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2024-2025学年河南省驻马店市确山第二高级中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上点与点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是( )
A. 点分 B. 点分 C. 点分 D. 点分
3.已知是第一象限角，且，则( )
A. B. C. D.
4.““是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.若锐角，满足，则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D. 以上说法均不对
6.已知平面向量满足，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为如果在前个小时消除了的污染物，那么从过滤开始到污染物共减少需要花的时间为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
8.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图是某地一天从点到点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，其中：，，则下列说法正确的有( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数解析式为
C. 函数在区间上单调递增
D. ，
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的对称中心为
C. 的对称轴为直线
D. 的单调递增区间为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则______．
13.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
14.在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足，点为线段的中点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，，向量，，，且，．
求；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，是线段上的一个动点．
若，求的值；
求的长；
求的取值范围．
17.本小题分
已知函数，若的最小正周期为．
求的解析式；
若函数在上有三个不同零点，，，且．
求实数的取值范围；
求，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数的部分图像如图所示．
求的解析式及对称中心；
若，求的值；
若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围．
19.本小题分
如图，圆的半径为，其中，为圆上两点．
若，当为何值时，与垂直？
若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，求最小值．
若的最小值为，求的值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由，，
可得且，
解得，，
即，，
则，
则；
由知，，，
所以，，
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
16.解：由，分别为，的中点，
则，，
由图可得，则，
所以；
由可知，，
由，则，
，
可得，解得；
设，，则，
由图可得，
，
则
，
又，则．
17.解：，
因为的最小正周期为，所以，即，
所以．
由知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
也就是关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，
或一个实根是，另一个实根在，当一个根在，另一个实根在，
所以，即，解得：，
当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是，即，解得，
此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是，另一个实根在，
由得，此时方程为，解得或，
这两个根都不属于，不合题意，综上的取值范围是．
设，为方程的两个不相等的实数根，则，
由知，，，所以，
即，，
所以，即，
由得，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
又，且，所以，
所以，整理得，
因为，所以，
解得或，
又，所以．
18.解：由题意可得，周期，
则，，
将点代入可得，，
解得，，，；
令，，解得，
的对称中心为；
由知，
，即，
或
又，
或．
由知，则，
由函数在上恰有个零点，
即在上恰有个解，
即在上恰有个解，
，，
即函数与在区间有个交点，
则，解得，
故的范围为
19.解：在中，，，
由余弦定理得，
化简得，解得，可得．
若与垂直，则，
即，所以，解得．
所以时，与垂直；
因为为的重心，所以，
结合，可得．
由于、、共线，所以，即．
结合、，可得，
当且仅当时，即时，等号成立．
综上所述，当时，取得最小值；
若的最小值为，设与的夹角为，
在中，，
所以．
因为
，当时，有最小值，
所以，解得，即取最小值时，．
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