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2025-2026学年安徽省马鞍山二中高二（上）9月质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内对应的点是，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.一个正四棱锥的高是，底面边长也为，则正四棱锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
4.已知一组数据，，，，，，，，则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
5.已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，( )
A. 若，，则 B. 若，，，，则
C. 若，，，，则 D. 若，，，则
6.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的名学生进行调查为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做若最终盒子中小石子的个数为，则该地区中学生吸烟人数的比例约为( )
A. B. C. D.
7.已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. B. 与的夹角为
C. D. 在方向上的投影向量的模是
10.在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为、、、的个神秘书签，书签除编号外完全相同小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号( )
A. 第一张书签编号比第二张大的概率是
B. “两书签编号之和为”的概率是
C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为”相互独立
D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为”的概率为
11.已知正方体的棱长为，为上一动点，为棱的中点，则( )
A. 四面体的体积为定值
B. 存在点，使平面
C. 二面角的正切值为
D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若为虚数单位是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数 ______．
13.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为______．
14.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为分，所有参赛学生的成绩都不低于分现从中随机抽取了名学生的成绩，按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均数、中位数同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求恰有人成绩在的概率．
16.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求；
求的取值范围．
18.本小题分
某次答辩活动有道题目，第题分，第题分，第题分，第题分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第，，，题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的．
求甲得分的概率；
求甲得分的概率；
若参加者的答辩分数大于分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．
19.本小题分
如图，在矩形中，为的中点将沿向上翻折，进而得到多面体如图．
当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值；
在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值；
在翻折过程中，求二面角的最大值．
参考答案
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14.
15.由已知可得，解得，
所抽取的名学生成绩的平均数为分，
由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
所以中位数位于内，设为，
所以，解得分．
由可知，后三组中的人数分别为，，，故这三组中所抽取的人数分别为，，，
记成绩在这组的名学生分别为，，，成绩在这组的名学生分别为，，成绩在这组的名学生为，
则从中任抽取人的所有可能结果为：、、、、、
、、、、、、、、、，共种．
其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种．
故所求概率为．
16.解：因为，，
所以，
，
则，
故，即，
解得或．
当时，，
与的夹角为锐角，
则且与不共线同向，
故，解得，
故的取值范围是．
17.因为，
而，
由正弦定理可得，
所以，
锐角中，，，
可得，
在锐角中，，
所以；
由知，，可得，
在中，，
又为锐角三角形，，解得，
由正弦定理，
，
又，，
．
所以的取值范围．
18.甲得分的概率为；
甲得分有两种情况：甲答对第题和第题，甲答对第题，
故甲得分的概率为；
若甲恰好答对道题目答辩成功，则甲必定答对第题和第题，
甲答辩成功的概率为，
若甲恰好答对道题目答辩成功，
则甲答对第题、第题、第题，或者答对第题、第题、第题，或者答对第题、第题、第题，
甲答辩成功的概率为，
由可知甲得分的概率为，所以甲答辩成功的概率为．
19.连接交于点，如下图所示：
则，
，，即，
又，，可得，
同理易证，，
翻折后当平面平面时，平面平面，且，
又平面，平面；
可知直线与平面所成的角为，
在中，，
即直线与平面所成角的正切值为；
如图，过点作，垂足为，
，，，平面，平面，
平面，
又平面，，
又，，平面，平面，
平面，
直线与平面所成的角即为，
在翻折过程中，设，，由可知，，
在中，，
，
设，则，
，其中，
，解得，
显然当时，，故，
即，又易知，，
即直线与平面所成角的最大值为；
过作于点，连接，如下图所示：
由知平面，平面，，
又，，，平面，
平面，
又平面，，又，
为二面角的平面角，
，，，可得，
结合可得，
在中，，
令，则，
即，其中，
，解得，
显然当时，，故，
即，结合，可知，
因此二面角的最大值为．
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