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四川省成都市郫都区嘉祥外国语学校2025-2026学年九年级上学期9月月考 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．当时，下列分式没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
3．若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．关于的一元二次方程有一个根为，则的值（ ）
A． B．或 C． D．以上都不对
6．如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ）
A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1
8．自国产动画电影《哪吒之魔童闹海》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房的4.8亿元，前三天累计票房达12亿元．若每天票房按相同的增长率增长，将增长率记作，则方程可列为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数是 条．
10．多项式分解因式的结果为 ．
11．如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则的度数为 ．
12．珍珍在硬纸板中通过如图所示的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，正六边形的四周是长方形），则的度数为 ．
13．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上，根据作图痕迹则点的坐标为 ．
三、解答题
14．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
15．先化简，再求值：．其中是方程的根．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．

(1)将先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，在图中画出；
(2)在图中作出关于原点O成中心对称的，并直接写出A点对应点的坐标 ；
(3)在平面直角坐标系中存在一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标．
17．成都市域铁路S5线，又称成都地铁眉山线，是连接成都天府新区与眉山市东坡区的重要轨道交通线路，其中某标段路基工程长度为米，由甲，乙两个工程队施工，已知甲队每天铺设路基长度比乙队多10米，甲队单独完成该标段需要的时间是乙队单独完成所需时间的
(1)求甲、乙两队每天各铺设路基多少米？
(2)为加快进度，甲乙两队决定先合作施工一段时间，剩下的由甲队单独完成，若工期要求不超过160天，求两队至少需合作多少天才能确保完成该标段．
18．在中，，，点P是上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，
(1)如图1，若，求的长度；
(2)如图2，取的中点O，连接，求证：；
(3)如图3，取的中点O，连接，当四边形是平行四边形时，求的长度．
四、填空题
19．已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为 ．
20．已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 ．
21．如图，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，则的最小值等于 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设．且，点与点关于轴对称，点为的中点，连接，过点作，且，连接交于点，则的值为 ．
23．如果一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“等差递减数”例如：四位数9753，∵，∴9753是“等差递减数”；又如四位数5681，∵，∴5681不是“等差递减数”，则最小的“等差递减数”为 ；对一个“等差递减数”，记，，，若，则满足条件的M最大值为 ．
五、解答题
24．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：．
解：将“”看成整体，令，则原式；
再将“A”还原，得：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
(1)类比应用，求______；
(2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由．
25．某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间的关系如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？
26．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若，，，，求的值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D C C C D D
9．
10．
11．/15度
12．
13．/
14．（1）解：，
，
，
解得：，；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．
15．解：

．
∵是方程的根，
∴，
∴原式．
16．（1）解：如图：即为所求．

（2）解：如图：即为所求．其中的坐标为．

（3）解：如图：四边形均为平行四边形，且．即点D的坐标为或或．

17．（1）解：设甲队每天铺设路基x米，则乙队每天铺设路基米，
由题意得：，
解得：，
，
答：甲队每天铺设路基50米，乙队每天铺设路基40米；
（2）设两队需合作y天才能确保完成该标段，
由题意得：，
解得：，
答：两队至少需合作50天才能确保完成该标段．
18．（1）解：线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，．
（2）证明：如图，取的中点D，连接，
点O是的中点，
是的中位线，
，
由知，
，
，
是的中线，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，O，D三点共线．
，D是边的中点，
，
，
．
（3）解：四边形是平行四边形，
，
由知，
由知，
，
在中，，
点O是的中点，
．
19．解：∵，
∴，
∴这个直角三角形的斜边长，
故答案为：．
20．解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为：，
∵关于的不等式组有四个整数解，
∴整数解为，
∴，
解得：，
故答案为：．
21．解：如图，过点作交延长线于点，连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
，
当、、三点共线时，有最小值为的长，
，
，
在中，，，
，
即的最小值等于，
故答案为：．
22．解：过点作轴交的延长线于点，如图所示：
∴，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点与点关于轴对称，
，，
∴，
，
又是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
．
故答案为：．
23．解：设一个“等差递减数”是，
则，
，
要使这个数最小，则应尽可能的最小，
先尝试，则，
此时尝试，则，
此时尝试，则，
、、、互不相等且均不为0，
满足“等差递减数”的定义，
即最小的“等差递减数”为；
“等差递减数”，
，
，，
，
，
，
，
，且互不相等，
，，
又∵，
，
要使最大，则应尽可能的最大，
若，则，此时，
解得，不符合题意；
若，则，此时，
解得，不符合题意；
若，则，此时，
解得，符合题意，此时；
即满足条件的M最大值为；
故答案为：，．
24．（1）解：将“”看成整体，令，
则原式，
再将“”还原，得：原式，
故答案为：；
（2）证明：式子的值是某一个整数的平方，
理由如下：
，
令，
则上式，
∵为正整数，
∴是整数，
∴式子的值是某一个整数的平方．
25．（1）解：（1）设一次函数解析式为：
当，；当，，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）根据题意得，，
整理得，
解得：，，
答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元．
26．（1）证明：，
，
，
O是对角线的中点，
，
在和中，
，
，
由折叠的性质可知，，
；
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，
，
，，
，
由折叠的性质可知，，，，
，，
，即，
同理可得，
由（1）可知，，
，
，，
，
由（1）可知，，
，
，即，
，即；
（3）解：如图2，过点作的延长线于点，过点作于点，连接，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
，
作于点，
，，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
在中，，
，
，
，
在中，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
答案第1页，共2页
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