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2025-2026学年河南省青桐鸣大联考高二（上）开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.若的图象关于原点对称，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.设点到直线：的距离为，直线与直线：之间的距离为，则与之间的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
5.函数的图象在区间内的对称轴条数为( )
A. B. C. D.
6.过点，，的圆的圆心坐标为( )
A. B. C. D.
7.设随机事件，满足，，则( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某工厂生产了一批钢丝，现随机抽取其中根，得到它们的长度分别为，，，，单位：厘米，则这组数据的( )
A. 极差为 B. 平均数为 C. 中位数为 D. 方差为
10.已知函数，则下列选项正确的有( )
A. 的定义域为
B. 曲线的图象关于点中心对称
C. 若，则
D.
11.已知为坐标原点，过点的直线与圆：交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有( )
A. 当时，
B. 当直线的斜率为时，的面积为
C. 当时，的外接圆半径为
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某圆柱与某圆锥的母线长均为，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的倍，若圆柱的体积为，则圆锥的体积为______．
13.若圆恒过两个不同的定点，，则______．
14.已知函数，则方程的根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______提示：函数在上单调递增．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：，直线：，直线：，．
探究与是否垂直；
若，判断与圆的位置关系；
若，求圆与圆：公切线的条数．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
证明：为等腰三角形；
若，，求的值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，直线的一个方向向量为．
证明：；
若直线的方向向量与直线的方向向量的数量积为，且点到直线的距离为，求的一般式方程．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，，满足，点与点可以重合，记点的轨迹为．
求曲线的方程；
若，求的值；
若点不与原点重合，求的角平分线所在直线的斜截式方程．
19.本小题分
已知圆：，圆：．
证明：与相切；
若与内切，求公切线的方程；
若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点异于点，交于点异于点，证明：以为直径的圆过定点．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.因为，
若，则与垂直，
若，则与不垂直；
当时，：，圆：，
则圆的圆心为，半径为，
因圆心到直线的距离为，
所以与圆相离；
当时，圆，圆：，
则圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则两圆的圆心距为，
则圆与圆内含，其公切线的条数为．
16.证明：中，，
由正弦定理可得，
可得，
又，所以，
又，可得，则有，
所以为等腰三角形；
解：若，，则，
可得，
又，
所以．
17.证明：由可化为，
则其一个方向向量为，
由题意可知，
解之得，
所以；
解：设直线的方向向量为，则该直线方程为，
由题意可知，解之得，
即该直线方程为，
所以的一般式方程为．
18.根据题意，，，，且满足，
即，化简得，
即曲线的方程为；
由，可得曲线的图像，如图所示，
因为，所以，
又为圆心，在圆上，所以，
又，；
设的角平分线所在直线的倾斜角为，
当时，为锐角，且，又，，所以，
所以，即，解得或，
因为为锐角，所以，
又因为的角平分线过原点，所以其直线方程的斜截式为：；
当时，为钝角，且，又，，所以，，
所以，即，
解得或，
因为为锐角，所以，
所以，
又因为的角平分线过原点，所以其直线方程的斜截式为：．
综上所述，的角平分线所在直线的斜截式方程为或．
19.证明：由，可得圆心，半径，
圆，可得，
可得圆心，半径，
则，
当时，可得，，则，两圆相外切；
当时，可得，，则，两圆相内切；
当时，可得，，则，两圆相内切；
综上可得，当时，圆与相切；
解：联立方程组，可得，
设直线的方程为，由点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
所以直线与相切，也与相切，所以为圆与的公切线方程，
即圆与的公切线方程；
证明：联立方程组，整理得，解得，
所以与的切点为，且圆与内切于点，
所以直线过点的直线，
此时直线方程为，
当且时，可得，且和的面积之积为，
则，可得，
又由直线的倾斜角为，则有，
可得，
则以为直径的圆的方程为：，
整理得，
即，
将其整理为关于的二次多项式，可得：，
所以，即，
解得或，
所以以为直径的圆恒过定点．
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