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2024-2025学年福建省莆田十五中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
2.如图在平行六面体底面为平行四边形的四棱柱中，为延长线上的一点，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知曲线上一点，记为函数的导数，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.在棱长为的正方体中，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.正方体的棱长为，为棱的中点，点在面对角线上运动点异于，点，以下说法错误的是( )
A. 平面
B.
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 三棱锥的体积为
7.已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，下列说法正确的有( )
A. 与点关于轴对称的点的坐标为
B. 若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底
C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为
D. 已知，平面的法向量为，则
10.已知函数，其导函数为，则( )
A. 有两个极值点
B. 有三个互不相同的零点
C. 方程有三个不同解，则实数的取值范围为
D.
11.在三棱锥中，下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若为的重心，则
C. 若，，则
D. 若三棱锥的棱长都为，，分别为，中点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则______．
13.已知，，则向量在向量上的投影向量是______．
14.如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处的切线方程．
求，的值；
求的单调区间与极值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知，，．
证明：；
求二面角的大小．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面和平面夹角的余弦值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.已知函数，
则，
又在处切线方程，
所以，
可，
即，
解得．
由可得，
所以，
令，解得；令，解得，
则在单调递减，在单调递增，
即当时，的极小值为，无极大值．
16.解：证明：因为底面，底面，所以，
又底面为长方形，所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以．
以为原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
易知底面的一个法向量为，记为，
又，，，，，
设平面的法向量为
则，则，
取，可得，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的大小为．
17.解：Ⅰ证明：设的中点为，连接，，
因为为的中点，所以，且，
又，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面．
Ⅱ记的中点为，连结，
因为，，，
所以四边形是矩形，则，，
以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
Ⅲ依题意，设，则，
又由Ⅱ得平面的一个法向量为，
记直线与平面所成角为，
所以，
解得负值舍去，
所以，则，
而由Ⅱ得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
18.解：当时，，
则，，
故所求切线方程为，即；
，
又，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
解得，
则实数的取值范围为．
19.解：证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，
即，
令，则，，
即，
又，
则，
即，
因为平面，所以平面；
设直线与平面所成角的为，
由可得：，
即直线与平面所成角的正弦值为；
由平面，
则平面的一个法向量为，
则，
则平面与平面的夹角正弦值为．
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