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八上第十五章轴对称单元测基础过关卷（一）
学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________
全卷总分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
1. B
2.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．50° C．100° D．120°
2.C
【解析】因为△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，所以∠C＝∠C′＝30°，因为∠A＝50°，所以∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°.
3.下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．若x＞0，则x2＞0
3.B
【解析】A.相等的角不一定是对顶角，故选项A不符合题意；B.同位角相等，两直线平行，正确，故选项B符合题意；C.对应角相等的三角形不一定全等，故选项C不符合题意；D.若x2＞0，x有可能小于0，故选项D不符合题意．
4.在平面直角坐标系中，点P（－2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．(2，1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(2，－1)
4.A
5.如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与点Q之间的距离为4cm，双翼的边缘PC＝QD＝64cm，且与闸机侧立面的夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，闸机的通道宽度为(　　)
A.64cm B.68cm C.76cm D.88cm
5.B　
【解析】如图所示，过P作PE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，则Rt△PCE中，∠ECP＝30°，PC＝64cm，PE＝ PC＝32cm，同理可得，QF＝32cm，又∵点P与Q之间的距离为4cm，∴闸机的通道宽度为32＋4＋32＝68(cm).
6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，点E，连接AE，当AB＝5，BC＝9时，则△ABE的周长是（　　）
A．19 B．14 C．4 D．13
6.B
【解析】由作法得MN垂直平分AC，∴EA＝EC，∴C△ABE＝AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋CE＝AB＋BC＝5＋9＝14．
7.如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，连接BE，CD，BE与CD交于点O，且AD＝CE，则∠BOD的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
7.B
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝∠CAD＝60°，BC＝CA，在△BCE和△CAD中， ，∴△BCE≌△CAD(SAS)，∴∠CBE＝∠ACD，∴∠BOD＝∠OCB＋∠CBE＝∠OCB＋∠ACD＝∠ACB＝60°．
8.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
8.B
【解析】因为线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
9.如图，在△ABC中，BC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为14，则△ABC的周长是（　　）
A．14 B．19 C．21 D．23
9.C
【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∵EF//BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB，同理可得FD＝FC，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，∵△AEF的周长＝AE+AF+FE＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝14，∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝14+7＝21．
10.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC，垂足为E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长（ ）
A． B．
C． D．
10.B
【解析】如解图，过点P作PH∥BC交AC于点H，易证△APH是等边三角形，∴PH=AP=CQ.可证得△HPD≌△CQD，∴CD=DH.由PH=AP且PE⊥AC知AE=HE,∴DE=HE=HD= AC= .
解图
二、填空题(本题共5小题，每题3分，共15分)
11.在△ABC中，∠B＝∠C，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 ．(写出一个即可)
11. (答案不唯一)
12.我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，下图是一种常见的图案，这个图案有 条对称轴．
12.2
【解析】这是一个组合图形，它的外部是一个长方形，再根据它的组合特点，显然有2条对称轴，即两组对边的垂直平分线．
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，∠ABC＝80°，延长BC至点D，使DC＝CA，延长CB至点E，使BE＝BA，连接AD，AE，则∠DAE＝ °．
13.120
【解析】∵DC＝CA，BE＝BA，∴∠CAD＝∠D，∠BAE＝∠E，∵在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝60°，∠CAD＝∠D ∠ACB＝20°，∠E＝∠BAE ∠ABC＝40°，∴∠DAE＝∠CAD＋∠BAC＋∠BAE＝20°＋60°＋40°＝120°．
14.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP．若∠A＝50°，则∠BPC＝______．
14.100
【解析】如答案图，连接AP，延长BP交AC于D，所以∠BPC＝∠PDC＋∠ACP＝∠BAC＋∠ABP＋∠ACP，因为点P是AB，AC的垂直平分线的交点，所以PA＝PB＝PC，所以∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，所以∠BPC＝∠BAC＋∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＋∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°.
答案图
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点．若BC＝5，△ABC的面积是30，则PB＋PH的最小值为 ．
15.12
【解析】如答案图，连接AP，AH，∵AB＝AC，点H为BC中点，∴AH⊥BC，∴△ABC的面积是30，∴ ，∴AH＝12，∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴AP＝BP，∴BP＋PH＝AP＋PH≥AH，∴AH的长为PB＋PH的最小值，∴PB＋PH的最小值为12．
答案图
三、解答题(本题共6小题，共75分)
16.在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，∠B＝40°．
(1)求∠BAD的度数；
(2)求证：AE＝DE．
16.(1)解：在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°；
(2)证明：∵DE∥AB，∠BAD＝50°，∠B＝40°，
∴∠EDA＝∠BAD＝50°，∠EDC＝∠B＝40°，
∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵AD⊥BC，
∴∠EAD＝90°－∠C＝50°，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED．
17.四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）点A关于y轴对称的点的坐标为 ，点D关于x轴对称的点的坐标为 ；
（2）将点A，B，C，D的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，依次得到点E，F，G，H，用线段顺次连接起来，画出四边形EFGH，则四边形EFGH与四边形ABCD的位置关系为 ；
（3）求四边形EFGH的面积．
17.解：（1）(4，4)，(－1，－3)；
【解法提示】由图可知A(－4，4)，D(－1，3)，因为根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点A关于y轴对称的点的坐标为(4，4)，点D关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3)．
（2）关于y轴对称；
【解法提示】如答案图，由题意，画出图形，由图可知，两个图形关于y轴对称．
答案图
（3）由图可知，四边形的面积为 ．
18.(1)观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：______，______；
(2)动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在(1)中发现的共同特征.
（图中网格均由边长为1的小正方形组成）
18.解：(1)轴对称图形，面积相等；
(2)新图案如答案图.(答案不唯一)
答案图
19.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.
（1）求证：DB＝DE；
（2）若CF＝4，求△ABC的周长.
19.（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴∠ACB＝60°， ，
∵CE＝CD，
∴ ，
∴∠CBD＝∠E＝30°．
∴DB＝DE；
（2）解：∵DF⊥BE，
∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°－∠C＝30°，
∵CF＝4，
∴DC＝2CF＝8．
∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝3×16＝48．
20.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AC＝12，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，连接BD．
（1）求证：BD⊥BC；
（2）求BD的长．
20.（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C （180°－∠ABC）＝30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝120°－30°＝90°，
∴BD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，
∴BD CD，
∵AD＝BD，
∴AD CD AC，
∵AC＝12，
∴AD＝4，
∴BD＝AD＝4．
21.某数学社团的同学在研究三角形问题时发现：等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个内角都相等或者三条边都相等的三角形均为等边三角形．小明同学画了一个等边△ABC，并在AC边上取了一定点E(不与顶点重合)，现请你和他一起运用相关知识共同解决以下问题：
【问题发现】
(1)请在图①中画一个等边三角形CEF(点F在BC边上)；
【问题探究】
(2)如图②，点D为BC边上任一个点，连接DE，以DE为边在其右侧作等边△DEF，连接CF，试探究线段CF，CD，CE之间的数量关系；
【问题解决】
(3)如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(点O)北偏西30°的点E处，舰艇乙在指挥中心正东方向的点D处，两舰艇同时监测到敌舰在点F处，且D，E，F三点恰好构成一个等边三角形，若甲，乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里，求此时敌舰距指挥中心的距离．
21.解：(1)如答案图①所示，等边三角形CEF即为所求；
答案图①
(2)CD＝CE＋CF，理由如下：
如答案图②，在CD上截取CH＝CE，连接EH，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△ECH为等边三角形，
∴EC＝EH＝CH，∠CEH＝60°，
∵以DE为边在其右侧作等边△DEF，
∴EF＝ED，∠FED＝60°，
∴∠CEH＝∠FED＝60°，
∴∠CEH－∠FEH＝∠FED－∠FEH，即∠CEF＝∠HED，
∴△CEF≌△HED(SAS)，
∴CF＝HD，
∵CD＝CH＋HD，CH＝CE，
∴CD＝CE＋CF；
答案图②
(3)如答案图③，连接OF，
∵∠AOE＝30°，∠AOD＝90°，
∴∠EOD＝90°＋30°＝120°，
∵三角形DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°，EF＝DE＝DF，
∴∠EOD＋∠EFD＝180°，
∴点E，O，D，F在同一个圆上，
∴∠DOF＝∠DEF＝60°，
在OF上截取OG＝OD，连接GD，
∵∠DOG＝60°，
∴△DOG是等边三角形，
∴OD＝OG＝DG，∠DOG＝∠OGD＝60°，
∴∠EDF＝∠ODG＝60°，
∴∠ODG＋∠EDG＝∠GOF＋∠EDG＝60°，
∴∠ODE＝∠GDF，
∵OD＝GD，ED＝FD，
∴△ODE≌△GDF(SAS)，
∴EO＝FG，
∵甲，乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里，
∴OD＋OE＝180海里，
由(2)的结论得FO＝OG＋FG＝OD＋OE＝180(海里)，
∴此时敌舰距指挥中心的距离为180海里．
答案图③
数学试卷 第页（共页）八上第十五章轴对称单元测基础过关卷（一）
详解详析
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1. B
2.C
【解析】因为△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，所以∠C＝∠C′＝30°，因为∠A＝50°，所以∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°.
3.B
【解析】A.相等的角不一定是对顶角，故选项A不符合题意；B.同位角相等，两直线平行，正确，故选项B符合题意；C.对应角相等的三角形不一定全等，故选项C不符合题意；D.若x2＞0，x有可能小于0，故选项D不符合题意．
4.A
5.B　
【解析】如图所示，过P作PE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，则Rt△PCE中，∠ECP＝30°，PC＝64cm，PE＝ PC＝32cm，同理可得，QF＝32cm，又∵点P与Q之间的距离为4cm，∴闸机的通道宽度为32＋4＋32＝68(cm).
6.B
【解析】由作法得MN垂直平分AC，∴EA＝EC，∴C△ABE＝AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋CE＝AB＋BC＝5＋9＝14．
7.B
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝∠CAD＝60°，BC＝CA，在△BCE和△CAD中， ，∴△BCE≌△CAD(SAS)，∴∠CBE＝∠ACD，∴∠BOD＝∠OCB＋∠CBE＝∠OCB＋∠ACD＝∠ACB＝60°．
8.B
【解析】因为线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
9.C
【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∵EF//BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB，同理可得FD＝FC，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，∵△AEF的周长＝AE+AF+FE＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝14，∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝14+7＝21．
10.B
【解析】如解图，过点P作PH∥BC交AC于点H，易证△APH是等边三角形，∴PH=AP=CQ.可证得△HPD≌△CQD，∴CD=DH.由PH=AP且PE⊥AC知AE=HE,∴DE=HE=HD= AC= .
解图
二、填空题(本题共5小题，每题3分，共15分)
11. (答案不唯一)
12.2
【解析】这是一个组合图形，它的外部是一个长方形，再根据它的组合特点，显然有2条对称轴，即两组对边的垂直平分线．
13.120
【解析】∵DC＝CA，BE＝BA，∴∠CAD＝∠D，∠BAE＝∠E，∵在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝60°，∠CAD＝∠D ∠ACB＝20°，∠E＝∠BAE ∠ABC＝40°，∴∠DAE＝∠CAD＋∠BAC＋∠BAE＝20°＋60°＋40°＝120°．
14.100
【解析】如答案图，连接AP，延长BP交AC于D，所以∠BPC＝∠PDC＋∠ACP＝∠BAC＋∠ABP＋∠ACP，因为点P是AB，AC的垂直平分线的交点，所以PA＝PB＝PC，所以∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，所以∠BPC＝∠BAC＋∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＋∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°.
答案图
15.12
【解析】如答案图，连接AP，AH，∵AB＝AC，点H为BC中点，∴AH⊥BC，∴△ABC的面积是30，∴ ，∴AH＝12，∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴AP＝BP，∴BP＋PH＝AP＋PH≥AH，∴AH的长为PB＋PH的最小值，∴PB＋PH的最小值为12．
答案图
三、解答题(本题共6小题，共75分)
16.(1)解：在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°；
(2)证明：∵DE∥AB，∠BAD＝50°，∠B＝40°，
∴∠EDA＝∠BAD＝50°，∠EDC＝∠B＝40°，
∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵AD⊥BC，
∴∠EAD＝90°－∠C＝50°，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED．
17.解：（1）(4，4)，(－1，－3)；
【解法提示】由图可知A(－4，4)，D(－1，3)，因为根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点A关于y轴对称的点的坐标为(4，4)，点D关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3)．
（2）关于y轴对称；
【解法提示】如答案图，由题意，画出图形，由图可知，两个图形关于y轴对称．
答案图
（3）由图可知，四边形的面积为 ．
18.解：(1)轴对称图形，面积相等；
(2)新图案如答案图.(答案不唯一)
答案图
19.（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴∠ACB＝60°， ，
∵CE＝CD，
∴ ，
∴∠CBD＝∠E＝30°．
∴DB＝DE；
（2）解：∵DF⊥BE，
∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°－∠C＝30°，
∵CF＝4，
∴DC＝2CF＝8．
∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝3×16＝48．
20.（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C （180°－∠ABC）＝30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝120°－30°＝90°，
∴BD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，
∴BD CD，
∵AD＝BD，
∴AD CD AC，
∵AC＝12，
∴AD＝4，
∴BD＝AD＝4．
21.解：(1)如答案图①所示，等边三角形CEF即为所求；
答案图①
(2)CD＝CE＋CF，理由如下：
如答案图②，在CD上截取CH＝CE，连接EH，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△ECH为等边三角形，
∴EC＝EH＝CH，∠CEH＝60°，
∵以DE为边在其右侧作等边△DEF，
∴EF＝ED，∠FED＝60°，
∴∠CEH＝∠FED＝60°，
∴∠CEH－∠FEH＝∠FED－∠FEH，即∠CEF＝∠HED，
∴△CEF≌△HED(SAS)，
∴CF＝HD，
∵CD＝CH＋HD，CH＝CE，
∴CD＝CE＋CF；
答案图②
(3)如答案图③，连接OF，
∵∠AOE＝30°，∠AOD＝90°，
∴∠EOD＝90°＋30°＝120°，
∵三角形DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°，EF＝DE＝DF，
∴∠EOD＋∠EFD＝180°，
∴点E，O，D，F在同一个圆上，
∴∠DOF＝∠DEF＝60°，
在OF上截取OG＝OD，连接GD，
∵∠DOG＝60°，
∴△DOG是等边三角形，
∴OD＝OG＝DG，∠DOG＝∠OGD＝60°，
∴∠EDF＝∠ODG＝60°，
∴∠ODG＋∠EDG＝∠GOF＋∠EDG＝60°，
∴∠ODE＝∠GDF，
∵OD＝GD，ED＝FD，
∴△ODE≌△GDF(SAS)，
∴EO＝FG，
∵甲，乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里，
∴OD＋OE＝180海里，
由(2)的结论得FO＝OG＋FG＝OD＋OE＝180(海里)，
∴此时敌舰距指挥中心的距离为180海里．
答案图③
数学试卷 第页（共页）八上第十五章轴对称单元测基础过关卷（一）
学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________
全卷总分：120分 考试时间：120分钟
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
2.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．50° C．100° D．120°
3.下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．若x＞0，则x2＞0
4.在平面直角坐标系中，点P（－2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．(2，1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(2，－1)
5.如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与点Q之间的距离为4cm，双翼的边缘PC＝QD＝64cm，且与闸机侧立面的夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，闸机的通道宽度为(　　)
A.64cm B.68cm C.76cm D.88cm
6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，点E，连接AE，当AB＝5，BC＝9时，则△ABE的周长是（　　）
A．19 B．14 C．4 D．13
7.如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，连接BE，CD，BE与CD交于点O，且AD＝CE，则∠BOD的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
8.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
9.如图，在△ABC中，BC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为14，则△ABC的周长是（　　）
A．14 B．19 C．21 D．23
10.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC，垂足为E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本题共5小题，每题3分，共15分)
11.在△ABC中，∠B＝∠C，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 ．(写出一个即可)
12.我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，下图是一种常见的图案，这个图案有 条对称轴．
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，∠ABC＝80°，延长BC至点D，使DC＝CA，延长CB至点E，使BE＝BA，连接AD，AE，则∠DAE＝ °．
14.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP．若∠A＝50°，则∠BPC＝______．
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点．若BC＝5，△ABC的面积是30，则PB＋PH的最小值为 ．
三、解答题(本题共6小题，共75分)
16.在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，∠B＝40°．
(1)求∠BAD的度数；
(2)求证：AE＝DE．
17.四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）点A关于y轴对称的点的坐标为 ，点D关于x轴对称的点的坐标为 ；
（2）将点A，B，C，D的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，依次得到点E，F，G，H，用线段顺次连接起来，画出四边形EFGH，则四边形EFGH与四边形ABCD的位置关系为 ；
（3）求四边形EFGH的面积．
18.(1)观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：______，______；
(2)动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在(1)中发现的共同特征.
（图中网格均由边长为1的小正方形组成）
19.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F.
（1）求证：DB＝DE；
（2）若CF＝4，求△ABC的周长.
20.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AC＝12，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，连接BD．
（1）求证：BD⊥BC；
（2）求BD的长．
21.某数学社团的同学在研究三角形问题时发现：等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个内角都相等或者三条边都相等的三角形均为等边三角形．小明同学画了一个等边△ABC，并在AC边上取了一定点E(不与顶点重合)，现请你和他一起运用相关知识共同解决以下问题：
【问题发现】
(1)请在图①中画一个等边三角形CEF(点F在BC边上)；
【问题探究】
(2)如图②，点D为BC边上任一个点，连接DE，以DE为边在其右侧作等边△DEF，连接CF，试探究线段CF，CD，CE之间的数量关系；
【问题解决】
(3)如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(点O)北偏西30°的点E处，舰艇乙在指挥中心正东方向的点D处，两舰艇同时监测到敌舰在点F处，且D，E，F三点恰好构成一个等边三角形，若甲，乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里，求此时敌舰距指挥中心的距离．
数学试卷 第页（共页）

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