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2025-2026学年云南省文山州文山一中高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线过点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5.已知直线，，的倾斜角为若，则的斜率为( )
A. B. C. D.
6.空间向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列选项正确的有( )
A. 的最小正周期为 B. 曲线关于点中心对称
C. 的最大值为 D. 曲线关于直线对称
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
11.已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的倾斜角为，直线，且过点和，则的值为______．
13.在长方体中，设，，则______．
14.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
求的值；
若时，求的面积．
16.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，，，设，，．
用，，表示；
求的长．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，为的中点，．
证明：；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，．
证明：平面平面；
求点到平面的距离；
线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角即两个平面相交时所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知在中，，
，由余弦定理得，，
又，
，化简得，
．
由得，
为锐角，，
，，
的面积．
16.解：在平行六面体中，，，，
．
，，，，，
．
．
的长．
17.解：证明：在直三棱柱中，平面，平面，
，
，平面，且，
平面，
平面，E.
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由，，得，
，，，，
设平面的一个方向向量为，
，，
，令，得，
平面，是平面的一个法向量，
，
二面角的余弦值为．
18.解：证明：底面，平面，平面，且底面为矩形，
，，，则建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：
，，，，则，，，，，，，，，
则，
又平面，在平面的一个法向量为，
，即，
又平面，
平面；
由得，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.证明：由平面，平面，则，
又，由，且，平面，
所以面，
又面，
所以平面平面；
解：由易知，又，过作于，
由面面，面面，面，
所以面，
过作，易知，
故可构建如图示空间直角坐标系，
又，
则，
所以，
若是面的一个法向量，
则解得，
所以点到平面的距离；
解：同构建空间直角坐标系，
易知平面的法向量，
设，
于是
，
，
设是平面的一个法向量，
则，
令，
因为平面与平面所成角的余弦值为，
，
，
，
可得，，
可得，，
整理得，解得或舍，
故，所以．
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