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2025-2026学年湖北省咸宁市华师元一赤壁学校高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据：，，，，，，，，，的分位数是( )
A. B. C. D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是( )
A. 众数平均数中位数
B. 众数中位数平均数
C. 众数平均数中位数
D. 中位数平均数众数
4.某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为，，按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取名学生去敬老院献爱心从这人中随机抽取人作为负责人，则名负责人至少有一名来自高二年级的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知、，若斜率存在的直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.已知正四棱锥的底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作于，作于，记，，则( )
A. 在上单调递增 B. 在上单调递增
C. 是定值 D. 是定值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，，且，，则( )
A. 事件与事件互为对立事件
B. 若事件与事件互斥，则
C. 若事件与事件互斥，则
D. 若，则事件与事件相互独立
10.已知点是所在平面内一点，且，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则点是边的中点
B. 若点是边上靠近点的三等分点，则
C. 若，则
D. 若点在边的中线上，且，则点是的重心
11.在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则下列结论正确的是( )
A.
B. 点的轨迹是一个半径为的圆
C. 直线与平面所成角为定值
D. 三棱锥体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的值为______．
13.若直线：与直线：平行，则实数 ______．
14.如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量对于平面内任意一点，若向量，则记，已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为______；若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为，．
求的大小
求的最大值．
16.本小题分
已知的顶点，，，为的中点．
求直线的斜率；
判断的形状；
设，分别为，的中点，求直线的斜率．
17.本小题分
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数；
在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？
若落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求这两组成绩的总平均数和总方差．
18.本小题分
某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为，的两个红球和标号为，，的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取个，有放回地抽取次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数，且不是的倍数获三等奖，其余不获奖．
求两种规则下获得二等奖的概率；
请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由．
19.本小题分
如图，在正方体中，棱长为，是棱的中点，是的中点，．
证明：平面；
求四棱锥和四棱锥重合部分的体积；
求二面角的平面角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意，．
余弦定理：．
，
，，
则．
那么：
当时，取得最大值为．
即的最大值．
16.由题意的顶点，，，
因为为的中点，结合已知坐标有，则；
由，，，
由，，知是直角三角形．
又，结合已知，则是的垂直平分线，
所以是等腰直角三角形．
由于，分别为，的中点，所以是的中位线，则，
所以，故直线的斜率为．
17.根据题意可得，解得；
所以样本成绩的平均数为：
；
因为，，三组的频率之比为：：：：，
所以样本的答卷成绩在中的市民应抽取人；
因为与的频率之比为：：，
又落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，
所以这两组成绩的总平均数为，
所以这两组成绩的总方差为．
18.据题意，两次抽取小球的所有可能结果为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，，共种情况，
记规则一获得二等奖为事件，记规则二获得二等奖为事件，
事件包含，，，，，共个样本点，
，
事件包含，，，，，共个样本点，
．
两种规则下获得二等奖的概率均为．
两种规则的获奖概率一样大．理由如下：
记规则一获得一、二、三等奖分别为事件，，．
由可知事件包含，两个样本点，所以．
事件包含，，，，，，，，，，，，共个样本点，
．
由知，
规则一的获奖概率为．
规则二为：抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，
抽到两个球的标号和为的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数，且不是的倍数获三等奖，其余不获奖，
记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件，，．
事件包含，两个样本点，；
事件包含，，，，，，，，，，，，共个样本点，
，
由知，
规则二的获奖概率为，
两种规则的获奖概率一样大．
19.证明：如图所示，取的中点，在上取，
因为是的中点，是的中点，
所以，且，
因为，，
所以，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，
所以平面；
如图，设，，取中点为，的中点为，
由正方体性质可知，点为正方体的中心，
所以四棱锥和四棱锥重合的几何体为四棱锥和三棱柱形成的组合体．
，
；
以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
有，，，，，，
所以，，
设平面的法向量，
则，则，
令，则，
又，，
设平面的法向量，
则，则，
令，即，
设所成二面角的平面角为，
，
由图可知，二面角所成角的平面角为钝角，
所以所成二面角的平面角的余弦值为．
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