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苏科版（2024）九年级上册 2.3 确定圆的条件
【题型1】利用三角形的外接圆与外心求周长或面积
【典型例题】边长为6的正三角形的外接圆的周长为（　　）
A.π B.2π C.3π D.4π
【举一反三1】如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　）
A.2 B. C. D.
【举一反三2】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则Rt△ABC的外接圆的半径为　 　；面积为　 　．
【举一反三3】设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则这个直角三角形的外接圆面积为 　 　．
【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
【举一反三5】如图，等边△ABC内接于半径为2的⊙O，求△ABC的周长与面积．
【题型2】三角形外接圆与外心的概念
【典型例题】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【举一反三1】在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（　　）
A.三条高的交点 B.内心 C.外心 D.重心
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则符合条件的C点有　 　个．
【举一反三3】如图，A，B，C三个居民小区在位置上成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，若超市到三个小区的距离相等，则超市应建在　 　．
【举一反三4】如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证：
（1）AA′、BB′、CC′交于一点P；
（2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心．
【举一反三5】问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，那么任意的一个四边形有外接圆吗？
探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号　 　；
发现：相对的内角之间满足什么关系时，四边形一定有外接圆？写出你的发现：　 　；
说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间有上面的关系吗？请结合图④说明理由．
【题型3】利用三角形的外接圆与外心求半径
【典型例题】如图，△ABC内接于圆，∠B＝30°，∠C＝60°，AC＝3，则此圆的半径是（　　）
A.3 B.6 C. D.3
【举一反三1】已知△ABC的外接圆的半径为5，AC＝6，且AB＝BC，则AB的长为（　　）
A.3 B.10 C.12 D.6
【举一反三2】如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为　　 ．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）和（，0），则△OAB外接圆的圆心坐标是 　 　．
【举一反三4】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点P，∠APB＝75°，∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆的半径及∠ADB的度数．
【举一反三5】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求△ABC外接圆的半径．
【题型4】利用三角形的外接圆与外心求长度
【典型例题】如图，圆内接正三角形ABC的半径是5，则它的边长是（　　）
A.5 B. C.7.5 D.
【举一反三1】已知△ABC外接圆半径为5，AB＝AC，BC＝8，则△ABC的高AD的长为（　　）
A.2 B.6 C.2或6 D.2或8
【举一反三2】平面直角坐标系中，存在点A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．则△ABC的外接圆的圆心坐标为　 　，△ABC的外接圆在x轴上所截的弦长为　 　．
【举一反三3】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB于点D，交⊙O于点E，若AB＝8，DE＝2，则BC的长为 　 　．
【举一反三4】已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【举一反三5】如图，△ABC内接于⊙O，AB直径，OD⊥AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，求BC的长．
【题型5】利用三角形的外接圆与外心求角的度数
【典型例题】如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A.60° B.75° C.90° D.105°
【举一反三1】将边长相等的正方形和等边三角形如图放置，过A、B、E三点作圆，则所对的圆心角的度数是（　　）
A.15° B.30° C.60° D.90°
【举一反三2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD、BD，且BD＝BC，若∠BOD＝50°，则∠ABC的度数为（　　）
A.65° B.50° C.30° D.25°
【举一反三3】如图，点O是△ABC的外心，连接OA、OB，若∠OBA＝20°，则∠AOB的度数为 　 　．
【举一反三4】如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是　 　°．
【举一反三5】如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数．
【举一反三6】定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数．
【题型6】确定圆的条件
【典型例题】过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（　　）
①AB＝2，BC＝3，AC＝5；
②AB＝3，BC＝3，AC＝2；
③AB＝3，BC＝4，AC＝5．
A.①② B.①②③ C.②③ D.①③
【举一反三1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】下列说法错误的是（　　）
A.三角形的三个顶点一定在同一个圆上
B.平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上
C.矩形的四个顶点一定在同一个圆上
D.正n边形的各个顶点一定在同一个圆上
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　 　．
【举一反三4】如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，试判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由．
苏科版（2024）九年级上册 2.3 确定圆的条件（参考答案）
【题型1】利用三角形的外接圆与外心求周长或面积
【典型例题】边长为6的正三角形的外接圆的周长为（　　）
A.π B.2π C.3π D.4π
【答案】D
【解析】如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，
作OD⊥BC于D，连接OB、OC，
∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠OBD＝30°，
∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3，
在Rt△OBD中，OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝2，
∴⊙O的周长＝2π×2＝4π．
故选：D．
【举一反三1】如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　）
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】作AM⊥BC于M，如图：
重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，
∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝，
∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，
∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝×＝.
故选：C．
【举一反三2】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则Rt△ABC的外接圆的半径为　 　；面积为　 　．
【答案】5；25π
【解析】∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为5，面积为π×52＝25π．
【举一反三3】设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则这个直角三角形的外接圆面积为 　 　．
【答案】π
【解析】设x2+y2＝t，则原方程可化为：t（t﹣1）＝12，
∴t2﹣t﹣12＝0，即（t+3）（t﹣4）＝0，∴t1＝4，t2＝﹣3（舍去），∴x2+y2＝4，
∴这个直角三角形的斜边长为2，∴这个直角三角形的外接圆的半径为1，
∴这个直角三角形的外接圆面积为π.
【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
【答案】解：（1）证明：∵OD⊥BC，∴＝，
∴AB＝AC.
（2）连接OB，
∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，∴AD＝5+3＝8，
∴S△ABC＝×8×8＝32．
【举一反三5】如图，等边△ABC内接于半径为2的⊙O，求△ABC的周长与面积．
【答案】解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H，则BH＝BC，
∵OB＝2，∠OBH＝30°，∴OH＝1，
由勾股定理得，BH＝＝，则BC＝2，
∴△ABC的周长＝2×3＝6，
△ABC的面积＝×2×1×3＝3．
【题型2】三角形外接圆与外心的概念
【典型例题】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【答案】C
【解析】三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，
如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于90°.
故选：C．
【举一反三1】在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（　　）
A.三条高的交点 B.内心 C.外心 D.重心
【答案】C
【解析】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当，即凳子应放在△ABC的外心上．
故选：C．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则符合条件的C点有　 　个．
【答案】3
【解析】如图，
∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．∴PA＝PB＝，
∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，
∴PC＝PA＝PB＝，
则点C的坐标为（7，4）或（6，5）或（1，4），即：共3个．
【举一反三3】如图，A，B，C三个居民小区在位置上成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，若超市到三个小区的距离相等，则超市应建在　 　．
【答案】三角形ABC的两边的垂直平分线的交点上
【解析】分别作AB、BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点P就是超市的位置.
【举一反三4】如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证：
（1）AA′、BB′、CC′交于一点P；
（2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心．
【答案】证明：（1）设圆O半径为R．
由△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′，
知：BC′＝B′C＝R，∠C′BA＝∠C′AB＝∠OAB，∠B′CA＝∠B′AC＝∠OAC，
∴∠C′BA+∠B′CA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC，
∴∠C′BC+∠B′CB＝∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴BC′∥B′C，
∴BB′，CC′互相平分，交于中点，
同理CC′，AA′互相平分，交于中点，
∴AA′、BB′、CC′交于一点P.
（2）∵P为CC′中点，A1为BC中点，
∴PA1＝B′C＝R，
同理PB1＝R，PC1＝R，
∴PA1＝PB1＝PC1，
∴P是△A1B1C1的外心．
【举一反三5】问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，那么任意的一个四边形有外接圆吗？
探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号　 　；
发现：相对的内角之间满足什么关系时，四边形一定有外接圆？写出你的发现：　 　；
说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间有上面的关系吗？请结合图④说明理由．
【答案】解：探索：矩形有外接圆，故填②.
发现：对角互补的四边形一定有外接圆.
说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系．
图④左：连接BE，∵∠A+∠E＝180°，∠BCD＞∠E，∴∠A+∠BCD＞180°；
图④右：连接DE，∵∠A+∠BED＝180°，∠BED＞∠C，∴∠A+∠C＜180°．
【题型3】利用三角形的外接圆与外心求半径
【典型例题】如图，△ABC内接于圆，∠B＝30°，∠C＝60°，AC＝3，则此圆的半径是（　　）
A.3 B.6 C. D.3
【答案】C
【解析】如图1所示：过点A作AE⊥BC于点D，则AE必过点O，
∵AB＝AC，BC＝6，⊙O的半径为5，∴BO＝5，BD＝DC＝3，
∴DO＝＝4，
∴AD＝5+4＝9，∴AB＝＝＝3，
如图2所示：过点A作AE⊥BC于点D，则AE必过点O，
∵AB＝AC，BC＝6，⊙O的半径为5，∴BO＝5，BD＝DC＝3，∴DO＝＝4，
∴AD＝5﹣4＝1，∴AB＝＝＝，
故AB的长为3或．
故选：C．
【举一反三1】已知△ABC的外接圆的半径为5，AC＝6，且AB＝BC，则AB的长为（　　）
A.3 B.10 C.12 D.6
【答案】A
【解析】作BD⊥AC于D，连接OA，
∵BA＝BC，∴AD＝DC＝3，∴BD是AC的垂直平分线，∴BD经过圆心O，
由勾股定理得，OD＝＝4，∴BD＝5+4＝9，
∴AB＝＝3.
故选：A．
【举一反三2】如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为　　 ．
【答案】2
【解析】连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，
由垂径定理得，点H为△ABC的外接圆的圆心，
∵A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），∴点H的坐标为（2，1），
则△ABC外接圆的半径＝＝2.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）和（，0），则△OAB外接圆的圆心坐标是 　 　．
【答案】（，）
【解析】∵△AOB是直角三角形，∴△OAB外接圆的圆心是斜边AB的中点，
∵点A、B的坐标分别为（0，1）和（，0），∴△OAB外接圆的圆心坐标是（，）.
【举一反三4】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点P，∠APB＝75°，∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆的半径及∠ADB的度数．
【答案】解：∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP＝45°，
∵∠APB＝75°，∴∠C＝75°﹣45°＝30°；
连接CD，如图，
∵∠BAC＝90°，∴BC为直径，∴∠BDC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAD，∴DB＝BC，∴△DBC为等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝4，∴△ABC外接圆的半径为2．
【举一反三5】已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求△ABC外接圆的半径．
【答案】解：（1）由a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，
得（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0．c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
（2）∵32+42＝52，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC外接圆的半径＝＝2.5．
【题型4】利用三角形的外接圆与外心求长度
【典型例题】如图，圆内接正三角形ABC的半径是5，则它的边长是（　　）
A.5 B. C.7.5 D.
【答案】D
【解析】过O作OD⊥AC于D，连接OA，OC，
∴AD＝DC，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴∠OAD＝×（180°﹣∠AOC）＝30°，
在Rt△AOD中，AO＝5，∴OD＝，
由勾股定理得AD＝＝，∴AC＝5.
故选：D．
【举一反三1】已知△ABC外接圆半径为5，AB＝AC，BC＝8，则△ABC的高AD的长为（　　）
A.2 B.6 C.2或6 D.2或8
【答案】D
【解析】当△ABC是锐角三角形时，如图1，
作AD⊥BC于点D，则AD一定经过圆心O，连接OB，
在直角△OBD中，BD＝BC＝×8＝4，∴OD＝＝3，
则AD＝OA+OD＝5+3＝8；
当△ABC是钝角三角形时，如图2，
同理，OD＝3，则AD＝OA﹣OD＝5﹣3＝2，
故AD的长为2或8.
故选：D．
【举一反三2】平面直角坐标系中，存在点A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．则△ABC的外接圆的圆心坐标为　 　，△ABC的外接圆在x轴上所截的弦长为　 　．
【答案】（﹣2，﹣1）；4
【解析】∵B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4），∴线段BC的垂直平分线是x＝﹣2，
∵A（2，2），C（2，﹣4），∴线段AC的垂直平分线是y＝﹣1，
∴△ABC的外接圆的圆心M的坐标为：（﹣2，﹣1）；
连接DM，作MN⊥DE于N，
由题意得，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得，AB＝10，
则DN＝＝2，∴DE＝4.
【举一反三3】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB于点D，交⊙O于点E，若AB＝8，DE＝2，则BC的长为 　 　．
【答案】6
【解析】设OE＝OA＝r，由OE⊥AB于点D，AB＝8，得AD＝DB＝4，
得r2＝（r﹣2）2+42，得r＝5，故BC＝2OD＝2×3＝6．
【举一反三4】已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【答案】解：（1）连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形.
（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
∴，解得，∴BC＝2a＝3．
【举一反三5】如图，△ABC内接于⊙O，AB直径，OD⊥AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，求BC的长．
【答案】解：∵OD⊥AC于点D，AC＝4，DE＝4，
∴AD＝CD＝AC＝2，∠ADO＝90°，
∵OD2+AD2＝OA2，且OA＝OE＝4﹣OD，
∴OD2+（2）2＝（4﹣OD）2，解得OD＝1，
∵O是AB的中点，D是AC的中点，∴BC＝2OD＝2，∴BC的长是2．
【题型5】利用三角形的外接圆与外心求角的度数
【典型例题】如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A.60° B.75° C.90° D.105°
【答案】C
【解析】∵OA＝OB，∴∠3＝∠4，
同理，∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝90°.
故选：C．
【举一反三1】将边长相等的正方形和等边三角形如图放置，过A、B、E三点作圆，则所对的圆心角的度数是（　　）
A.15° B.30° C.60° D.90°
【答案】C
【解析】如图，设圆心为O，连接OA、OB、OE，∴OA＝OB＝OE，
又∵正方形和等边三角形的边长相等，∴AD＝DE，∴四边形AOED为菱形，
同理，四边形BOEC也为菱形，∴AO＝BO＝AB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60°，
∴所对的圆心角的度数是60°.
故选：C．
【举一反三2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD、BD，且BD＝BC，若∠BOD＝50°，则∠ABC的度数为（　　）
A.65° B.50° C.30° D.25°
【答案】A
【解析】连接OC，
∵BD＝BC，∴∠BOD＝∠BOC＝50°，
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝65°.
故选：A．
【举一反三3】如图，点O是△ABC的外心，连接OA、OB，若∠OBA＝20°，则∠AOB的度数为 　 　．
【答案】140°
【解析】∵点O是△ABC的外心，∴OA＝OB，∴△AOB是等腰三角形，
∵∠OBA＝20°，∴∠AOB＝180°﹣20°×2＝140°.
【举一反三4】如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是　 　°．
【答案】120
【解析】连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°.
【举一反三5】如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数．
【答案】解：∵点0为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC，
∵∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC＝180°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，
即∠ACB＝90°．
【举一反三6】定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心．
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数．
【答案】解：应用：如图2所示，连接PB，连接PA，
若PB＝PC，则∠PCB＝∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，
∴PD＝DB＝AB，
与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC．
若PA＝PC，同理可得PA≠PC；
若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝AD＝BD，∴∠APD＝∠BPD＝45°，
故∠APB＝90°．
【题型6】确定圆的条件
【典型例题】过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（　　）
①AB＝2，BC＝3，AC＝5；
②AB＝3，BC＝3，AC＝2；
③AB＝3，BC＝4，AC＝5．
A.①② B.①②③ C.②③ D.①③
【答案】C
【解析】①AB+BC＝AC，即A、B、C三点共线，不能确定一个圆；
②AB＝BC，以A、B、C三点为顶点的等腰三角形，有外接圆；
③A、B、C三点为顶点的直角三角形，有外接圆．
故选：C．
【举一反三1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】∵经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，
∴最多可画出圆的个数为3个.
故选：C．
【举一反三2】下列说法错误的是（　　）
A.三角形的三个顶点一定在同一个圆上
B.平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上
C.矩形的四个顶点一定在同一个圆上
D.正n边形的各个顶点一定在同一个圆上
【答案】B
【解析】A．根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同一个圆上，故A选项不符合题意；
B．平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，平行四边形的四个顶点到对角线交点的距离不一定相等，知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，故B选项符合题意；
C．矩形的对角线互相平分，所以矩形的四个顶点到对角线交点的距离相等，可知矩形的四个顶点一定在同一个圆上，故C选项不符合题意；
D．正n边形的对角线互相平分，所以正n边形的各个顶点到对角线交点的距离相等，可知正n边形的各个顶点一定在同一个圆上，故D选项不符合题意.
故选：B．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　 　．
【答案】（2，1）
【解析】从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1）.
【举一反三4】如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，试判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由．
【答案】解：在.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四点在以O圆心OA长为半径的同一个圆上．

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