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九上第二十二章二次函数趋势培优卷（一）
时间:90分钟
一、选择题
1.抛物线y＝(2x＋1)2－3的顶点坐标是(　　)
A. (1，－3) B. (－ ，－3)
C. (－1，－3) D. ( ，－3)
1.B
【解析】利用顶点式求抛物线顶点坐标时，要注意括号内x的系数必须是1.由题意知：y＝(2x＋1)2－3＝4(x＋ )2－3，∴顶点坐标为(－ ，－3)．
2.若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　)
A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y1＞y2
2.A
【解析】∵二次函数的解析式为y＝x2，∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∵0＜1＜2，∴y1＜y2＜y3.
3.已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　)
A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2
3.C
【解析】∵二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，当x＝1时函数取得最小值，∴t－1≥1，解得t≥2，又∵当x＝－1时函数取得最大值，∴t－1≤3，解得t≤4，∴2≤t≤4，故选C.
4.抛物线C1：y＝x2－4x＋8和抛物线C2：y＝－x2－8x－18关于点P成中心对称，则点P坐标是(　　)
A. (1，1) B. (－1，1) C. (－1，－1) D. (－3，2)
4.B　
【解析】∵抛物线C1：y＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4，∴顶点为(2，4)，
∵抛物线C2：y＝－x2－8x－18＝－(x＋4)2－2，∴顶点为(－4，－2)，
∵抛物线C1和抛物线C2关于点P成中心对称，∴点P的坐标是两个顶点连线的中点，∴P(－1，1).
5.抛物线y＝ax2－2x＋1的对称轴为直线x＝－1.若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋3－m＝0(m为实数)在0≤x≤2的范围内总有实数根，则m的取值范围是(　　)
A. 2＜m≤4 B. 3≤m≤6 C. 4＜m≤6 D. 3≤m≤4
5.D　
【解析】∵抛物线y＝ax2－2x＋1的对称轴为直线x＝－1，∴－ ＝－1，即a＝－1.当关于x的一元二次方程－x2＋2x＋3－m＝0在0≤x≤2的范围内有实数根时，也就是二次函数y＝－x2＋2x＋3与y＝m的图象在0≤x≤2时有交点．对二次函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴当x＝1时，y取最大值4，当x＝0或x＝2时，y＝3，∴当0≤x≤2时，3≤y≤4.如解图，要使y＝－x2＋2x＋3与y＝m的图象在0≤x≤2的范围内总有交点，则3≤m≤4.
解图
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝ax＋b的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝ax＋b的图象可能是(　　)
6.A　
【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝ax＋b的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，∴c＞0，b＞0，对于A，B选项，当a＞0时，－ <0，∴二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象经过第一、二、三象限，故A选项正确，B选项不正确；对于C，D选项，当a<0时，－ ＞0，∴二次函数图象的对称轴在y轴右侧，一次函数图象经过第一、二、四象限，故C，D选项都不正确．
7.多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明显，受到大众的喜爱．如图，绳被甩至最高处时的形状满足抛物线y＝－ x2＋h，甩绳的两名同学两手之间的距离AB＝4，两人甩绳之手距地面的距离均为1.6m，则绳的最高点与地面之间的距离为(　　)
A.1m B.1.6m C.2.6m D.3.6m
7.C　
【解析】∵AB＝4，∴OA＝OB＝2，∴B(2，0)，将B(2，0)代入y＝－ x2＋h，得0＝－ ×22＋h，解得h＝1.∵1＋1.6＝2.6，∴绳的最高点与地面之间的距离为2.6m.
8.已知抛物线C1：y＝3x2－6x＋1，抛物线C2是由抛物线C1向右平移4个单位长度得到的，那么我们可以得到抛物线C1和抛物线C2一定关于某条直线对称，则这条直线为(　　)
A.x＝ B.x＝3
C.x＝2 D.x＝
8.B
【解析】∵y＝3x2－6x＋1＝3(x－1)2－2，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，－2)，根据平移的性质得，抛物线C2的顶点坐标为(5，－2)，∵点(1，－2)和点(5，－2)关于直线x＝3对称，∴抛物线C1，C2一定关于直线x＝3对称．
9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，BC＝4 ，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒 个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC，BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是(　　)
9.B
【解析】如解图①，设EH与FG所在的直线分别交AB于点I，K，①当EF＞IE 时，∵直线MN沿BC方向以每秒 个单位长度的速度平移，∴IE＝FK＝ t，∵AB＝4，BC＝4 ，∴∠BAO＝60°，∴AI＝BK＝t，则IK＝4－2t，∴EF＝4－2t，∴S＝EF·IE＝(4－2t)· t＝－2 t2＋4 t，∵－2 ＜0，∴二次函数的图象开口向下，故A，D选项不符合题意，如解图②，当EF≤IE时，正方形EFGH全部在△AOB内，此时S＝EF2＝(4－2t)2＝4t2－16t＋16，∵4＞0，∴二次函数的图象开口向上，故B选项符合题意．
10.若二次函数的解析式为y＝(x－2m)(x－2)(1≤m≤5)．若函数图象过点(p，q)和点(p＋4，q)，则q的取值范围是(　　)
A.－12≤q≤4 B.－5≤q≤0 C.－5≤q≤4 D.－12≤q≤3
10.A
【解析】∵二次函数的解析式为y＝(x－2m)(x－2)(1≤m≤5)．∴该函数的对称轴为直线x＝ ＝m＋1，∵函数过点(p，q)和点(p＋4，q)，∴ ＝m＋1，∴p＝m－1，∴q＝(m－1－2m)·(m－1－2)＝－(m－1)2＋4，∵1≤m≤5，∴当m＝1时，q取得最大值，最大值为4；当m＝5时，q取得最小值，最小值为－12，∴q的取值范围是－12≤q≤4.
二、填空题
11.请写出一个二次函数，其图象满足：①有最小值；②与y轴交于点(0，－5)，则这个二次函数的表达式可以是 ________．
11.y＝x2－5(答案不唯一)
【解析】设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.∵此二次函数有最小值，∴a＞0.∵抛物线与y轴的交点坐标为(0，－5)，
∴c＝－5，若取a＝1，b＝0时，则二次函数的解析式为y＝x2－5.
12.若抛物线y＝ax2－2ax＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于点B，则点B的坐标为 ．
12.(2，1)　
【解析】令x＝0，则y＝1，∴A(0，1)，∵－ ＝1，∴抛物线对称轴为直线x＝1.由题意得，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，∴点B的坐标为(2，1)．
13.在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2mx＋3－m2，则m的值是________．
13.
【解析】∵一条抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2mx＋3－m2＝－(x－m)2＋3，∴这条抛物线的顶点为(m，3)，∴关于y轴对称的抛物线的顶点为(－m，3)，∵它们的顶点相距8个单位长度．∴|m－(－m)|＝8，∴2m＝±8，当2m＝8时，m＝4；当2m＝－8时，m＝－4，∴m的值是－4或4.
14.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2 ；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2 的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为________．
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
14.①②④
【解析】由题意，将点(－4，0)，(－3，5)，(1，5)代入二次函数y＝ax2＋bx＋c中，得 ，解得 ，∴二次函数y＝－x2－2x＋8，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，结论①正确；当y＝9时，－x2－2x＋8＝9，解得x1＝x2＝－1，有两个相等的实数根，结论②正确；由表格知，当－4＜x＜1时，0＜y＜9，结论③错误；∵二次函数y＝－x2－2x＋8的对称轴为直线x＝－1，且 ＝－1，∴点(m，y1)，(－m－2，y2)关于对称轴对称，∴y1＝y2，结论④正确；由ax2＋(b＋1)x＋c＜2，得x2＋x－6＞0，∴x的取值范围为x＜－3或x＞2，结论⑤错误．
15.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P(0，0)，(1，1)，(－2，－2)，…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2＋7x＋c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(－3，－3)，则此二次函数的表达式为__________．
15.y＝x2＋7x＋9
【解析】设和谐点为(t，t)，把(t，t)代入y＝ax2＋7x＋c得at2＋7t＋c＝t，整理，得at2＋6t＋c＝0，∵t有且只有一个值，b2－4ac＝62－4ac＝0，即ac＝9，把(－3，－3)代入y＝ax2＋7x＋c，得9a－21＋c＝－3，即c＝18－9a，把c＝18－9a代入ac＝9得a(18－9a)＝9，解得a＝1，∴c＝9，∴此二次函数的表达式为y＝x2＋7x＋9.
三、解答题
16.已知y＝y1－y2，其中y1与2x2＋1成正比例，y2与x－2成正比例，且函数y的图象经过点(1，2)与点(2，9)．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)判断点A(0，－1)是否在函数y的图象上，并说明理由．
16.解：(1)设y1＝k1(2x2＋1)(k1≠0)，y2＝k2(x－2)(k2≠0)，
则y＝y1－y2＝k1(2x2＋1)－k2(x－2)，
把(1，2)，(2，9)代入，
得
解得
则y＝2x2＋1＋(x－2)＝2x2＋x－1；
(2)点A(0，－1)在函数y的图象上．
理由如下：
把x＝0代入y＝2x2＋x－1中，得y＝－1，
∴点A(0，－1)在函数y的图象上．
17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－6mx＋9m－2(m＞0)．
(1)求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
(2)若抛物线与x轴的交点分别为P(x1，0)，Q(x2，0)，且PQ＝2，求抛物线的表达式．
17.(1)证明：由题可得b2－4ac＝36m2－4m·(9m－2)＝8m，
∵m＞0，∴b2－4ac＞0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；
(2)解：根据题意，x1，x2为方程mx2－6mx＋9m－2＝0的两根，
∴x1＋x2＝－ ＝6，x1x2＝ ，
∵|x1－x2|＝2，
∴(x1－x2)2＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝4，
∴62－4· ＝4，∴m＝2，
∴抛物线的表达式为y＝2x2－12x＋16.
18.某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数解析式为：y1＝5x；成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中( ， )是其顶点．
(1)求出成本y2关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(注：利润＝销售额－成本)
18.解：(1)∵点( ， )是抛物线的顶点，
∴设成本y2关于销售量x的函数解析式为y2＝a(x－ )2＋ ，
把(2，4)代入可得： a＋ ＝4，解得a＝1，
∴成本y2关于销售量x的函数解析式为y2＝(x－ )2＋ ；
(2)由图可知，当x＝ 时，y2最小值为 ，
∵0.4＜ ＜3.5，∴y1＝5x＝5× ＝ ，
∴利润y1－y2＝ － ＝ ＝0.75，
∴当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元；
(3)设销售利润为W万元，
则W＝y1－y2
＝5x－[(x－ )2＋ ]＝－x2＋6x－2
＝－(x－3)2＋7，(10分)
∵－1＜0，0.4≤x≤3.5，∴当x＝3时，W最大值＝7，
答：当销售量是3吨时所获利润最大，最大利润是7万元．
19.小白根据学习函数的经验，对函数y＝x|x－2|－3的图象与性质进行了探究．
下面是小白的探究过程，请补充完整：
(1)下表是x与y的对应值．请直接写出：m＝______，n＝______；
x … －1 0 1 2 3 4 …
y … －6 m －2 －3 n 5 …
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：若函数y＝x|x－2|－3与直线y＝b有3个交点，请直接写出b的取值范围．
19.解：(1)－3，0；
(2)描点，画出函数图象如解图；
解图
(3)由图象可知，－320.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P是直线l上一点，点Q是抛物线上一点，当△CPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．
20.解：(1)将点A(－3，0)，B(1，0)代入，得 解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x－3；
(2)∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴设点P的坐标为(－1，p)．
如解图，当点Q在抛物线的对称轴右侧时，分别过点C，Q作CM⊥l于点M，QN⊥l于点N，则∠CPM＋∠PCM＝90°.
∵∠CPQ＝90°，∴∠CPM＋∠QPN＝90°，∴∠PCM＝∠QPN.
在△PCM和△QPN中，
∴△PCM≌△QPN(AAS)，∴QN＝PM＝3＋p，PN＝CM＝1，
∴点Q的坐标为(2＋p，1＋p)．
将点Q(2＋p，1＋p)代入y＝x2＋2x－3中，得(2＋p)2＋2(2＋p)－3＝1＋p，
解得p＝－1或p＝－4(舍去)，∴点Q的坐标为(1，0)；
当点Q在抛物线对称轴左侧时，同理可得，点Q的坐标为(－2，－3)；
如解图，当点Q在抛物线对称轴上时，P(－1，－3)，C(0，－3)，抛物线顶点坐标为(－1，－4)，此时存在点Q为顶点坐标(－1，－4)，使得△CPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．
综上所述，点Q的坐标为(1，0)或(－2，－3)或(－1，－4)．
解图
21.如图1是一座悬索桥，图2是其侧面示意图，其钢绳可近似为一条抛物线，已知主桥面AB的长约为1 200m，桥墩AC，BD的高约为113m，点E是抛物线的最低点，距离桥面5m.
图1 图2
(1)以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)从抛物线的顶点E处开始，每相隔6m有一条垂直于桥面的吊索，根据技术要求，对于悬吊长度大于32m的吊索(且桥墩AC，BD处存在吊索)，在悬吊长度的中央设置减振架，求需要设置减振架的吊索数量．
21.解：(1)以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系如解图，
由题意可知，OE＝5，OB＝ ＝600，BD＝113，∴E(0，5)，D(600，113)，
设抛物线解析式为y＝ax2＋c(a≠0)，
将E，D两点坐标代入，得 ，解得 ，
∴此抛物线的解析式为y＝ x2＋5；
解图
(2)将y＝32代入抛物线解析式中，
得 x2＋5＝32，解得x1＝300，x2＝－300，
∵600－300＝300m，
∴抛物线从300m右侧处开始吊索长度大于32m，
∴ ×2＝100(条)，
答：有100条吊索需要设置减振架．
22.已知，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与直线y＝x－3交于B，C两点，点A在点B左边．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)点P为抛物线上一动点，当∠PBC＝15°时，求直线BP的表达式．
22.解：(1)令x2－2x－3＝0，
∴(x＋1)(x－3)＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∵点A在点B左边，
∴A(－1，0)，B(3，0)，
令x2－2x－3＝x－3，
∴x(x－3)＝0，
∴x1＝0，x2＝3，
∴C(0，－3)；
(2)设直线BP与y轴交于点G，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°.
(ⅰ)如解图，当点P1在直线BC上方时，直线BP1交y轴于点G1，
∵∠P1BC＝15°，∴∠OBG1＝30°，OB＝3，
∴在Rt△OBG1中，OG1＝ ，
∴点G1的坐标为(0，－ )，
设直线BP1的表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，
∵直线BP1经过点B(3，0)，G1(0，－ )，
∴ ，解得 ，
∴y＝ x－ ；
(ⅱ)如解图，当点P2在直线BC下方时，直线BP2交y轴于点G2，
∵∠P2BC＝15°，∴∠OBG2＝60°，
在Rt△OBG2中，OB＝3，
∴OG2＝3 ，
∴点G2的坐标为(0，－3 )，
设直线BP2的表达式为y＝k2x＋b2(k2≠0)，
∵直线BP2经过点B(3，0)，G2(0，－3 )，
∴ ，解得 ，
∴y＝ x－3 .
∴综上所述，直线BP表达式为y＝ x－ 或y＝ x－3 .
解图
数学试卷 第页（共页）九上第二十二章二次函数趋势培优卷（一）
详解详析
一、选择题
1.B
【解析】利用顶点式求抛物线顶点坐标时，要注意括号内x的系数必须是1.由题意知：y＝(2x＋1)2－3＝4(x＋ )2－3，∴顶点坐标为(－ ，－3)．
2.A
【解析】∵二次函数的解析式为y＝x2，∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∵0＜1＜2，∴y1＜y2＜y3.
3.C
【解析】∵二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，当x＝1时函数取得最小值，∴t－1≥1，解得t≥2，又∵当x＝－1时函数取得最大值，∴t－1≤3，解得t≤4，∴2≤t≤4，故选C.
4.B　
【解析】∵抛物线C1：y＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4，∴顶点为(2，4)，
∵抛物线C2：y＝－x2－8x－18＝－(x＋4)2－2，∴顶点为(－4，－2)，
∵抛物线C1和抛物线C2关于点P成中心对称，∴点P的坐标是两个顶点连线的中点，∴P(－1，1).
5.D　
【解析】∵抛物线y＝ax2－2x＋1的对称轴为直线x＝－1，∴－ ＝－1，即a＝－1.当关于x的一元二次方程－x2＋2x＋3－m＝0在0≤x≤2的范围内有实数根时，也就是二次函数y＝－x2＋2x＋3与y＝m的图象在0≤x≤2时有交点．对二次函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴当x＝1时，y取最大值4，当x＝0或x＝2时，y＝3，∴当0≤x≤2时，3≤y≤4.如解图，要使y＝－x2＋2x＋3与y＝m的图象在0≤x≤2的范围内总有交点，则3≤m≤4.
解图
6.A　
【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝ax＋b的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，∴c＞0，b＞0，对于A，B选项，当a＞0时，－ <0，∴二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象经过第一、二、三象限，故A选项正确，B选项不正确；对于C，D选项，当a<0时，－ ＞0，∴二次函数图象的对称轴在y轴右侧，一次函数图象经过第一、二、四象限，故C，D选项都不正确．
7.C　
【解析】∵AB＝4，∴OA＝OB＝2，∴B(2，0)，将B(2，0)代入y＝－ x2＋h，得0＝－ ×22＋h，解得h＝1.∵1＋1.6＝2.6，∴绳的最高点与地面之间的距离为2.6m.
8.B
【解析】∵y＝3x2－6x＋1＝3(x－1)2－2，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，－2)，根据平移的性质得，抛物线C2的顶点坐标为(5，－2)，∵点(1，－2)和点(5，－2)关于直线x＝3对称，∴抛物线C1，C2一定关于直线x＝3对称．
9.B
【解析】如解图①，设EH与FG所在的直线分别交AB于点I，K，①当EF＞IE 时，∵直线MN沿BC方向以每秒 个单位长度的速度平移，∴IE＝FK＝ t，∵AB＝4，BC＝4 ，∴∠BAO＝60°，∴AI＝BK＝t，则IK＝4－2t，∴EF＝4－2t，∴S＝EF·IE＝(4－2t)· t＝－2 t2＋4 t，∵－2 ＜0，∴二次函数的图象开口向下，故A，D选项不符合题意，如解图②，当EF≤IE时，正方形EFGH全部在△AOB内，此时S＝EF2＝(4－2t)2＝4t2－16t＋16，∵4＞0，∴二次函数的图象开口向上，故B选项符合题意．
10.A
【解析】∵二次函数的解析式为y＝(x－2m)(x－2)(1≤m≤5)．∴该函数的对称轴为直线x＝ ＝m＋1，∵函数过点(p，q)和点(p＋4，q)，∴ ＝m＋1，∴p＝m－1，∴q＝(m－1－2m)·(m－1－2)＝－(m－1)2＋4，∵1≤m≤5，∴当m＝1时，q取得最大值，最大值为4；当m＝5时，q取得最小值，最小值为－12，∴q的取值范围是－12≤q≤4.
二、填空题
11.y＝x2－5(答案不唯一)
【解析】设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.∵此二次函数有最小值，∴a＞0.∵抛物线与y轴的交点坐标为(0，－5)，
∴c＝－5，若取a＝1，b＝0时，则二次函数的解析式为y＝x2－5.
12.(2，1)　
【解析】令x＝0，则y＝1，∴A(0，1)，∵－ ＝1，∴抛物线对称轴为直线x＝1.由题意得，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，∴点B的坐标为(2，1)．
13.
【解析】∵一条抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2mx＋3－m2＝－(x－m)2＋3，∴这条抛物线的顶点为(m，3)，∴关于y轴对称的抛物线的顶点为(－m，3)，∵它们的顶点相距8个单位长度．∴|m－(－m)|＝8，∴2m＝±8，当2m＝8时，m＝4；当2m＝－8时，m＝－4，∴m的值是－4或4.
14.①②④
【解析】由题意，将点(－4，0)，(－3，5)，(1，5)代入二次函数y＝ax2＋bx＋c中，得 ，解得 ，∴二次函数y＝－x2－2x＋8，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，结论①正确；当y＝9时，－x2－2x＋8＝9，解得x1＝x2＝－1，有两个相等的实数根，结论②正确；由表格知，当－4＜x＜1时，0＜y＜9，结论③错误；∵二次函数y＝－x2－2x＋8的对称轴为直线x＝－1，且 ＝－1，∴点(m，y1)，(－m－2，y2)关于对称轴对称，∴y1＝y2，结论④正确；由ax2＋(b＋1)x＋c＜2，得x2＋x－6＞0，∴x的取值范围为x＜－3或x＞2，结论⑤错误．
15.y＝x2＋7x＋9
【解析】设和谐点为(t，t)，把(t，t)代入y＝ax2＋7x＋c得at2＋7t＋c＝t，整理，得at2＋6t＋c＝0，∵t有且只有一个值，b2－4ac＝62－4ac＝0，即ac＝9，把(－3，－3)代入y＝ax2＋7x＋c，得9a－21＋c＝－3，即c＝18－9a，把c＝18－9a代入ac＝9得a(18－9a)＝9，解得a＝1，∴c＝9，∴此二次函数的表达式为y＝x2＋7x＋9.
三、解答题
16.解：(1)设y1＝k1(2x2＋1)(k1≠0)，y2＝k2(x－2)(k2≠0)，
则y＝y1－y2＝k1(2x2＋1)－k2(x－2)，
把(1，2)，(2，9)代入，
得
解得
则y＝2x2＋1＋(x－2)＝2x2＋x－1；
(2)点A(0，－1)在函数y的图象上．
理由如下：
把x＝0代入y＝2x2＋x－1中，得y＝－1，
∴点A(0，－1)在函数y的图象上．
17.(1)证明：由题可得b2－4ac＝36m2－4m·(9m－2)＝8m，
∵m＞0，∴b2－4ac＞0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；
(2)解：根据题意，x1，x2为方程mx2－6mx＋9m－2＝0的两根，
∴x1＋x2＝－ ＝6，x1x2＝ ，
∵|x1－x2|＝2，
∴(x1－x2)2＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝4，
∴62－4· ＝4，∴m＝2，
∴抛物线的表达式为y＝2x2－12x＋16.
18.解：(1)∵点( ， )是抛物线的顶点，
∴设成本y2关于销售量x的函数解析式为y2＝a(x－ )2＋ ，
把(2，4)代入可得： a＋ ＝4，解得a＝1，
∴成本y2关于销售量x的函数解析式为y2＝(x－ )2＋ ；
(2)由图可知，当x＝ 时，y2最小值为 ，
∵0.4＜ ＜3.5，∴y1＝5x＝5× ＝ ，
∴利润y1－y2＝ － ＝ ＝0.75，
∴当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元；
(3)设销售利润为W万元，
则W＝y1－y2
＝5x－[(x－ )2＋ ]＝－x2＋6x－2
＝－(x－3)2＋7，(10分)
∵－1＜0，0.4≤x≤3.5，∴当x＝3时，W最大值＝7，
答：当销售量是3吨时所获利润最大，最大利润是7万元．
19.解：(1)－3，0；
(2)描点，画出函数图象如解图；
解图
(3)由图象可知，－320.解：(1)将点A(－3，0)，B(1，0)代入，得 解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x－3；
(2)∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴设点P的坐标为(－1，p)．
如解图，当点Q在抛物线的对称轴右侧时，分别过点C，Q作CM⊥l于点M，QN⊥l于点N，则∠CPM＋∠PCM＝90°.
∵∠CPQ＝90°，∴∠CPM＋∠QPN＝90°，∴∠PCM＝∠QPN.
在△PCM和△QPN中，
∴△PCM≌△QPN(AAS)，∴QN＝PM＝3＋p，PN＝CM＝1，
∴点Q的坐标为(2＋p，1＋p)．
将点Q(2＋p，1＋p)代入y＝x2＋2x－3中，得(2＋p)2＋2(2＋p)－3＝1＋p，
解得p＝－1或p＝－4(舍去)，∴点Q的坐标为(1，0)；
当点Q在抛物线对称轴左侧时，同理可得，点Q的坐标为(－2，－3)；
如解图，当点Q在抛物线对称轴上时，P(－1，－3)，C(0，－3)，抛物线顶点坐标为(－1，－4)，此时存在点Q为顶点坐标(－1，－4)，使得△CPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．
综上所述，点Q的坐标为(1，0)或(－2，－3)或(－1，－4)．
解图
21.解：(1)以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系如解图，
由题意可知，OE＝5，OB＝ ＝600，BD＝113，∴E(0，5)，D(600，113)，
设抛物线解析式为y＝ax2＋c(a≠0)，
将E，D两点坐标代入，得 ，解得 ，
∴此抛物线的解析式为y＝ x2＋5；
解图
(2)将y＝32代入抛物线解析式中，
得 x2＋5＝32，解得x1＝300，x2＝－300，
∵600－300＝300m，
∴抛物线从300m右侧处开始吊索长度大于32m，
∴ ×2＝100(条)，
答：有100条吊索需要设置减振架．
22.解：(1)令x2－2x－3＝0，
∴(x＋1)(x－3)＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∵点A在点B左边，
∴A(－1，0)，B(3，0)，
令x2－2x－3＝x－3，
∴x(x－3)＝0，
∴x1＝0，x2＝3，
∴C(0，－3)；
(2)设直线BP与y轴交于点G，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°.
(ⅰ)如解图，当点P1在直线BC上方时，直线BP1交y轴于点G1，
∵∠P1BC＝15°，∴∠OBG1＝30°，OB＝3，
∴在Rt△OBG1中，OG1＝ ，
∴点G1的坐标为(0，－ )，
设直线BP1的表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，
∵直线BP1经过点B(3，0)，G1(0，－ )，
∴ ，解得 ，
∴y＝ x－ ；
(ⅱ)如解图，当点P2在直线BC下方时，直线BP2交y轴于点G2，
∵∠P2BC＝15°，∴∠OBG2＝60°，
在Rt△OBG2中，OB＝3，
∴OG2＝3 ，
∴点G2的坐标为(0，－3 )，
设直线BP2的表达式为y＝k2x＋b2(k2≠0)，
∵直线BP2经过点B(3，0)，G2(0，－3 )，
∴ ，解得 ，
∴y＝ x－3 .
∴综上所述，直线BP表达式为y＝ x－ 或y＝ x－3 .
解图
数学试卷 第页（共页）九上第二十二章二次函数趋势培优卷（一）
时间:90分钟
一、选择题
1.抛物线y＝(2x＋1)2－3的顶点坐标是(　　)
A. (1，－3) B. (－ ，－3)
C. (－1，－3) D. ( ，－3)
2.若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　)
A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y1＞y2
3.已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　)
A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2
4.抛物线C1：y＝x2－4x＋8和抛物线C2：y＝－x2－8x－18关于点P成中心对称，则点P坐标是(　　)
A. (1，1) B. (－1，1) C. (－1，－1) D. (－3，2)
5.抛物线y＝ax2－2x＋1的对称轴为直线x＝－1.若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋3－m＝0(m为实数)在0≤x≤2的范围内总有实数根，则m的取值范围是(　　)
A. 2＜m≤4 B. 3≤m≤6 C. 4＜m≤6 D. 3≤m≤4
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝ax＋b的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝ax＋b的图象可能是(　　)
7.多人花样跳绳形式多样、对场地要求低、操作简单、健身效果明显，受到大众的喜爱．如图，绳被甩至最高处时的形状满足抛物线y＝－ x2＋h，甩绳的两名同学两手之间的距离AB＝4，两人甩绳之手距地面的距离均为1.6m，则绳的最高点与地面之间的距离为(　　)
A.1m B.1.6m C.2.6m D.3.6m
8.已知抛物线C1：y＝3x2－6x＋1，抛物线C2是由抛物线C1向右平移4个单位长度得到的，那么我们可以得到抛物线C1和抛物线C2一定关于某条直线对称，则这条直线为(　　)
A.x＝ B.x＝3
C.x＝2 D.x＝
9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，BC＝4 ，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒 个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC，BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是(　　)
10.若二次函数的解析式为y＝(x－2m)(x－2)(1≤m≤5)．若函数图象过点(p，q)和点(p＋4，q)，则q的取值范围是(　　)
A.－12≤q≤4 B.－5≤q≤0 C.－5≤q≤4 D.－12≤q≤3
二、填空题
11.请写出一个二次函数，其图象满足：①有最小值；②与y轴交于点(0，－5)，则这个二次函数的表达式可以是 ________．
12.若抛物线y＝ax2－2ax＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于点B，则点B的坐标为 ．
13.在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2mx＋3－m2，则m的值是________．
14.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2 ；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2 的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为________．
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
15.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P(0，0)，(1，1)，(－2，－2)，…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2＋7x＋c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(－3，－3)，则此二次函数的表达式为__________．
三、解答题
16.已知y＝y1－y2，其中y1与2x2＋1成正比例，y2与x－2成正比例，且函数y的图象经过点(1，2)与点(2，9)．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)判断点A(0，－1)是否在函数y的图象上，并说明理由．
17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－6mx＋9m－2(m＞0)．
(1)求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
(2)若抛物线与x轴的交点分别为P(x1，0)，Q(x2，0)，且PQ＝2，求抛物线的表达式．
18.某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数解析式为：y1＝5x；成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中( ， )是其顶点．
(1)求出成本y2关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(注：利润＝销售额－成本)
19.小白根据学习函数的经验，对函数y＝x|x－2|－3的图象与性质进行了探究．
下面是小白的探究过程，请补充完整：
(1)下表是x与y的对应值．请直接写出：m＝______，n＝______；
x … －1 0 1 2 3 4 …
y … －6 m －2 －3 n 5 …
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：若函数y＝x|x－2|－3与直线y＝b有3个交点，请直接写出b的取值范围．
20.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P是直线l上一点，点Q是抛物线上一点，当△CPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．
21.如图1是一座悬索桥，图2是其侧面示意图，其钢绳可近似为一条抛物线，已知主桥面AB的长约为1 200m，桥墩AC，BD的高约为113m，点E是抛物线的最低点，距离桥面5m.
图1 图2
(1)以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)从抛物线的顶点E处开始，每相隔6m有一条垂直于桥面的吊索，根据技术要求，对于悬吊长度大于32m的吊索(且桥墩AC，BD处存在吊索)，在悬吊长度的中央设置减振架，求需要设置减振架的吊索数量．
22.已知，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与直线y＝x－3交于B，C两点，点A在点B左边．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)点P为抛物线上一动点，当∠PBC＝15°时，求直线BP的表达式．
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