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2024-2025学年福建省莆田十五中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
2.已知边长为的正方形中，点，分别为，的中点，则( )
A. B. C. D.
3.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
5.在三角形中，，，分别为角，，的对边，且，则三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，则球的表面积等于( )
A. B. C. D.
8.已知的内角，，所对的边分别为，，，，，且的面积为，则的周长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则直线平行于平面内的无数条直线
B. 若，，，则与是异面直线
C. 若，，则
D. 若，，则，一定相交
10.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有( )
A.
B. 该圆台轴截面面积为
C. 该圆台的体积为
D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
11.是边长为的等边三角形，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，，，则______．
13.，若，则______．
14.如图所示，为了测量河对岸，两点间的距离，在这一岸定一基线，现已测出米，，，，，则的长为______米
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在梯形中，，，，，梯形绕着直线旋转一周．
求所形成的封闭几何体的表面积；
求所形成的封闭几何体的体积．
16.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，求实数的值；
若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在正方体中，点、分别是、的中点求证：
直线和在同一平面上；
直线、和交于一点．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，且的周长为，求的面积．
19.本小题分
如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点．
求证：平面；
是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，
其表面积圆柱侧面积圆锥侧面积圆柱底面积．
其体积圆柱体积圆锥体积．
16.解：因为向量，，且，
所以，解得，
所以．
因为，且，
所以，解得，
因为与的夹角是钝角，
则且与不共线．
即且，
所以且．
17.解：如图，连结，，，
因为点，分别是，的中点，
所以，
由正方体的结构特征可知，
所以，
所以，，，四点共面，即和共面；
由可知，且，
所以与相交，设交点为，
因为，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面平面，
所以，
所以、、三线交于点．
18.解：由题设有，
则，
所以，而，
故，又，
所以．
由及已知，有，
整理得，
又，即，
所以，解得，
故．
19.证明：因为底面四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
证明：连接，交于，连接，
因为四边形是平行四边形，
所以是的中点，
又因为是的中点，
所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为平面，平面平面，
所以．
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