，∴BD＝BE＝8，
连接OC交BD于点H，连接OD，
∵＝，∴OC⊥BD，，
在Rt△CHD中，CD＝2，∴，
连接OD，设OD＝OC＝r，
在Rt△OHD中，由勾股定理得，OH2+DH2＝OD2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，
即⊙O的半径为5．
【题型10】利用圆内接四边形的性质求长度
【典型例题】如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则AC的长是（　　）
A.4 B.2 C.2π D.π
【答案】B
【解析】连接OA、OC，AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣135°＝45°，
由圆周角定理得，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝2.
故选：B．
【举一反三1】如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，2），M是劣弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.2
【答案】C
【解析】∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝180°﹣∠BMC＝60°，
∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，
∵点A的坐标为（0，2），∴OA＝2，∴AB＝2OA＝4，
∵⊙C过原点，∴AB是直径，∴⊙C的半径长为2．
故选：C．
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（　　）
A.4 B. C. D.
【答案】B
【解析】过点C作CH⊥BD于H，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DC＝5×＝，BH＝CH＝4×＝2，
∴DH＝＝，∴BD＝BH+DH＝.
故选：B．
【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，，则AE＝　　 ．
【答案】
【解析】连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ADC，∴∠ABE＝∠ABD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AD＝AC，
∵AD＝6，∴AC＝6，
∵AE⊥CB，，
∴在Rt△AEC中，．
【举一反三4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，求AE的长．
【答案】解：连接AC，
∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠ABE＝∠ADC，
由圆周角定理得：∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2．

展开更多......

收起↑