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四川省成都市郫都区嘉祥外国语学校2025-2026学年九年级上学期9月月考 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．当时，下列分式没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
3．若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．关于的一元二次方程有一个根为，则的值（ ）
A． B．或 C． D．以上都不对
6．如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ）
A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1
8．自国产动画电影《哪吒之魔童闹海》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房的4.8亿元，前三天累计票房达12亿元．若每天票房按相同的增长率增长，将增长率记作，则方程可列为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数是 条．
10．多项式分解因式的结果为 ．
11．如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则的度数为 ．
12．珍珍在硬纸板中通过如图所示的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，正六边形的四周是长方形），则的度数为 ．
13．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上，根据作图痕迹则点的坐标为 ．
三、解答题
14．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
15．先化简，再求值：．其中是方程的根．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．

(1)将先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，在图中画出；
(2)在图中作出关于原点O成中心对称的，并直接写出A点对应点的坐标 ；
(3)在平面直角坐标系中存在一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标．
17．成都市域铁路S5线，又称成都地铁眉山线，是连接成都天府新区与眉山市东坡区的重要轨道交通线路，其中某标段路基工程长度为米，由甲，乙两个工程队施工，已知甲队每天铺设路基长度比乙队多10米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的
(1)求甲、乙两队每天各铺设路基多少米？
(2)为加快进度，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，若工期要求不超过160天，求两队至少需合作多少天才能确保完成该标段．
18．在中，，，点P是上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，
(1)如图1，若，求的长度；
(2)如图2，取的中点O，连接，求证：；
(3)如图3，取的中点O，连接，当四边形是平行四边形时，求的长度．
四、填空题
19．已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为 ．
20．已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 ．
21．如图，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，则的最小值等于 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设．且，点与点关于轴对称，点为的中点，连接，过点作，且，连接交于点，则的值为 ．
23．如果一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“等差递减数”例如：四位数9753，∵，∴9753是“等差递减数”；又如四位数5681，∵，∴5681不是“等差递减数”，则最小的“等差递减数”为 ；对一个“等差递减数”，记，，，若，则满足条件的M最大值为 ．
五、解答题
24．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：．
解：将“”看成整体，令，则原式；
再将“A”还原，得：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
(1)类比应用，求______；
(2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由．
25．某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间的关系如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？
26．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若，，，，求的值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
《四川省成都市郫都区嘉祥外国语学校2025-2026学年九年级上学期9月月考 数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D C C C D D
1．C
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．B
【详解】分母等于0时，分式无意义，因而把代入各式的分母检验一下就可以得解．
【分析】A、当时，分式有意义，故此选项不符合题意；
B、当时，分母，分式无意义，故此选项符合题意；
C、当时，分母，分式有意义，故此选项不符合题意；
D、当时，分母，分式有意义，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式没有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查了不等式的性质，理解不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质逐项判定即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴，故此选项不符合题意；
B、∵，，
∴，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，故此选项符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】解：A、等式左边已经因式分解好了，没有必要再分解了，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答．
【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为，
，且，
解得：，
故选：C．
6．C
【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴不能判定四边形是平行四边形；
B．不能判定四边形是平行四边形；
C．∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
D．不能判定四边形是平行四边形；
故选C．
7．D
【详解】根据函数图像可得：当时，，即.故选D
考点：一次函数与不等式
8．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可．
【详解】解：将增长率记作，由题意，得：
；
故选：D．
9．
【分析】本题考查了多边形的边数，掌握边形过一个顶点的所有对角线分得三角形的个数为个是关键．根据边形过一个顶点的所有对角线分得三角形的个数为个，即可求解．
【详解】解：这个多边形的边数是条．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
11．/15度
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，进而可解．
【详解】解：在中，，，
，
将绕点C逆时针旋转，得到，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了正六边形的性质，正六边形的每个内角都为，再根据点B对应的周角为360度，可计算出的度数．
【详解】解：根据正六边形的每个内角都为可知：
，
∴，
故答案为：．
13．/
【分析】由作法得平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，则证明得到，接着计算出得到，然后把点向右平移单位得到点坐标．
【详解】解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
14．（1），；（2）
【分析】本题考查的是解一元二次方程，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：，
，
，
解得：，；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
15．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解．
【详解】解：

．
∵是方程的根，
∴，
∴原式．
16．(1)见解析
(2)见解析，
(3)或或．
【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移作图、旋转作图、平行四边形的性质等知识点，正确画出相关图形成为解题的关键．
（1）先根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可；
（2）先根据旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接，再直接写出的坐标即可；
（3）先画出以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，然后直接写出点D的坐标即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求．

（2）解：如图：即为所求．其中的坐标为．

（3）解：如图：四边形均为平行四边形，且．即点D的坐标为或或．

17．(1)甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米
(2)两队至少需合作50天才能确保完成该标段
【分析】设甲队每天铺设路基x米，则乙队每天铺设路基米，根据某标段路基工程长度为米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的，列出分式方程，解分式方程即可；
设两队需合作y天才能确保完成该标段，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，工期要求不超过160天，结合的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出相应的分式方程和不等式．
【详解】（1）解：设甲队每天铺设路基x米，则乙队每天铺设路基米，
由题意得：，
解得：，
，
答：甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米；
（2）设两队需合作y天才能确保完成该标段，
由题意得：，
解得：，
答：两队至少需合作50天才能确保完成该标段．
18．(1)；
(2)见解析；
(3)
【分析】由旋转易证可得，
进而可得，然后利用勾股定理求出的长即可；
如图，取的中点D，连接，，易证C、O、D三点共线，利用即可证明结论；
易得，再推，利用勾股定理求出，进而求得的长度即可．
【详解】（1）解：线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，．
（2）证明：如图，取的中点D，连接，
点O是的中点，
是的中位线，
，
由知，
，
，
是的中线，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，O，D三点共线．
，D是边的中点，
，
，
．
（3）解：四边形是平行四边形，
，
由知，
由知，
，
在中，，
点O是的中点，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质、直角三角形的性质、中位线性质定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的变形运算，由题意得，进而根据勾股定理即可求解，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴这个直角三角形的斜边长，
故答案为：．
20．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得m的取值范围．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为：，
∵关于的不等式组有四个整数解，
∴整数解为，
∴，
解得：，
故答案为：．
21．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段最短问题，将求的最小值转化为求出线段的长是解题关键．过点作交延长线于点，连接，根据平行四边形的性质得出，再结合特殊角的正弦值，得到，则，当、、三点共线时，有最小值为的长，再在直角三角形中求解即可．
【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，
当、、三点共线时，有最小值为的长，
，
，
在中，，，
，
即的最小值等于，
故答案为：．
22．/
【分析】过点作轴交的延长线于点，如图所示，则，证明，得，根据对称性及，求得，得，再证，得，根据线段和差得，从而即可得解．
【详解】解：过点作轴交的延长线于点，如图所示：
∴，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点与点关于轴对称，
，，
∴，
，
又是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，平行线的性质，中点定义，等角的补角相等，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
23．
【分析】本题考查了整式加减运算的应用，理解“等差递减数”的定义是解题关键．设一个“等差递减数”是，根据“等差递减数”的定义得到，要使这个数最小，则应尽可能的最小，从小到大依次尝试数值，即可求出最小的“等差递减数”；题意得到，再结合，得到，则，，要使最大，则应尽可能的最大，从大到小依次尝试数值，即可求出满足条件的M最大值．
【详解】解：设一个“等差递减数”是，
则，
，
要使这个数最小，则应尽可能的最小，
先尝试，则，
此时尝试，则，
此时尝试，则，
、、、互不相等且均不为0，
满足“等差递减数”的定义，
即最小的“等差递减数”为；
“等差递减数”，
，
，，
，
，
，
，
，且互不相等，
，，
又∵，
，
要使最大，则应尽可能的最大，
若，则，此时，
解得，不符合题意；
若，则，此时，
解得，不符合题意；
若，则，此时，
解得，符合题意，此时；
即满足条件的M最大值为；
故答案为：，．
24．(1)
(2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解
【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想．
（1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可；
（2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可．
【详解】（1）解：将“”看成整体，令，
则原式，
再将“”还原，得：原式，
故答案为：；
（2）证明：式子的值是某一个整数的平方，
理由如下：
，
令，
则上式，
∵为正整数，
∴是整数，
∴式子的值是某一个整数的平方．
25．(1)
(2)这种干果每千克应降价25元或5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．
（1）设一次函数解析式为：由题意得出：当，；当，；得出方程组，解方程组即可；
（2）由题意得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：（1）设一次函数解析式为：
当，；当，，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）根据题意得，，
整理得，
解得：，，
答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）结合平行四边形的性质，证明，得到，由折叠的性质可知，，即可证明结论；
（2）延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，根据平行四边形的性质和折叠的性质，推出，得到，，由（1）可知，，得出，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（3）过点作的延长线于点，过点作于点，连接，根据平行四边形的性质和折叠的性质，推出，则，作于点，则，利用直角三角形的性质，得出，则是等腰直角三角形，进而得出，再在直角三角形中求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
O是对角线的中点，
，
在和中，
，
，
由折叠的性质可知，，
；
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，
，
，，
，
由折叠的性质可知，，，，
，，
，即，
同理可得，
由（1）可知，，
，
，，
，
由（1）可知，，
，
，即，
，即；
（3）解：如图2，过点作的延长线于点，过点作于点，连接，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
，
作于点，
，，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
在中，，
，
，
，
在中，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
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