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八上第十四章全等三角形单元测基础过关卷（一）
详解详析
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1.D
【解析】两个等边三角形一定相似，但不一定全等，如一个等边三角形三边为2，2，2，另一个等边三角形三边为3，3，3，故选项A错误，不符合题意；形状相同的两个三角形不一定全等，如一个边长为2的等边三角形和一个边长为3的等边三角形，故选项B错误，不符合题意；面积相等的两个三角形不一定全等，如同底边，等高但形状不同的两个三角形，故选项C错误，不符合题意；全等三角形的面积一定相等，故选项D正确，符合题意．
2.C　
【解析】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=180°-60°-40°=80°，∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE=∠ACB=80°.故选：C.
3.C
【解析】根据“SSS”可判断C选项中的三角形与△ABC全等．
4.D
【解析】因为AD＝CF，所以AD+CD＝CF+DC，所以AC＝DF，A.添加BC＝EF可利用SSS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B.添加∠A＝∠EDF可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；C.添加AB∥DE可证出∠A＝∠EDC，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D.添加BC∥EF可证出∠BCA＝∠EDF不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意．
5.D　
【解析】由作图得，EG平分∠AEF，∵∠AEF＝80°，∴∠AEG= ∠AEF＝40°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠AEG＝40°.
6.B　
【解析】∵在△AOB和△COD中， ，∴图中△AOB与△COD全等的依据是SAS.
7.A
【解析】∵EC⊥BD，∴ ABC和 DEC均为直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEC中 ，∴Rt△ABC Rt△DEC(HL)，∴AC＝CD，CE＝CB，∵AC＝3.5，BD＝9，∴CD＝3.5，∴CB＝BD－CD＝9－3.5＝5.5，∴CE＝CB＝5.5．
8.C
【解析】∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在 ACB和 ADE中 ，∴ ACB≌△ADE(SAS)，∴∠1＝∠ABC，∵∠3＝∠BAC＋∠ABC，∴∠3＝∠1＋∠2，∵∠1＋∠2＋∠3＝100°，∴∠3＝50°．
9.D　
【解析】如答案图，过点E作EF⊥BC于点F，∴∠BFE=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠EBF=90°，∵AD⊥BE，∴∠ADB=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠EBF，在△ABD和△BEF中， ，∴△ABD≌△BEF(AAS)，∴EF=BD=2，∴S△BEC= EF·BC= ×2×7=7.
答案图
10.D　
【解析】如答案图，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F，∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，∵∠BAD＋∠C＝180°，且∠BAD＋∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，∴△ADF≌△CDE(AAS)，∴AD＝CD＝2，∴四边形ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋DA＝3＋5＋2＋2＝12.
答案图
二、填空题(本题共5小题，每题3分，共15分)
11.AE＝AD（答案不唯一）
12.72
【解析】由作图得∠AOC=∠AOB，所以∠AOC=36°，所以∠BOC=∠AOC+∠AOB=72°.
13.4
【解析】如图，过点D作DH⊥AC于点H，因为AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，所以DH＝DE＝2，因为S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝16，所以 AB·DE AC·DH＝16，所以 12×2 AC×2＝16，所以AC＝4．
14.7
【解析】∵AB⊥DE，∴∠DGB＝90°，∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∴∠D＋∠B＝∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠D，在 ACB与 DFE中 ，∴ ACB≌△DFE(AAS)，∴BC＝EF＝4，DF＝AC＝6，∵CF＝3，∴CD＝DF－CF＝6－3＝3，∴BD＝BC＋CD＝7．
15.4
【解析】∵BC＝12，点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，∴PC＝BC－BP＝12－3t，∵D为AB的中点，∴ ，∵点P，Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ，又∵ BPD与 CQP全等，∠B＝∠C，∴BP＝PC，BD＝CQ，∴3t＝12－3t，8＝at，解得t＝2，a＝4．
三、解答题(本题共7小题，共75分)
16.证明：∵DE∥AB，
∴∠D=∠ABC，
∵BD=AB，DE=BC，
∴△BDE≌△ABC(SAS)，
∴BE=AC.
17.解：方案一：选择①作为条件，②作为结论，证明如下：
在等边△ABC中，AC＝BC＝AB，∠BAC＝∠B＝60°，
∵EC＝DB，
∴BE＝AD，
在△CAD和△ABE中，
，
∴△CAD≌△ABE(SAS)，
∴∠ADC＝∠BEA.
方案二：选择②作为条件，①作为结论，证明如下：
在等边△ABC中，AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠B＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD(AAS)，
∴BE＝AD，
∴BC－BE＝AB－AD，
即EC＝BD.
18.解：如答案图①，点E即为所求.（作法不唯一）
【一题多解】如答案图②，点E即为所求.
答案图
19.(1)证明：在 AED和 CEF中 ，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
(2)解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ACF，∠ABC＋∠BCF＝180°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠BCF＝130°，
∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF＝65°，
∴∠A＝∠ACF＝65°．
20.解：由题图可得∠DPC＝17.8°，∠APB＝72.2°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝72.2°，
在△CPD和△PAB中， ∴△CPD≌△PAB(ASA)，∴DP＝AB，
∵PB＝8m，DB＝33m，∴AB＝DP＝DB－BP＝25(m)．
答：教学楼楼高AB为25m.
21.证明：(1)如答案图，过点D作DF⊥AC交AC延长线于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴DE＝DF；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DCF中 ，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)；
∴∠ABD＝∠DCF，
∵∠DCF＋∠ACD＝180°，
∴∠ABD＋∠ACD＝180°；
答案图
(2)在 ADE和 ADF中 ，
∴△ADE≌△ADF(AAS)，
∴AE＝AF＝AC＋CF，
又∵BE＝CF，
∴AE＝AC＋BE，
∵AE＝AB－BE，
∴AB－BE＝AC＋BE，
∴8－BE＝4＋BE，解得BE＝2，
∴AE＝AB－BE＝6．
22.解：(1)AC＝BD；
理由：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，
在 AOC和 BOD中，OA＝OB，OC＝OD ，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC＝BD；
(2)由(1)知， AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠AQO＝∠BQP，
∴∠APB＝∠AOB＝50°，
∵∠APD＋∠APB＝180°，
∴∠APD＝180°－50°＝130°；
(3)由(1)知AC＝BD，
∵M，N分别为AC，BD的中点，
∴AM＝MC＝BN＝ND，
由（1）知 AOC≌△BOD，
∴OM＝ON，
在 MOC和 NOD中 ，
∴△MOC≌△NOD(SSS)，
∴∠MOC＝∠NOD，
∴∠MOC ∠NOC=∠NOD ∠NOC，∠COD＝90°
∴∠MON＝∠COD＝90°，
∴OM⊥ON，
综上所述，OM＝ON且OM⊥ON．
数学试卷 第页（共页）八上第十四章全等三角形单元测基础过关卷（一）
学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________
全卷总分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1.下列说法正确的是(　　)
A．两个等边三角形一定全等
B．形状相同的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积一定相等
2.如图，已知△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°，则∠DCE的度数为 (　　)
A.40° B.60°
C.80° D.100°
3.如图，下列三角形中，与△ABC全等的是（　　）
4.如图，已知点A，D，C，F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，添加下列条件后，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．BC＝EF B．∠A＝∠EDF
C．AB∥DE D．BC∥EF
5.如图,直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上,连接EF,以点E为圆心,适当长为半径画弧，交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G.若∠AEF=80°,则∠EGF的度数为 (　　)
A.100° B.80°
C.50° D.40°
6.如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是 (　　)
A.SSS B.SAS
C.ASA D.HL
7.如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC＝CD，连接AB，ED，AB＝DE．若AC＝3.5，BD＝9，则CE的长为(　　)
A．5.5 B．2.5 C．3 D．2
8.如图，在等腰三角形ABE中，AB＝AE，点D为AE右侧一点，连接AD，BD，DE，点C是BD上一点，连接AC，AC＝AD．若∠BAE＝∠CAD，∠1＋∠2＋∠3＝100°，则∠3的度数为(　　)
A．60° B．55° C．50° D．45°
9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是AC上一点，AB=BE，AD⊥BE于点D，若BD=2，BC=7，则△BEC的面积为 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
10.如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A＋∠C＝180°，若AB＝3，AD＝2，BC＝5，则四边形ABCD的周长为（ ）　
A.9 B.10 C.11 D.12
二、填空题(本题共5小题，每题3分，共15分)
11.如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ABE≌△ACD，你添加的条件是______．（只需填一种情况）
12.如图，第一步以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步以点E为圆心，以线段EF的长为半径画弧②，过两弧的交点作射线OC，若∠AOB=36°，则∠BOC的度数为 度.
13.如图，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝16，DE＝2，AB＝12，则边AC的长是 ．
14.如图放置Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE且AB⊥DE交于点G．若AC＝6，EF＝4，CF＝3，则BD的长为 ．
15.如图，在 ABC中，∠B＝∠C，AB＝16，BC＝12，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤4)，若点P，Q的运动速度不相等， BPD与 CQP全等时，a的值为 ．
三、解答题(本题共7小题，共75分)
16.如图，点D是 △ABC的边BC延长线上一点， BD=AB,DE∥AB,DE=BC.求证： BE=AC.
17.如图，在等边△ABC中，AE与CD交于点F.给出下列两个条件：①EC＝DB，②∠ADC＝∠BEA.
请从①②中任选一个作为已知条件，余下一个作为结论进行证明．
18.如图，已知△ABC，AD⊥BC于点D，∠DAC=30°.请用尺规作图法，在AB上求作一点E，使得∠BCE=30°.（保留作图痕迹，不写作法）
19.如图，在 ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF．
(1)求证：CF∥AB；
(2)若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数．
20.八年级数学兴趣小组开展了测量教学楼楼高AB的实践活动，测量方案及数据如下表：
课题 测量教学楼楼高AB
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方案 示意图
测量步骤 ①在旗杆CD与教学楼AB之间选定一点P； ②测量旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC； ③测量楼顶A视线PA与地面夹角∠APB； ④测量P到楼底距离PB、旗杆高度CD以及旗杆与楼之间的距离DB
测量数据 ∠DPC＝17.8°，∠APB＝72.2°，PB＝CD＝8m，DB＝33m
请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算教学楼楼高AB.
21.如图， ABC中，AD平分∠BAC，且DB＝DC，DE⊥AB于E．
(1)求证：∠ABD＋∠ACD＝180°；
(2)如果AB＝8，AC＝4，求AE的长．
22.综合与探究．
在 AOB和 COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD．
(1)如图①，A，O，D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，设AC，BD相交于点P，AC，OB相交于点Q，若∠AOB＝50°，求∠APD的度数；
(3)如图③，∠AOB＝∠COD＝90°，M，N分别为AC，BD的中点，连接OM，ON，MN，试说明OM＝ON且OM⊥ON．
图① 图② 图③
数学试卷 第页（共页）八上第十四章全等三角形单元测基础过关卷（一）
学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________
全卷总分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1.下列说法正确的是(　　)
A．两个等边三角形一定全等
B．形状相同的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积一定相等
1.D
【解析】两个等边三角形一定相似，但不一定全等，如一个等边三角形三边为2，2，2，另一个等边三角形三边为3，3，3，故选项A错误，不符合题意；形状相同的两个三角形不一定全等，如一个边长为2的等边三角形和一个边长为3的等边三角形，故选项B错误，不符合题意；面积相等的两个三角形不一定全等，如同底边，等高但形状不同的两个三角形，故选项C错误，不符合题意；全等三角形的面积一定相等，故选项D正确，符合题意．
2.如图，已知△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°，则∠DCE的度数为 (　　)
A.40° B.60°
C.80° D.100°
2.C　
【解析】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=180°-60°-40°=80°，∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE=∠ACB=80°.故选：C.
3.如图，下列三角形中，与△ABC全等的是（　　）
3.C
【解析】根据“SSS”可判断C选项中的三角形与△ABC全等．
4.如图，已知点A，D，C，F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，添加下列条件后，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．BC＝EF B．∠A＝∠EDF
C．AB∥DE D．BC∥EF
4.D
【解析】因为AD＝CF，所以AD+CD＝CF+DC，所以AC＝DF，A.添加BC＝EF可利用SSS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B.添加∠A＝∠EDF可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；C.添加AB∥DE可证出∠A＝∠EDC，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D.添加BC∥EF可证出∠BCA＝∠EDF不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意．
5.如图,直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上,连接EF,以点E为圆心,适当长为半径画弧，交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G.若∠AEF=80°,则∠EGF的度数为 (　　)
A.100° B.80°
C.50° D.40°
5.D　
【解析】由作图得，EG平分∠AEF，∵∠AEF＝80°，∴∠AEG= ∠AEF＝40°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠AEG＝40°.
6.如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是 (　　)
A.SSS B.SAS
C.ASA D.HL
6.B　
【解析】∵在△AOB和△COD中， ，∴图中△AOB与△COD全等的依据是SAS.
7.如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC＝CD，连接AB，ED，AB＝DE．若AC＝3.5，BD＝9，则CE的长为(　　)
A．5.5 B．2.5 C．3 D．2
7.A
【解析】∵EC⊥BD，∴ ABC和 DEC均为直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEC中 ，∴Rt△ABC Rt△DEC(HL)，∴AC＝CD，CE＝CB，∵AC＝3.5，BD＝9，∴CD＝3.5，∴CB＝BD－CD＝9－3.5＝5.5，∴CE＝CB＝5.5．
8.如图，在等腰三角形ABE中，AB＝AE，点D为AE右侧一点，连接AD，BD，DE，点C是BD上一点，连接AC，AC＝AD．若∠BAE＝∠CAD，∠1＋∠2＋∠3＝100°，则∠3的度数为(　　)
A．60° B．55° C．50° D．45°
8.C
【解析】∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在 ACB和 ADE中 ，∴ ACB≌△ADE(SAS)，∴∠1＝∠ABC，∵∠3＝∠BAC＋∠ABC，∴∠3＝∠1＋∠2，∵∠1＋∠2＋∠3＝100°，∴∠3＝50°．
9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是AC上一点，AB=BE，AD⊥BE于点D，若BD=2，BC=7，则△BEC的面积为 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
9.D　
【解析】如答案图，过点E作EF⊥BC于点F，∴∠BFE=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠EBF=90°，∵AD⊥BE，∴∠ADB=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠EBF，在△ABD和△BEF中， ，∴△ABD≌△BEF(AAS)，∴EF=BD=2，∴S△BEC= EF·BC= ×2×7=7.
答案图
10.如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A＋∠C＝180°，若AB＝3，AD＝2，BC＝5，则四边形ABCD的周长为（ ）　
A.9 B.10 C.11 D.12
10.D　
【解析】如答案图，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F，∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，∵∠BAD＋∠C＝180°，且∠BAD＋∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，∴△ADF≌△CDE(AAS)，∴AD＝CD＝2，∴四边形ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋DA＝3＋5＋2＋2＝12.
答案图
二、填空题(本题共5小题，每题3分，共15分)
11.如图，点D、E是线段AB、AC上的两点，且AB＝AC．再添加一个条件可以使得△ABE≌△ACD，你添加的条件是______．（只需填一种情况）
11.AE＝AD（答案不唯一）
12.如图，第一步以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步以点E为圆心，以线段EF的长为半径画弧②，过两弧的交点作射线OC，若∠AOB=36°，则∠BOC的度数为 度.
12.72
【解析】由作图得∠AOC=∠AOB，所以∠AOC=36°，所以∠BOC=∠AOC+∠AOB=72°.
13.如图，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝16，DE＝2，AB＝12，则边AC的长是 ．
13.4
【解析】如图，过点D作DH⊥AC于点H，因为AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，所以DH＝DE＝2，因为S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝16，所以 AB·DE AC·DH＝16，所以 12×2 AC×2＝16，所以AC＝4．
14.如图放置Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE且AB⊥DE交于点G．若AC＝6，EF＝4，CF＝3，则BD的长为 ．
14.7
【解析】∵AB⊥DE，∴∠DGB＝90°，∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∴∠D＋∠B＝∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠D，在 ACB与 DFE中 ，∴ ACB≌△DFE(AAS)，∴BC＝EF＝4，DF＝AC＝6，∵CF＝3，∴CD＝DF－CF＝6－3＝3，∴BD＝BC＋CD＝7．
15.如图，在 ABC中，∠B＝∠C，AB＝16，BC＝12，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤4)，若点P，Q的运动速度不相等， BPD与 CQP全等时，a的值为 ．
15.4
【解析】∵BC＝12，点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，∴PC＝BC－BP＝12－3t，∵D为AB的中点，∴ ，∵点P，Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ，又∵ BPD与 CQP全等，∠B＝∠C，∴BP＝PC，BD＝CQ，∴3t＝12－3t，8＝at，解得t＝2，a＝4．
三、解答题(本题共7小题，共75分)
16.如图，点D是 △ABC的边BC延长线上一点， BD=AB,DE∥AB,DE=BC.求证： BE=AC.
16.证明：∵DE∥AB，
∴∠D=∠ABC，
∵BD=AB，DE=BC，
∴△BDE≌△ABC(SAS)，
∴BE=AC.
17.如图，在等边△ABC中，AE与CD交于点F.给出下列两个条件：①EC＝DB，②∠ADC＝∠BEA.
请从①②中任选一个作为已知条件，余下一个作为结论进行证明．
17.解：方案一：选择①作为条件，②作为结论，证明如下：
在等边△ABC中，AC＝BC＝AB，∠BAC＝∠B＝60°，
∵EC＝DB，
∴BE＝AD，
在△CAD和△ABE中，
，
∴△CAD≌△ABE(SAS)，
∴∠ADC＝∠BEA.
方案二：选择②作为条件，①作为结论，证明如下：
在等边△ABC中，AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠B＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD(AAS)，
∴BE＝AD，
∴BC－BE＝AB－AD，
即EC＝BD.
18.如图，已知△ABC，AD⊥BC于点D，∠DAC=30°.请用尺规作图法，在AB上求作一点E，使得∠BCE=30°.（保留作图痕迹，不写作法）
18.解：如答案图①，点E即为所求.（作法不唯一）
【一题多解】如答案图②，点E即为所求.
答案图
19.如图，在 ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF．
(1)求证：CF∥AB；
(2)若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数．
19.(1)证明：在 AED和 CEF中 ，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
(2)解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ACF，∠ABC＋∠BCF＝180°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠BCF＝130°，
∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF＝65°，
∴∠A＝∠ACF＝65°．
20.八年级数学兴趣小组开展了测量教学楼楼高AB的实践活动，测量方案及数据如下表：
课题 测量教学楼楼高AB
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方案 示意图
测量步骤 ①在旗杆CD与教学楼AB之间选定一点P； ②测量旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC； ③测量楼顶A视线PA与地面夹角∠APB； ④测量P到楼底距离PB、旗杆高度CD以及旗杆与楼之间的距离DB
测量数据 ∠DPC＝17.8°，∠APB＝72.2°，PB＝CD＝8m，DB＝33m
请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算教学楼楼高AB.
20.解：由题图可得∠DPC＝17.8°，∠APB＝72.2°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝72.2°，
在△CPD和△PAB中， ∴△CPD≌△PAB(ASA)，∴DP＝AB，
∵PB＝8m，DB＝33m，∴AB＝DP＝DB－BP＝25(m)．
答：教学楼楼高AB为25m.
21.如图， ABC中，AD平分∠BAC，且DB＝DC，DE⊥AB于E．
(1)求证：∠ABD＋∠ACD＝180°；
(2)如果AB＝8，AC＝4，求AE的长．
21.证明：(1)如答案图，过点D作DF⊥AC交AC延长线于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴DE＝DF；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DCF中 ，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)；
∴∠ABD＝∠DCF，
∵∠DCF＋∠ACD＝180°，
∴∠ABD＋∠ACD＝180°；
答案图
(2)在 ADE和 ADF中 ，
∴△ADE≌△ADF(AAS)，
∴AE＝AF＝AC＋CF，
又∵BE＝CF，
∴AE＝AC＋BE，
∵AE＝AB－BE，
∴AB－BE＝AC＋BE，
∴8－BE＝4＋BE，解得BE＝2，
∴AE＝AB－BE＝6．
22.综合与探究．
在 AOB和 COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD．
(1)如图①，A，O，D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，设AC，BD相交于点P，AC，OB相交于点Q，若∠AOB＝50°，求∠APD的度数；
(3)如图③，∠AOB＝∠COD＝90°，M，N分别为AC，BD的中点，连接OM，ON，MN，试说明OM＝ON且OM⊥ON．
图① 图② 图③
22.解：(1)AC＝BD；
理由：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，
在 AOC和 BOD中，OA＝OB，OC＝OD ，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC＝BD；
(2)由(1)知， AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠AQO＝∠BQP，
∴∠APB＝∠AOB＝50°，
∵∠APD＋∠APB＝180°，
∴∠APD＝180°－50°＝130°；
(3)由(1)知AC＝BD，
∵M，N分别为AC，BD的中点，
∴AM＝MC＝BN＝ND，
由（1）知 AOC≌△BOD，
∴OM＝ON，
在 MOC和 NOD中 ，
∴△MOC≌△NOD(SSS)，
∴∠MOC＝∠NOD，
∴∠MOC ∠NOC=∠NOD ∠NOC，∠COD＝90°
∴∠MON＝∠COD＝90°，
∴OM⊥ON，
综上所述，OM＝ON且OM⊥ON．
数学试卷 第页（共页）

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