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22.3实际问题与二次函数
第 1 课时 几何图形面积问题
知识技能巩固练
1. 如图 22-3-1,在 Rt△AOB 中,点 B 在 x 轴上,AB⊥OB 于点 B 且AB=OB=3.设直线x=t(0≤t≤3)截此三角形所得阴影部分的面积为 S，则S 与 t 之间 的 函数解析式为 .
2.用一段20 米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为 y平方米，则y关于x 的函数解析式为 .
3. 如图22-3-2,在△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6 cm,点 P 从点 A 出发沿AB 边向点 B 以2cm/s的速度运动,点 Q 从点 B 出发沿 BC边向点 C 以1 cm/s的速度运动.点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.当△PBQ的面积最大时，运动时间为 s.
4.(教材习题22.3T4 变式)已知直角三角形两条直角边的长度之和等于 20，两条直角边的长各为多少时，这个直角三角形的面积最大 最大值是多少
5.某农场要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成，如图22-3-3.已知墙长25 m，木栅栏长 47 m，在与墙垂直的一边留出 1m 宽的出入口(另选材料建出入门).求养鸡场面积的最大值.
6.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形风筝的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形风筝的面积S(单位:cm )随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.
(1)请直接写出 S 与x之间的函数解析式；
(2)当x取何值时，菱形风筝的面积S 最大 最大面积是多少
能力提升综合练
7. (教材习题 22.3T7 变式) 如图22-3-4,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点 E,F,G,H 分别从点 A,B,C,D 同时出发,均以 1 cm/s的速度沿各边向点 B,C,D,A匀速运动,当点 E 到达点 B 时,四个点同时停止运动.在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是 cm .
8.匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF 中裁出一块矩形铁皮制作工件，如图22-3-5所示.经测量,AB∥DE,AB与 DE之间的距离为2 米,AB=3米,AF=BC=1米,∠A=∠B= 90°,∠C=∠F = 135°.MH，HG，GN 是工匠师傅画出的裁剪虚线.当 MH 的长度为多少时，矩形铁皮 MNGH的面积最大，最大面积是多少
素养提升创新练
9.[模型观念、应用意识]为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图22-3-6①，利用围墙的全部长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 AE=1m的水池且需保证总种植面积为 32 m ，试分别确定 CG,DG的长;
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形的总种植面积最大，则BC应设计为多长 此时最大面积为多少
专题训练(五)二次函数中线段长或图形面积的最值问题
类型一 求两条线段之和的最小值
方法点睛
利用“将军饮马模型”求“两定一动”型两条线段之和的最小值，示意图如图5-ZT-1所示,两定点 A,C在抛物线上并且在抛物线对称轴的同侧，动点 Q 在抛物线的对称轴上.求QA+QC的最小值的方法：先找出其中一个定点 A 关于对称轴的对称点B，然后连接这个对称点B和另一个定点C，连线与对称轴有一个交点 Q，这个交点 Q就是使得这个动点到两个定点A，C距离之和最小的点.
1. 如图 5-ZT-2,已知抛物线 经过A(-1,0),B(4,0)两点,交 y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC,求直线 BC 的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上有一点 P，求出使PA+PC的值最小时点 P 的坐标，并求出此时 PA+PC的最小值.
类型二 求三角形周长的最小值
方法点睛
利用“将军饮马模型”求“两定一动”型三角形周长的最小值，示意图如图5-ZT-3所示，两定点A，C在抛物线上并且在抛物线对称轴的同侧，动点 Q 在抛物线的对称轴上，求△QAC的周长的最小值.因为 A，C两个点为定点，所以AC的长为定值，求△QAC的周长的最小值转化为求QA+QC的最小值，实质就是类型一中的两条线段之和的最小值.
2. 如图5-ZT-4,抛物线 交x轴于A(3,0),B(-1,0)两点,交 y轴于点C,动点 P 在抛物线的对称轴上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当以 P，B，C为顶点的三角形的周长最小时，求点 P 的坐标及△PBC 的周长.
类型三 二次函数与线段长最值 (一端点在直线上，另一端点在抛物线上)
方法点睛
(1)分别求出一次函数、二次函数的解析式；(2)利用两函数解析式分别表示出线段两端点的纵坐标，两点纵坐标差的绝对值为线段的长度，然后求最值.
3. 如图5-ZT-5,已知二次函数 的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3).
(1)求该二次函数的解析式.
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△PAC的周长最小 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)点 Q在线段OB 上(不与点 O,B 重合),过点 Q作 QM⊥x轴交抛物线于点 M，交线段BC 于点N，求线段 MN 的最大值，及此时点M的坐标.
类型四 二次函数与三角形面积最值
方法点睛
利用宽、高原理求“两定一动”型三角形面积，示意图如图 5-ZT-6,在△ABC 中,三角形的一个顶点在抛物线上(一动点)，另两个顶点是定点(两定点)，则可以将△ABC的面积转化为
故求△ABC面积的最大值就转化为求线段AQ 长度的最大值，实质就是类型三中线段长的最值问题.
4.如图5-ZT-7，在平面直角坐标系中，抛物线 交 x轴于点 A(-1,0),B(3,0),过点 B的直线 交抛物线于点 C.
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点(点 P 不与点B,C重合),求△PBC 面积的最大值.
专题训练(六)抛物线与几何图形存在性问题
类型一 二次函数与等腰三角形
方法点睛
等腰三角形的分类讨论主要体现在对某一边是等腰三角形的腰还是底边进行讨论.对于定长线段为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分别找到满足条件的点，再由勾股定理进行计算或构造方程解决问题.当某一条边为等腰三角形的底边时，则所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过作线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质构造方程，解决问题.
1. 如图6-ZT-1,抛物线 y= 的对称轴是直线x=1，与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点 C,连接AC.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)已知 D 是第一象限内抛物线上的一个动点,过点 D 作 DM⊥x轴,垂足为 M,DM 交直线BC 于点 N，是否存在这样的点 N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形 若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.
类型二 二次函数与直角三角形
方法点睛
直角三角形的分类讨论主要体现在对哪一边为斜边进行讨论，通常以直角为突破口利用勾股定理构造方程.
2. 如图6-ZT-2,直线y=x+2与抛物线 y= 相交于点 和点 B(4,m).点 F 在线段AB 上运动(不与点 A,B 重合)，过点 F 作直线 FC⊥x轴，交抛物线于点 C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)连接AC,是否存在点 F,使△FAC是直角三角形 若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，说明理由.
类型三 二次函数与平行四边形
方法点睛
如图 6-ZT-3,平行四边形 ABCD的顶点坐标分别为 yB),C(xc, yc),D(xD,yD),则
3. 如图6-ZT-4,抛物线经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线所在的平面内，是否存在点 D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形 如果存在，请直接写出点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由.
类型四 二次函数与角的存在性问题之一：角相等
4. 如图6-ZT-5,抛物线 与x轴交于点A(-3，0)和点 B，D是抛物线的顶点，过点 D作x轴的垂线,垂足为C(-1,0).
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)点M 在抛物线上，横坐标为m，连接MC，若∠MCB=∠DAC,求m的值.
22.3 第2课时 最大利润问题
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1.某超市销售某款商品每天的销售利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式为 10x+125，则销售这款商品每天的最大利润为 ( )
A.125元 B.150元 C.175元 D.200元
2.某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于 60 元.经调查，每天的销售量y(千克)与每千克的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
每千克的售价x(元) 40 50 60
每天的销售量y(千克) 120 100 80
设销售该商品每天获得的利润为 W(元)，则W的最大值为 ( )
A.1800 B.1600 C.1400 D.1200
3.商店销售一种进价为 50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出 200 件.若每件商品的售价每上涨1 元，则每星期会少卖出10件.设每件商品的售价上涨 x 元(x为正整数)，每星期的销售利润为 y元，则y与x 之间的函数关系式为 ( )
A. y=10(200-10x)
B. y=200(10+x)
C. y=10(200-10x)
D. y=(10+x)(200-10x)
4.一人一盔，安全守规，一人一带，平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出 200 顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售.经调查发现：每顶头盔每降价1元，每月可多售出20 顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 ( )
A.60元 B.65元 C.70元 D.75元
5.将进货价为 70 元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y= .
6.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个.经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量 y(个)与销售价x(元/件)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60，且x为整数).设这种双肩包每天的销售利润为ω元.
(1)ω与x之间的函数解析式为 ；
(2)这种双肩包的销售价定为多少元/件时，每天的销售利润最大 最大利润是多少元
(3)物价部门规定这种双肩包的销售价不能高于42 元/件，若该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售利润，则销售价应定为多少元/件
7.某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是 20 元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间是一次函数关系，当销售单价为28 元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个.
(1)遮阳伞每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间的函数解析式为 ；
(2)设遮阳伞每天的销售利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大 最大利润是多少元
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8.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.有下列结论：①若每件衬衫降价8 元，则商场平均每天售出36件；②若商场平均每天要盈利1200 元，则每件衬衫应降价 10 元；③商场平均每天盈利最多为1250元.其中正确结论的个数是 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
9.某商店销售某种商品所获得的利润y(元)关于所卖的件数x的函数解析式是 1000x-200000,则当010.随着科技的发展，扫地机器人(图22-3-7①)已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第x(x为 整 数)个月 每台 的 销 售 价 格为y(单位：元)，y与 x的函数关系如图②所示(图中ABC为一折线).
(1)当1≤x≤10时,求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
(2)设该产品2022年第x个月的销售数量为m(单位：万台)，m与x的关系可以用m= 来描述，则哪个月的销售收入最多，最多为多少万元 (销售收入=每台的销售价格×销售数量)
22.3第3课时 建立适当坐标系解决实际问题
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1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立如图22-3-8所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 的一部分，则水喷出的最大高度是 ( )
A.4米 B.3米 C.2米 D.1米
2.如图22-3-9,铅球运动员掷铅球的高度 y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式是 y= 则该运动员此次掷铅球的成绩是 （ ）
A.6m B.12m C.8m D.10m
3.[跨物理学科]“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图22-3-10),水柱的最高点 为P,AB=2m,BP=9 m,水嘴高AD=5m ,则水柱落地点 C 到水嘴所在墙的距离AC 是 m.
4.如图 22-3-11 是某建筑物的一处抛物线形拱门，拱门在竖直平面内与水平屋檐相交于A，B两点，点A，B在x轴上,AB=18m,拱门最高点 C在y 轴上,点 C到AB 的距离为9 m，拱门底部有两点 D，E，DE∥AB,点 E 到直线AB 的距离为7 m,求DE的长.
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5.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面的高度为3.05 m，在如图 22-3-12(示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( )
A.此抛物线的解析式是
B.篮圈中心的坐标是(4,3.05)
C.此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D.篮球出手时离地面的高度是 2m
6.某公园草坪的防护栏 单位：m是由 100 段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m (如图 22-3-13),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m C.160m D.200 m
7. 如图22-3-14①,AO,BC是两根垂直于地面的立柱，且长度相等.在两根立柱之间悬挂着一根绳子，建立坐标系，绳子形如抛物线y= 因实际需要，在OA 与BC间用一根高为2.5m的立柱 MN 将绳子撑起(如图②),若立柱 MN 到 OA 的水平距离为 3m ,MN左侧抛物线的最低点 D 与 MN 的水平距离为1m ，则点D 到地面的距离为 m.
8.已知一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形 ABCD 的三边组成，隧道的最大高度为4.9米,AB=10米,BC=2.4 米,现把隧道横断面放在如图22-3-15 所示的平面直角坐标系中，有一辆高为4 米，宽为2米的装有集装箱的汽车要通过该隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧至少离开隧道石壁多少米才不至于碰到隧道顶部
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9. [数形结合] 如图22-3-16 是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A,O,N三个点,且AO=2,在 ON 上方有五个台阶T ~T (各拐角均为 90°)，每个台阶的高、宽分别是1 和 1.5，台阶 T 到x轴的距离OK=10.从点 A 处向右上方沿抛物线L:y= 发出一个带光的点 P.
(1)求点 A 的横坐标，且在图中补画出 y轴，并直接指出点 P 会落在哪个台阶上；
(2)当点 P 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L 形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 T 有交点；
(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE=1,从点 E 向上作 EB⊥x轴,且 BE=2.在△BDE 沿x 轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点 P 能落在边BD(包括端点)上，则点 B 横坐标的最大值比最小值大多少
[注：(2)中不必写x的取值范围]
22.3第 1 课时 几何图形面积问题
2. y=-x +10x 3. 2
4.当两条直角边的长均为10时，这个直角三角形的面积最大，最大值是50
5.288m
(2)当x取30时，菱形风筝的面积S最大，最大面积是450 cm
7 3 18
3. 当MH的长度为 米时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是 平方米
9 解:(1)由题意可知CD=AB=12 m,所以 AD=GH=BC=(21-12)÷3=3(m).
设CG=a m,则 DG=(12-a)m.
所以AH=DG=(12-a)m.
由题意,得AD·AB-AE·AH=32,即3×12-1×(12-a)=32,解得a=8,所以CG=8m,DG=4m .
(2)设BC的长为x m，两块矩形的总种植面积为ym ,那么AD=GH=BC=xm,DC=(21-3x)m.
由题意，得两块矩形的总种植面积=BC·DC,
即
因为21-3x≤12,所以x≥3.
又因为-3<0，所以当 时，y取得最大值 即 BC应设计为 m长，此时最大面积为
专题训练(五)二次函数中线段长或图形面积的最值问题
(2)y=-x+4
(3)点P 的坐标为( , PA+PC的最小值是4
(2)P(1,2) △PBC的周长是
3. 解:(1)将 A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)代入 得
解得
所以该二次函数的解析式为
(2)存在点 P,使△PAC 的周长最小.
连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P，连接AP,如图①
因为A(-1,0),C(0,-3),
所以
抛物线 的对称轴是直线x=1.
因为点 A(-1,0),B(3,0)关于抛物线的对称轴对称，
所以 PA=PB,
所以PA+CP=PB+CP,
所以当B,P,C三点共线时,PB+CP 的值最小,即此时 PA+CP 的值最小.
又因为AC的长为定值，
所以此时△PAC的周长最小.
设直线 BC 的解析式为y= mx+n.
将 B(3,0),C(0,-3)代入,得 解得
所以直线 BC的解析式为y=x-3.
令x=1,得 y=-2,
所以点 P 的坐标为(1,-2).
(3)如图②.
设 Q(t,0)(0所以
因为-1<0,0所以当 时，MN取得最大值，最大值为 ，此时点M的坐标为(
专题训练(六)抛物线与几何图形存在性问题
(2)存在 点 N 的坐标为(2,1)或( ,3一 )或(
(2)存在点 F，使△FAC是直角三角形点 F 的坐标为((3,5)或
(2)在抛物线所在的平面内，存在点 D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形,点 D 的坐标为(-2,-3)或(-4,3)或(4,3)
4. 解:(1)由题意,得
解得
所以抛物线所对应的函数解析式为y=
(2)当x=-1时, 所以 D(-1,1).
设直线AD的解析式为y= kx+n.
将A(-3,0),D(-1,1)代入,
得 解得
所以直线AD的解析式为
如图，①当点 M在x轴上方时，
因为∠M CB=∠DAC,所以DA∥CM ,
所以设直线CM 的解析式为
因为直线CM 经过点 C(-1,0),
所以 解得
所以直线CM 的解析式为
联立
解得 舍去)，(
所以
②当点 M 在x 轴下方时，直线 CM 与直线CM 关于x轴对称,
由轴对称的性质可得直线 CM 的解析式为
联立
解得 (舍去),
所以
综上所述，m的值为· 或
第2课时最大利润问题
1. B 2. B3. D4. C
(2)这种双肩包的销售价定为45元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是225元
(3)40元/件
7. (1)y=-10x+540
(2)当销售单价定为37 元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元
8. C 9. 47500
10. (1)y=-150x+3000
(2)第5 个月的销售收入最多
第 3课时 建立适当坐标系解决实际问题
1. A 2. D 3. 5 4. 24 m
5. A 6. C
7. 2 8. 2米
9. 解:(1)在 中,令 y=0,得
解得
由题意，知A为抛物线L 与x轴的左交点，所以A(-2,0),所以点 A 的横坐标为-2.因为AO=2，所以O为坐标原点.
如图，以O为原点，OK 所在直线为y 轴，向上为y轴正方向建立平面直角坐标系.
由题意知台阶 T 左边端点的坐标为(4.5，7),右边端点的坐标为(6,7).
对于抛物线
当x=4.5时,y=9.75>7,当x=6时,y=0<7,所以抛物线L与台阶T 有交点，即点 P 会落在台阶T 上.
(2)如图，设抛物线L与台阶T 的交点为 R，则点 R 的纵坐标为7.
当y=7|时， 解得 (舍去),
所以点 R 的坐标为(5,7).
因为抛物线C的形状与抛物线L 的形状相同，且最高点的纵坐标为11，
所以抛物线 C 的函数解析式可设为 y =
将 R(5,7)代入,得 解得h =3(舍去),
所以抛物线C的函数解析式为 ，对称轴为直线x=7.
因为台阶 T 左边端点的坐标为(6，6)，右边端点的坐标为(7.5,6),
所以抛物线C的对称轴与台阶T 有交点.
(3)对于抛物线 令y=0,得
解得 (舍去),
所以抛物线C经过点
令y=2,得 解得x =4(舍去),x =10,所以抛物线C经过点(10，2).
在 Rt△BDE中,∠DEB=90°,DE=1,BE=2,所以当点 D 与点( )重合时，点B的横坐标最大，最大值为.
当点 B 与点(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10.
所以点 B 横坐标的最大值比最小值大.

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