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2024-2025学年青海省海南州第三民族高级中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则等于( )
A. B. C. D.
2.函数的导数为( )
A. B.
C. D.
3.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了箱相同规格的医用外科口罩，现需将这箱口罩分配给家医院，每家医院至少箱，则不同的分法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.函数的单调递减区间是( )
A. B.
C. ， D. ，
7.已知函数，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8.设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列结论中正确的是( )
A. ，
B. 函数的图象是中心对称图形
C. 若是的极小值点，则在区间单调递减
D. 若是的极值点，则
10.为了提高教学质量，省教育局派位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有所重点高中，则下列说法正确的有( )
A. 每个教研员只能去所学校调研，则不同的调研方案有种
B. 若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有种
C. 若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有种
D. 若每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员不去同一所高中则不同的调研安排方案有有种
11.已知函数，，则的图象可能是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则的不同的值有______个
13.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为______．
14.已知直线为函数的切线，且经过原点，则直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列函数的导数：
；
；
；
．
16.本小题分
如图，在半径为的四分之一圆为圆心铝皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点，在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长，圆柱的体积为．
求出体积关于的函数关系式，并指出定义域；
当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积最大？最大体积是多少？
17.本小题分
人站成一排求：
甲、乙两人相邻的排法有多少种？
甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？
甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？
18.本小题分
某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费单位：百万元，可增加销售额约为单位：百万元．
若该公司将当年的广告费控制在百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
现该公司准备共投入百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费单位：百万元，可增加的销售额约为单位：百万元．
请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大收益销售额投入
19.本小题分
已知函数在点处取得极小值，其导函数的图象经过，，如图所示：
求的值；
求，，的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：在中，
因为，所以，
设圆柱的底面半径为，则，即，
所以，定义域为．
由得，，，
令，则，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，圆柱形罐子的体积最大，最大体积是．
17.
18.解：设投入百万元的广告费后增加的收益为百万元，
则有，
所以当百万元时，取得最大值百万元．
即投入百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
设用技术改造的资金为百万元，
则用于广告促销的资金为百万元，
则增加的收益为，
所以令，
解得，或舍去．
又当时，，
当时，．
故在上是增函数，在上是减函数．
所以当时，取最大值，
即将百万元用于技术改造，百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．
19.解：由图象可知，
在上，
在上，
在上．
故在，上递减，在上递增．
因此在处取得极小值，所以．
，
由，，，
得，
解得，，．
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