资源简介

2025-2026学年重庆外国语学校（B区）高二（上）第三次定时作业
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“直线与平行”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
2.若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的范围是( )
A. B. C. D.
3.已知实数，满足，且，则的取值范围( )
A. B.
C. D.
4.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥底面边长均为，侧棱，且平面，则该三棱锥外接球的半径长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则直线与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是( )
A. B. C. D.
10.已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有( )
A. 直线的倾斜角不存在
B. 直线的斜率为
C. 边上的高所在直线的方程为
D. 边上的中线所在直线的方程为
11.如图，直三棱柱所有棱长均为，，，，分别在棱，，，上，不与端点重合且，，分别为，中点，则( )
A. 平面
B. 过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形
C. 在内部含边界，，则到棱距离的最小值为
D. 若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 ．
13.直线上有一点，它与两定点、的距离之差最大，则点的坐标是______．
14.正四面体的棱长为，是它内切球的一条弦把球面上任意个点之间的线段称为球的弦，为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线的方程为：．
求证：不论为何值，直线必过定点；
过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
16.本小题分
已知直线：，点求：
点关于直线的对称点的坐标；
直线：关于直线对称的直线的方程；
直线关于点对称的直线的方程．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，的面积为，为边上一点，满足，
求的周长；
求的长．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形已知，，．
证明：平面平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.本小题分
在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，平面，，，平面平面．
求证：；
如图，且，求点到平面的距离；
设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点；
解：设直线的方程为．
令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
16.解：点点关于直线的对称点的坐标为，
直线：，
，，
设直线与直线的交点为，
联立直线与直线，，解得
在直线上取一点，如，
则关于直线的对称点必在直线上，
设对称点，则，解得，
经过点
由两点式公式可得，直线的方程为．
设直线关于点对称的直线的点的坐标为，
关于点对称点为，
在直线：上，
代入直线方程得：直线的方程为：．
17.因为，
所以，所以，
即，
因为，所以，即；
因为，所以．
因为，所以由余弦定理：，
即，所以，则，
所以，即为等边三角形，
则的周长为．
因为，且，所以，
在中，由余弦定理得：
，
所以．
18.解：证明：分别作，的中点，，连接，，，
因为，分别为，的中点，
且四边形为等腰梯形，，
所以，
又，，易知，
所以，
因为是正三角形，是中点，所以，且由，可知，
又，所以，所以，
又，，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
由可知，，，两两垂直，如图，以为原点，
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，可得，，所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，可得，，
所以，
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
19.证明：四边形为正方形，，
又平面，平面，平面，
又平面，平面平面，
；
取中点，连接，则，
平面，平面，平面，
，，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，得，
故可取，
点到平面的距离为．
存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，
，且平面为正方形，
点在平面上的射影是的中心，
可设，则，
，
解得．
即，，
设，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，得，
取，
设直线与平面所成的角为，
，
化简得，
或，
当或时，
直线与平面所成角的正弦值为．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑