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九上第二十四章圆能力提升卷（一）
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建议时长:90分钟
一、选择题
1.下列图中的∠A是圆周角的是(　　)
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是(　　)
A. 弧长相等的两段弧是等弧
B. 圆周角等于圆心角的一半
C. 平分弦的直径垂直于弦
D. 不在同一直线上的三个点确定一个圆
3.已知⊙O的直径为8，直线l上有一点P满足PO＝4，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相交或相切
4.东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝(MN)向右水平拉直(保持M端不动)，根据该古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是(　　)
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝60°，CD＝4，AD＝2，则AC的长为(　　)
A. 5 B. 3
C. 2 D. ＋2
6.如图，半径为2的⊙O中有弦AB，以AB为折痕对折，劣弧 恰好经过圆心O，则劣弧 的长度是（ ）
A. π B. π
C. π D. 2π
7.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接OA，与⊙O交于点C，D为优弧BC上一动点(点D不与点C，B重合)，连接CD，BD.若∠A＝42°，则∠D的度数为(　　)
A. 21° B. 24° C. 42° D. 48°
8.如图，MN是正五边形ABCDE的外接圆的切线，已知点D为切点，则∠BDM的度数为(　　)
A. 36° B. 54° C. 72° D. 144°
9.如图，⊙O是边长为4 的等边三角形ABC的外接圆，点D是 的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为(　　)
A. B.4π
C. D.16π
10.如图，A，B，C三点在⊙O上，∠ABC＝75°，连接CO并延长交AB于点D，OC＝4，若∠DCB＝45°，则AD的长为(　　)
A. B.
C. 2 D.
二、填空题
11.已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP长度的取值范围为 .
12.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠ADC＝55°，则∠CAB的度数为__________．
13.为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图， 与 是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是 ________ 米．(π取3.14，计算结果精确到0.1)
14.如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB交⊙O于点D，连接AD，若∠D＝54°，则∠C的度数为 °.
15.如图，AC是⊙O的直径，AB，BC是⊙O的弦，点D在△ABC内运动且满足∠DAB＝∠DBC, 当AB＝6，BC＝4，连接CD，则线段CD长度的最小值为 ．
三、解答题
16.如图，BD是⊙O的直径，BC，AC是⊙O的两条弦，2 ＝ ，连接AD，OC，若∠CBD＝50°，求∠ACO的度数．
17.已知：点P是⊙O外一点．
(1)尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下，若点D在⊙O上(点D不与E，F两点重合)，且∠EPF＝30°.求∠EDF的度数．
18.赤道是地球表面上的点随地球自转产生的轨迹中周长最长的圆周线，所有与赤道平行的圆圈叫纬线．某数学小组查阅资料得知，南阳市的纬度约为北纬33°，由此想求得北纬33°纬线的长度．该小组将地球看作如图所示的球体，点A所在的圆圈为赤道，点B所在的圆圈为北纬33°纬线，已知地球半径OA约为6400km，∠AOB＝33°，请求出点B所在纬线的长度．(点A，B，O在同一平面内，参考数据：π≈3，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)
19.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，已知 是⊙M上的一段弧，该圆弧经过网格点A(0，2)，B(2，4)，C(6，4)．
(1)求⊙M的半径长；
(2)连接AM，CM，若扇形AMC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的面积．(结果保留根号)
20.如图，在△ABC中，AC＝BC，点O是△ABC的外心，点O′是△ABC的内心，连接BO′并延长交⊙O于点D，连接OD交AC于点E.
(1)求证：OD⊥AC；
(2)若AC＝13，AB＝10，求⊙O的半径．
21.如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C.
(1)求证：∠PCB＝∠PAD；
(2)若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求图中阴影部分的面积．
22.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，连接AC并延长到D，使DC＝CA，连接BD，BC，BD交半圆O于点E，已知AB＝4.
(1)如图①，过点C作CM⊥BD于点M，求证：CM是半圆O的切线；
(2)如图②，当AD＝BD时，求△ABD与半圆O重合的面积；
(3)如图③，若点P是△BCD的内心，则当点P在半圆O上时，求∠DPC的度数．
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详解详析
一、选择题
1.A
2.D
【解析】A、能够完全重合的弧叫等弧，原说法错误，不符合题意；B、在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，原说法错误，不符合题意；C、平分弦(不是直径)的直径一定垂直于该弦，原说法错误，不符合题意；D、不在同一直线上的三个点确定一个圆，正确，符合题意．
3.D　
【解析】∵直线l上有一点P满足PO＝4，∴点O到直线l的距离小于或等于4，∵⊙O的直径为8，∴直线l与⊙O的位置关系是相交或相切．
4.A
5.C　
【解析】如解图，过点A作AE⊥CD，交CD延长线于点E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝60°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠ADC＝180°－∠B＝120°，∴∠ADE＝60°，∵AE⊥CD，∴DE＝AD·cos60°＝1，AE＝AD·sin60°＝ ，∴CE＝DE＋CD＝1＋4＝5，在Rt△AEC中，AC＝ ＝ ＝2 .
解图
6.C
7.B　
【解析】如解图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝42°，∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－42°＝48°，∴∠D＝ ∠AOB＝ ×48°＝24°.
解图
8.C　
【解析】如解图，连接OB，OD，在正五边形ABCDE中，∠BOD＝360°× ＝144°，∵OB＝OD，∴∠BDO＝ ×(180°－144°)＝18°，∵MN是正五边形ABCDE的外接圆的切线，∴∠ODM＝90°，∴∠BDM＝90°－18°＝72°.
解图
9.C
【解析】如答案图，过点D作DE⊥BC于点E，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠BDC＝120°，∵点D为 的中点，∴BD＝CD，∴∠CDE＝ ∠BDC＝60°，CE＝ BC＝2 ，∴CD＝ ＝4，∴S阴影＝ ＝ .
答案图
10.B　
【解析】如解图，连接OB，过点O作OM⊥AB于点M，∴AM＝BM，∵OC＝OB＝4，∠DCB＝45°，∴∠OBC＝∠DCB＝45°，又∵∠ABC＝75°，∴∠OBA＝30°，在Rt△BOM中，∠OBM＝30°，∴OM＝ OB＝2, ∴AM＝BM＝ ＝2 ，∵∠ABC＝75°，∠DCB＝45°，∴∠ODM＝60°，∴∠DOM＝30°，在Rt△DOM中，OD＝2DM，∴(2DM)2＝DM2＋22，解得DM＝ ，∴AD＝2 － ＝ .
解图
二、填空题
11.OP＞4　
【解析】∵当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，∴OP＞4.
12.35°　
【解析】如解图，连接BC，则∠ABC＝∠ADC＝55°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝35°.
解图
13.28.7
【解析】根据题意，得 的长为 ， 的长为 ，∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，∴ － ＝36，∴ ＝36，即 ＝36，解得AC＝ ≈ ≈28.7.
14.72
【解析】如解图，连接BD，∵OD⊥AB，∠ADO＝54°，∴∠BDO＝∠ADO＝54°，∴∠C＝180°－∠ADO－∠BDO＝72°.
解图
15.2　
【解析】如解图，作AB的中点P，连接PD. ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠DAB＝∠DBC，∠ABD＋∠DBC＝∠ABC＝90°， ∴∠ABD＋∠DAB＝90°，∴∠ADB＝90°，∵点P为AB的中点，∴PD＝ AB＝PB＝3.要求线段CD的最小值，只要点P，D，C在同一条直线上．在Rt△PBC中，由勾股定理，得PC＝ ＝ ＝5.∴CD＝PC－PD＝5－3＝2.
解图
三、解答题
16.解：如解图，连接CD，则∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝50°，∴∠A＝50°，∠BDC＝40°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠BDC＝40°.
∵2 ＝ ，∴∠ADB＝∠ACB＝ ∠BDC＝20°，∴∠ACO＝∠BCD－∠ACB－∠OCD＝90°－20°－40°＝30°.
解图
17.解：(1)作图如解图所示；
【作法提示】①连接PO，分别以点P，O为圆心，大于 OP长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交OP于点A，②以点A为圆心，以AO为半径画弧(或画圆)，与圆O交于E，F两点．作直线PE，PF，PE，PF即为所求．
解图
(2)如解图，连接OE，OF，
∵PE，PF为⊙O的两条切线，切点为E，F，∴OE⊥PE，OF⊥PF，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在四边形PEOF中，∠EPF＝30°，∴∠EOF＝180°－30°＝150°.
①当点D1在优弧EF上时，连接ED1，FD1，∴∠ED1F＝ ∠EOF＝75°；
②当点D2在劣弧EF上时，连接ED2，FD2，
∵四边形ED1FD2是圆的内接四边形，
∴∠ED2F＝180°－75°＝105°.
综上所述，∠EDF的度数为75°或105°.
18.解：如解图，过点B作BC∥OA交球体于点C，过点O作OD⊥BC于点D，则⊙D的周长即为北纬33°纬线的长度，BC即为⊙D的直径，
∵BC∥OA，∠AOB＝33°，∴∠OBD＝∠AOB＝33°，
∵OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，在Rt△OBD中，OB＝OA＝6400km，∴BD＝OB·cos ∠OBD≈6400×0.84≈5376km，∴北纬32°的纬线长为2π·BD≈2×3×5376＝32256km，
答：点B所在纬线的长度约为32256km.
19.解：(1)如解图，分别作AB，BC的垂直平分线，两直线交于点M，则点M即为该圆弧所在圆的圆心，
由解图可知，点M的坐标为(4，0)，⊙M的半径长为AM＝ ＝2 ；
(2)如解图，连接AC，则AC＝ ＝2 ，
AM2＋CM2＝20＋20＝40，AC2＝40，则AM2＋CM2＝AC2，∴∠AMC＝90°，
设圆锥的底面圆的半径长为r，则2πr＝ ，解得r＝ .∴该圆锥的底面圆的面积为πr2＝π·( )2＝ .
解图
20.(1)证明：∵O′是△ABC的内心，∴BO′平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴ ＝ ，∴D是 的中点，
∵O是△ABC的外心，即为⊙O的圆心，∴OD⊥AC；(4分)
(2)解：如解图，延长CO′交AB于点F，连接OA，
∵AC＝BC，∴点C，O，O′在一条直线上．
∵O′是△ABC的内心，∴CF⊥AB，AF＝BF，
∵AC＝13，AB＝10，∴AF＝ AB＝5，∴CF＝ ＝12，
设OA＝r，则在Rt△OAF中，AF2＋OF2＝OA2，
即52＋(12－r)2＝r2，解得r＝ ，即⊙O的半径为 .(9分)
解图
21.(1)证明：如解图，连接OC，AC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BCO＋∠OCA＝90°.
∵CP与⊙O相切于点C，∴PC⊥OC，∴∠BCO＋∠PCB＝90°，∴∠OCA＝∠PCB，
又∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC.
∵直径AB垂直于弦DC，∴AB平分 ，即 ＝ ，∴∠PAD＝∠OAC，∴∠PCB＝∠PAD；
(2)解：如解图，连接OD，
∵⊙O的直径为4，∴半径为2，
∵弦DC平分半径OB，∴OF＝1，
∵CD⊥OB，∴∠OFD＝90°，∴∠ODF＝30°，∠DOF＝60°，
在Rt△DOF中，DF＝ ＝ ＝ .∴DC＝2 .
∵ ＝ ，∴∠BOC＝∠DOF＝60°，∴∠COD＝120°.
∴S阴影＝S扇形COD－S△COD－S弓形BC
＝ － ×2 ×1－( － ×22)
＝ π－ － π＋ ＝ π
解图
22.(1)证明：如解图①，连接OC，
∵DC＝AC，AO＝BO，
∴点O，C分别是AB，AD的中点，
∴OC∥BD，
∵CM⊥BD，
∴∠OCM＝∠CMB＝90°，即OC⊥CM.
∵OC是半圆O的半径，
∴CM是半圆O的切线；
(2)解：如解图②，连接CO，DO，EO，过点C作CF⊥AB于点F，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝CD，
∴AB＝BD，
∵AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形．
∴∠A＝∠ABD＝60°，
∵OA＝OC，OB＝OE，
∴△AOC，△BOE是等边三角形，
∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝60°，
∵AB＝4，
∴AO＝ AB＝2，CF＝ ，
∴S重合＝S△AOC＋S△BOE＋S扇形COE＝ × ×2＋ × ×2＋ ＝2 ＋ ；
(3)解：当点P恰好在半圆O上时，
∵点P是△BCD的内心，AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠DCB＝90°，∠BCP＝∠DCP＝45°，
∴∠ABP＝180°－∠ACB－∠BCP＝45°，
∵AC＝CD，∠ACB＝90°，
∴AB＝BD，
设∠CBP＝∠DBP＝x，则∠DAB＝ (180°－∠ABP－∠DBP)＝ (180°－45°－x)．
由四边形ABPC内角和为360°可得∠ACP＋∠CPB＋∠ABP＋∠DAB＝135°＋(180°－45°－x)＋45°＋ (180°－45°－x)＝360°，解得x＝15°，
∴∠ABD＝∠ABP＋∠DBP＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠CDP＝ ∠ADB＝30°，
∴∠DPC＝180°－30°－45°＝105°，
∴点P是△BCD的内心且在半圆O上时，∠DPC的度数为105°.
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