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九上第二十三章旋转趋势培优卷（一）
建议时长:90分钟
一、选择题
1.在下列现象中，属于旋转的是(　　)
A. 火车驶向远方 B. 风筝在天空中摇曳 C. 风车转动的过程 D. 冰块沿着滑梯滑下
1.C
2.云纹指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列云纹图案中，是中心对称图形的是(　　)
2.B
【解析】A是轴对称图形；B既是轴对称图形也是中心对称图形；C既不是轴对称图形也不是中心对称图形；D是轴对称图形．
3.美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3.C
【解析】∵360°÷6＝60°，
∴旋转角是60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60°，
4.在平面直角坐标系中，已知点A，C关于点B成中心对称，且A(2，3)，B(－1，2)，则点C的坐标为(　　)
A. (－4，1) B. (1， )
C. (－2，－3) D. (－ ， )
4.A
【解析】∵点A，C关于点B成中心对称，且A(2，3)，B(－1，2)，∴设点C的坐标为(a，b)，则 ＝－1， ＝2，解得a＝－4，b＝1，∴C(－4，1)．
5.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且D，B，C三点共线，若BE恰好平分∠ABC，∠D＝25°，则∠C的度数为(　　)
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
5.B
【解析】∵△DBE由△ABC旋转得到，∴∠DBE＝∠ABC，∵∠DBE＝∠ABD＋∠ABE，∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，∴∠ABD＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABD，∵∠ABD＋∠ABE＋∠CBE＝180°，∴∠ABD＝60°，∵∠A＝∠D＝25°，又∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD＝∠A＋∠C，∴∠C＝60°－25°＝35°.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在边BC上，连接AD，AE，∠DAE＝60°，将△AEC绕点A顺时针旋转到△AFB的位置，连接FD.若CD＝4，CE＝2，则线段FD的长度为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
6.B
【解析】∵△AFB是通过△AEC旋转得到的，∴△AFB≌△AEC，∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE.∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD＋∠CAE＝120°－60°＝60°，∴∠BAD＋∠BAF＝60°，即∠FAD＝60°.在△ADF和△ADE中， ∴△ADF≌△ADE(SAS)，∴DF＝DE＝CD－CE＝4－2＝2.
7.如图为某市的一个休闲公园，形状为菱形，为了保护游客生命财产安全，在公园四个角上分别安装了摄像头，以摄像头A，C连线的中点O为原点建立平面直角坐标系来标记各个摄像头的位置，且AD∥x轴，若摄像头A记作(－10，20)，公园的面积为2000平方米，则摄像头D的坐标为(　　)
A. (30，20) B. (20，20)
C. (20 ，20) D. (40，20)
7.D　
【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵点A的坐标为(－10，20)，∴OA＝ ＝10 ，∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×20 ·BD＝2000，∴BD＝40 ，即BO＝20 ，在Rt△AOB中，AB＝ ＝ ＝50，∴AD＝AB＝50，∴摄像头D的横坐标为50－10＝40，∴摄像头D的坐标为(40，20)．
解图　　
8.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝ ，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，延长BC至点D，使得BD＝AB，连接A′D.若A′D＝AB，则线段BC的长为(　　)
A. B.
C. 1 D.
8.C　
【解析】方法一：如解图①，连接BB′，由旋转的性质，得∠B′CB＝∠A′B′C＝90°，∴A′B′∥BD，∵BD＝AB，由旋转的性质，得A′B′＝AB，∴BD＝A′B′，∴四边形A′B′BD为平行四边形，又∵A′D＝AB＝BD，∴A′D＝BD＝ ，∴四边形A′B′BD为菱形，BB′＝ ，由旋转的性质，得BC＝B′C，∠BCB′＝90°，∴△BCB′为等腰直角三角形，BC＝ BB′＝1.
方法二：如解图②，过点A′作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，由旋转的性质，得AC＝A′C，∠ACA′＝90°，∴∠A′CE＋∠ACB＝90°.∵∠B＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠A＝∠A′CE，∵∠B＝∠CEA′＝90°，∴△ABC≌△CEA′(AAS)，∴AB＝CE，BC＝EA′.∵AB＝BD＝CE，∴BC＝DE＝EA′，∴△A′ED是等腰直角三角形，∵A′D＝AB＝ ，∴BC＝EA′＝DE＝1.
解图
9.如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G.则 的值为(　　)
A. B.
C. D.
9.A
【解析】如解图，过点F作DC的垂线交DC延长线于点H，则∠H＝90°，由旋转性质可知EA＝EF，∠AEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，DC∥AB，DA＝DC＝BC，设DA＝DC＝BC＝1，∵∠AEH＝∠1＋∠AEF＝∠2＋∠D，∴∠1＝∠2，∴△ADE≌△EHF(AAS)，∴DE＝HF，AD＝EH＝1，设DE＝HF＝x，则CE＝DC－DE＝1－x，∴CH＝EH－EC＝1－(1－x)＝x，∴HF＝CH＝x，∵∠H＝90°，∴∠HCF＝45°，∴CF＝ x，∵DC∥AB，∴∠HCF＝∠G＝45°，∴CG＝ BC＝ ，∴FG＝CG－CF＝ － x＝ (1－x)，∴ ＝ ＝ .
解图
10.如图，将正方形ABCD绕点D顺时针旋转得到正方形EFGD，点A，B，C的对应点分别为E，F，G，点F恰好在DC的延长线上时，连接AG交CD于点S，则下列结论一定正确的是(　　)
A. ∠ADG＝150° B. AG⊥CD C. AG＝2AD D. DF＝GD＋CF
10.D　
【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A 由题意知DF是正方形DEFG的一条对角线，∴∠FDG＝45° .∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝90° ，∴∠ADG＝∠ADC＋∠CDG＝135° .故∠ADG＝150° ×
B 由旋转的性质，得CD＝GD，∴AD＝GD.∴∠GAD＝∠AGD＝ ＝22.5°，∴∠ASD＝67.5° ≠90°.故AG⊥CD ×
C ∵AD＝GD，AD＋GD>AG，∴2AD>AG，故AG＝2AD ×
D 由旋转的性质，得GD＝CD.∵DF＝CD＋CF，∴DF＝GD＋CF.故选项D正确 √
二、填空题
11.在校文艺晚会上，小亮准备了一个小魔术，他把4张扑克牌按图①的位置摆放，邀请一位同学上台，他戴上眼罩，同学任选其中一张牌旋转180°后再放回原处，小亮摘掉眼罩后，看到的是图②的摆放形式，他迅速找出了被旋转的牌．根据牌面显示，被旋转的扑克牌牌面数字是 .
11.10
12.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，点E恰为BC的中点，若AB＝5，则BD的长度为 ．
12.10
【解析】由旋转的性质知BD＝BC，BE＝AB＝5，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝5，∴BC＝BE＋CE＝10，∴BD＝10.
13.如图，在△ABC中，∠C＝25°，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△ADE，连接BD交AE于点F，若DE∥AB，则∠AFD的度数为 ．
13.75°　
【解析】由旋转可得∠E＝∠C＝25°，∠CAE＝∠BAD＝80°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝50°，∵DE∥AB，∴∠BAE＝∠E＝25°，∴∠AFD＝∠ABF＋∠BAE＝50°＋25°＝75°.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么这个对称中心的坐标为________．
14.
【解析】如解图，连接AA′，BB′，CC′，交于点(0，－1)，此点即为对称中心．
解图
15.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCD＝45°，AD∥BC，将DC绕点D逆时针旋转90°到DC′，连接CC′、AC′，若AD＝3，△ADC′的面积等于6，则BC的长为________．
15.7
【解析】如解图，延长AD交CC′于点E，由题意得△CC′D为等腰直角三角形，∴∠DCC′＝45°，∵∠B＝90°，∠BCD＝45°，AD∥BC，∴∠BCC′＝90°，∠BAE＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴BC＝AE，AE⊥CC′，∵S△ADC′＝ AD·EC′＝6，AD＝3，∴EC′＝4.又∵△CDC′为等腰直角三角形，∴DE＝CE＝C′E＝4，∴AE＝AD＋DE＝3＋4＝7，∴BC＝AE＝7.
解图
三、解答题
16.已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1.
16.解：如解图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(－2，－1);
解：如解图所示，△A2B2C1即为所求．
解图
17.如图，在△ABC中，已知AB＝CB，点D是△ABC内一点，连接BD，CD，将BD绕点B逆时针旋转得到线段BE，且∠DBE＝∠ABC，连接AE，求证：AE＝CD.
17.证明：由旋转的性质可知BE＝BD.
∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠ABD＝∠DBE－∠ABD，即∠CBD＝∠ABE.
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.
18.如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、点B、点O均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)．
(1)作点A关于点O的对称点A1；
(2)连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
(3)连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
18.解：(1)如解图所示，点A关于点O的对称点A1即为所求；
(2)如解图所示，连接A1B，画出线段A1B1即为所求；
(3)如解图所示，连接BB1，过点A作AE⊥BB1于点E，过点A1作A1F ⊥BB1于点F.
S四边形ABA1B1＝S△ABB1＋S△A1BB1＝ BB1·AE＋ BB1·A1F＝ ×8×2＋ ×8×4＝24，
∴四边形ABA1B1的面积是24.
解图
19.如图，P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝4，以点B为旋转中心，将线段BP按顺时针方向旋转90°至BG，点P的对应点G恰好在AP的延长线上，连接CG，PC.
(1)求证：GC＝AP；
(2)求PC的长．
19.(1)证明：∵以点B为旋转中心，将线段BP按顺时针方向旋转90°至BG，四边形ABCD是正方形，
∴BP＝BG，∠PBG＝90°＝∠ABC，AB＝CB，
∴∠ABC－∠PBC＝∠PBG－∠PBC，
即∠ABP＝∠CBG，
在△ABP和△CBG中，
∴△ABP≌△CBG(SAS)，
∴GC＝AP；
(2)解：∵BP＝BG＝4，∠PBG＝90°，
∴∠BPG＝∠BGP＝45°，PG＝ BP＝4 ，
∴∠APB＝135°，
由(1)知△ABP≌△CBG，
∴∠APB＝∠CGB＝135°，AP＝GC＝2，
∴∠PGC＝∠CGB－∠BGP＝135°－45°＝90°，
∴在Rt△PCG中，PC＝ ＝ ＝6.
20.如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转，使点A的对应点A1落在边DC上(点A，C，D的对应点分别是A1，C1，D1)．
(1)求DA1的长；
(2)如图②，延长DC交C1D1于点E，试判断BA1和A1E的数量关系，并说明理由．
20.解：(1)由旋转的性质，得A1B＝AB＝8.
在△A1BC中，A1B＝8，BC＝6，∴A1C＝ ＝ ＝2 .
∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝8，∴DA1＝CD－A1C＝8－2 ；
(2)BA1＝A1E.理由如下：
∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，∴AD＝A1D1＝BC，∠A1CB＝∠D1＝90°，A1B∥C1D1，∴∠CA1B＝∠D1EA1.
在△BCA1和△A1D1E中，
，∴△BCA1≌△A1D1E(AAS)．∴BA1＝A1E.
21.我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图①，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE 　　（选择是或不是）等补四边形．
（2）如图②，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝6，求BD的长．
（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝4，求四边形ABCD面积的最大值．
21.（1）是；
（2）解：如答案图①，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，
∴∠BAD＝∠BCG，BD＝BG，∠DBG＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠BCG＝180°，
∴D、C、G三点共线，
∵S四边形ABCD＝6，
∴S△BDG＝6，
∴ BD2＝6，
∴BD＝ （负值舍去）；
答案图①
（3）解：∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，如答案图②，
∴BD＝BE＝4，∠BAE＝∠C，S△ABE＝S△BCD，
∵∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝180°，
∴A、D、E三点共线，
∴S四边形ABCD＝S△BDE，
当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，为S△BDE＝ ＝8．则四边形ABCD面积的最大值为8．
答案图②
【解析】由旋转得，AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴四边形ADCE是等补四边形．
22.如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，P为△ABC内一点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转α得到AQ，连接BQ，BP，PC.
(1)若α＝60°，∠BPC＝150°，求∠QBP的度数；
(2)若点P为△ABC的外心，求证：四边形AQBP是菱形；
(3)如图②，若D为BC的中点，连接PD，PQ，当∠QBA＝∠PBC时，给出下列结论：①PD＝ PQ；②∠APC＋∠BPD＝180°；③PQ＝BP，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明.
22.(1)解：∵∠QAP＝∠BAC＝α，∴∠QAB＝∠PAC.
在△QAB和△PAC中， ，∴△QAB≌△PAC(SAS)，∴∠QBA＝∠PCA.
∵∠BPC＝∠ABP＋∠BAC＋∠ACP，α＝60°，∠BPC＝150°，∴∠ABP＋∠ACP＝∠BPC－∠BAC＝150°－60°＝90°，∴∠QBP＝∠QBA＋∠ABP＝∠PCA＋∠ABP＝90°；
(2)证明：∵点P为△ABC的外心，∴AP＝BP＝PC.
由(1)得，△QAB≌△PAC，∴BQ＝PC.
∵AQ＝AP，∴AQ＝AP＝BQ＝BP，∴四边形AQBP为菱形；
(3)证明：①、②正确．
选择结论①：
解法一：如解图①，过点B作BG∥PC交PD的延长线于点G.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
∵BG∥PC，∴∠DBG＝∠DCP，∠G＝∠DPC，∴△BDG≌△CDP(AAS)，∴BG＝CP，PD＝DG＝ PG.
由(1)得，△QAB≌△PAC，∴BQ＝PC，∠QBA＝∠PCA，∴BG＝BQ.
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBA＝∠PBC＝∠PCA.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABP＝∠PCB，∴∠ABP＝∠DBG，∴∠QBP＝∠GBP.
∵BP＝BP，∴△QBP≌△GBP(SAS)，∴PQ＝PG，∴PD＝ PQ，即结论正确．
解法二：如解图②，延长BP至点G，使得BP＝PG，连接CG.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
∵BP＝PG，∴PD∥CG，PD＝ CG，∴∠BPD＝∠G，
由(1)得，△QAB≌△PAC，∴BQ＝PC，∠QBA＝∠PCA，
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBA＝∠PCA＝∠PBC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABP＝∠PCB.
∵∠GPC＝∠PBC＋∠PCB，∴∠QBP＝∠GPC，∴△QBP≌△CPG(SAS)，∴PQ＝CG，∴PD＝ PQ，即结论①正确．
选择结论②：
解法一：如解图③，过点B作BG∥PC交PD的延长线于点G.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
∵BG∥PC，∴∠DBG＝∠DCP，∠G＝∠DPC，∴△BDG≌△CDP(AAS)，∴BG＝CP，
由(1)得，△QAB≌△PAC，∴BQ＝PC，∠QBA＝∠PCA，∠AQB＝∠APC，∴BG＝BQ.
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBA＝∠PBC＝∠PCA.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABP＝∠PCB，∴∠ABP＝∠DBG，∴∠QBP＝∠GBP.
∵BP＝BP，∴△QBP≌△GBP(SAS)，∴∠BPD＝∠BPQ，
∵AQ＝AP，∴∠AQP＝∠APQ＝ (180°－∠QAP)．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝ (180°－∠BAC)，
∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠AQP＝∠APQ＝∠ABC＝∠ACB.
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBP＝∠ABC，∴∠AQP＝∠QBP，∴∠APC＋∠BPD＝∠APC＋∠BPQ＝∠AQB＋∠BPQ＝∠AQP＋∠BQP＋∠BPQ＝∠QBP＋∠BQP＋∠BPQ＝180°，即结论②正确．
解法二：
如解图④，延长BP至点G，使得BP＝PG，连接CG.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
∵BP＝PG，∴PD∥CG，PD＝ CG，∴∠BPD＝∠G，
由(1)得，△QAB≌△PAC，∴BQ＝PC，∠QBA＝∠PCA，∠AQB＝∠APC，
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBA＝∠PCA＝∠PBC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABP＝∠PCB.
∵∠GPC＝∠PBC＋∠PCB，∴∠QBP＝∠GPC，∴△QBP≌△CPG(SAS)，∴∠QPB＝∠G，∴∠BPD＝∠QPB.
∵AQ＝AP，∴∠AQP＝∠APQ＝ (180°－∠QAP)．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝ (180°－∠BAC)，
∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠AQP＝∠APQ＝∠ABC＝∠ACB.
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBP＝∠ABC，∴∠AQP＝∠QBP，∴∠APC＋∠BPD＝∠APC＋∠QPB＝∠AQB＋∠QPB＝∠AQP＋∠BQP＋∠QPB＝∠QBP＋∠BQP＋∠QPB＝180°，即结论②正确．
数学试卷 第页（共页）九上第二十三章旋转趋势培优卷（一）
建议时长:90分钟
一、选择题
1.在下列现象中，属于旋转的是(　　)
A. 火车驶向远方 B. 风筝在天空中摇曳 C. 风车转动的过程 D. 冰块沿着滑梯滑下
2.云纹指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列云纹图案中，是中心对称图形的是(　　)
3.美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.在平面直角坐标系中，已知点A，C关于点B成中心对称，且A(2，3)，B(－1，2)，则点C的坐标为(　　)
A. (－4，1) B. (1， )
C. (－2，－3) D. (－ ， )
5.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且D，B，C三点共线，若BE恰好平分∠ABC，∠D＝25°，则∠C的度数为(　　)
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在边BC上，连接AD，AE，∠DAE＝60°，将△AEC绕点A顺时针旋转到△AFB的位置，连接FD.若CD＝4，CE＝2，则线段FD的长度为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
7.如图为某市的一个休闲公园，形状为菱形，为了保护游客生命财产安全，在公园四个角上分别安装了摄像头，以摄像头A，C连线的中点O为原点建立平面直角坐标系来标记各个摄像头的位置，且AD∥x轴，若摄像头A记作(－10，20)，公园的面积为2000平方米，则摄像头D的坐标为(　　)
A. (30，20) B. (20，20)
C. (20 ，20) D. (40，20)
8.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝ ，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，延长BC至点D，使得BD＝AB，连接A′D.若A′D＝AB，则线段BC的长为(　　)
A. B.
C. 1 D.
9.如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G.则 的值为(　　)
A. B.
C. D.
10.如图，将正方形ABCD绕点D顺时针旋转得到正方形EFGD，点A，B，C的对应点分别为E，F，G，点F恰好在DC的延长线上时，连接AG交CD于点S，则下列结论一定正确的是(　　)
A. ∠ADG＝150° B. AG⊥CD C. AG＝2AD D. DF＝GD＋CF
二、填空题
11.在校文艺晚会上，小亮准备了一个小魔术，他把4张扑克牌按图①的位置摆放，邀请一位同学上台，他戴上眼罩，同学任选其中一张牌旋转180°后再放回原处，小亮摘掉眼罩后，看到的是图②的摆放形式，他迅速找出了被旋转的牌．根据牌面显示，被旋转的扑克牌牌面数字是 .
12.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，点E恰为BC的中点，若AB＝5，则BD的长度为 ．
13.如图，在△ABC中，∠C＝25°，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△ADE，连接BD交AE于点F，若DE∥AB，则∠AFD的度数为 ．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么这个对称中心的坐标为________．
15.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCD＝45°，AD∥BC，将DC绕点D逆时针旋转90°到DC′，连接CC′、AC′，若AD＝3，△ADC′的面积等于6，则BC的长为________．
三、解答题
16.已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1.
17.如图，在△ABC中，已知AB＝CB，点D是△ABC内一点，连接BD，CD，将BD绕点B逆时针旋转得到线段BE，且∠DBE＝∠ABC，连接AE，求证：AE＝CD.
18.如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、点B、点O均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)．
(1)作点A关于点O的对称点A1；
(2)连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
(3)连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
19.如图，P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝4，以点B为旋转中心，将线段BP按顺时针方向旋转90°至BG，点P的对应点G恰好在AP的延长线上，连接CG，PC.
(1)求证：GC＝AP；
(2)求PC的长．
20.如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转，使点A的对应点A1落在边DC上(点A，C，D的对应点分别是A1，C1，D1)．
(1)求DA1的长；
(2)如图②，延长DC交C1D1于点E，试判断BA1和A1E的数量关系，并说明理由．
21.我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图①，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE 　　（选择是或不是）等补四边形．
（2）如图②，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝6，求BD的长．
（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝4，求四边形ABCD面积的最大值．
22.如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，P为△ABC内一点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转α得到AQ，连接BQ，BP，PC.
(1)若α＝60°，∠BPC＝150°，求∠QBP的度数；
(2)若点P为△ABC的外心，求证：四边形AQBP是菱形；
(3)如图②，若D为BC的中点，连接PD，PQ，当∠QBA＝∠PBC时，给出下列结论：①PD＝ PQ；②∠APC＋∠BPD＝180°；③PQ＝BP，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明.
数学试卷 第页（共页）九上第二十三章旋转趋势培优卷（一）
详解详析
一、选择题
1.C
2.B
【解析】A是轴对称图形；B既是轴对称图形也是中心对称图形；C既不是轴对称图形也不是中心对称图形；D是轴对称图形．
3.C
【解析】∵360°÷6＝60°，
∴旋转角是60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60°，
4.A
【解析】∵点A，C关于点B成中心对称，且A(2，3)，B(－1，2)，∴设点C的坐标为(a，b)，则 ＝－1， ＝2，解得a＝－4，b＝1，∴C(－4，1)．
5.B
【解析】∵△DBE由△ABC旋转得到，∴∠DBE＝∠ABC，∵∠DBE＝∠ABD＋∠ABE，∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，∴∠ABD＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABD，∵∠ABD＋∠ABE＋∠CBE＝180°，∴∠ABD＝60°，∵∠A＝∠D＝25°，又∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD＝∠A＋∠C，∴∠C＝60°－25°＝35°.
6.B
【解析】∵△AFB是通过△AEC旋转得到的，∴△AFB≌△AEC，∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE.∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD＋∠CAE＝120°－60°＝60°，∴∠BAD＋∠BAF＝60°，即∠FAD＝60°.在△ADF和△ADE中， ∴△ADF≌△ADE(SAS)，∴DF＝DE＝CD－CE＝4－2＝2.
7.D　
【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵点A的坐标为(－10，20)，∴OA＝ ＝10 ，∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×20 ·BD＝2000，∴BD＝40 ，即BO＝20 ，在Rt△AOB中，AB＝ ＝ ＝50，∴AD＝AB＝50，∴摄像头D的横坐标为50－10＝40，∴摄像头D的坐标为(40，20)．
解图　　
8.C　
【解析】方法一：如解图①，连接BB′，由旋转的性质，得∠B′CB＝∠A′B′C＝90°，∴A′B′∥BD，∵BD＝AB，由旋转的性质，得A′B′＝AB，∴BD＝A′B′，∴四边形A′B′BD为平行四边形，又∵A′D＝AB＝BD，∴A′D＝BD＝ ，∴四边形A′B′BD为菱形，BB′＝ ，由旋转的性质，得BC＝B′C，∠BCB′＝90°，∴△BCB′为等腰直角三角形，BC＝ BB′＝1.
方法二：如解图②，过点A′作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，由旋转的性质，得AC＝A′C，∠ACA′＝90°，∴∠A′CE＋∠ACB＝90°.∵∠B＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠A＝∠A′CE，∵∠B＝∠CEA′＝90°，∴△ABC≌△CEA′(AAS)，∴AB＝CE，BC＝EA′.∵AB＝BD＝CE，∴BC＝DE＝EA′，∴△A′ED是等腰直角三角形，∵A′D＝AB＝ ，∴BC＝EA′＝DE＝1.
解图
9.A
【解析】如解图，过点F作DC的垂线交DC延长线于点H，则∠H＝90°，由旋转性质可知EA＝EF，∠AEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，DC∥AB，DA＝DC＝BC，设DA＝DC＝BC＝1，∵∠AEH＝∠1＋∠AEF＝∠2＋∠D，∴∠1＝∠2，∴△ADE≌△EHF(AAS)，∴DE＝HF，AD＝EH＝1，设DE＝HF＝x，则CE＝DC－DE＝1－x，∴CH＝EH－EC＝1－(1－x)＝x，∴HF＝CH＝x，∵∠H＝90°，∴∠HCF＝45°，∴CF＝ x，∵DC∥AB，∴∠HCF＝∠G＝45°，∴CG＝ BC＝ ，∴FG＝CG－CF＝ － x＝ (1－x)，∴ ＝ ＝ .
解图
10.D　
【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A 由题意知DF是正方形DEFG的一条对角线，∴∠FDG＝45° .∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝90° ，∴∠ADG＝∠ADC＋∠CDG＝135° .故∠ADG＝150° ×
B 由旋转的性质，得CD＝GD，∴AD＝GD.∴∠GAD＝∠AGD＝ ＝22.5°，∴∠ASD＝67.5° ≠90°.故AG⊥CD ×
C ∵AD＝GD，AD＋GD>AG，∴2AD>AG，故AG＝2AD ×
D 由旋转的性质，得GD＝CD.∵DF＝CD＋CF，∴DF＝GD＋CF.故选项D正确 √
二、填空题
11.10
12.10
【解析】由旋转的性质知BD＝BC，BE＝AB＝5，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝5，∴BC＝BE＋CE＝10，∴BD＝10.
13.75°　
【解析】由旋转可得∠E＝∠C＝25°，∠CAE＝∠BAD＝80°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝50°，∵DE∥AB，∴∠BAE＝∠E＝25°，∴∠AFD＝∠ABF＋∠BAE＝50°＋25°＝75°.
14.
【解析】如解图，连接AA′，BB′，CC′，交于点(0，－1)，此点即为对称中心．
解图
15.7
【解析】如解图，延长AD交CC′于点E，由题意得△CC′D为等腰直角三角形，∴∠DCC′＝45°，∵∠B＝90°，∠BCD＝45°，AD∥BC，∴∠BCC′＝90°，∠BAE＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴BC＝AE，AE⊥CC′，∵S△ADC′＝ AD·EC′＝6，AD＝3，∴EC′＝4.又∵△CDC′为等腰直角三角形，∴DE＝CE＝C′E＝4，∴AE＝AD＋DE＝3＋4＝7，∴BC＝AE＝7.
解图
三、解答题
16.解：如解图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(－2，－1);
解：如解图所示，△A2B2C1即为所求．
解图
17.证明：由旋转的性质可知BE＝BD.
∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠ABD＝∠DBE－∠ABD，即∠CBD＝∠ABE.
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.
18.解：(1)如解图所示，点A关于点O的对称点A1即为所求；
(2)如解图所示，连接A1B，画出线段A1B1即为所求；
(3)如解图所示，连接BB1，过点A作AE⊥BB1于点E，过点A1作A1F ⊥BB1于点F.
S四边形ABA1B1＝S△ABB1＋S△A1BB1＝ BB1·AE＋ BB1·A1F＝ ×8×2＋ ×8×4＝24，
∴四边形ABA1B1的面积是24.
解图
19.(1)证明：∵以点B为旋转中心，将线段BP按顺时针方向旋转90°至BG，四边形ABCD是正方形，
∴BP＝BG，∠PBG＝90°＝∠ABC，AB＝CB，
∴∠ABC－∠PBC＝∠PBG－∠PBC，
即∠ABP＝∠CBG，
在△ABP和△CBG中，
∴△ABP≌△CBG(SAS)，
∴GC＝AP；
(2)解：∵BP＝BG＝4，∠PBG＝90°，
∴∠BPG＝∠BGP＝45°，PG＝ BP＝4 ，
∴∠APB＝135°，
由(1)知△ABP≌△CBG，
∴∠APB＝∠CGB＝135°，AP＝GC＝2，
∴∠PGC＝∠CGB－∠BGP＝135°－45°＝90°，
∴在Rt△PCG中，PC＝ ＝ ＝6.
20.解：(1)由旋转的性质，得A1B＝AB＝8.
在△A1BC中，A1B＝8，BC＝6，∴A1C＝ ＝ ＝2 .
∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝8，∴DA1＝CD－A1C＝8－2 ；
(2)BA1＝A1E.理由如下：
∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，∴AD＝A1D1＝BC，∠A1CB＝∠D1＝90°，A1B∥C1D1，∴∠CA1B＝∠D1EA1.
在△BCA1和△A1D1E中，
，∴△BCA1≌△A1D1E(AAS)．∴BA1＝A1E.
21.（1）是；
（2）解：如答案图①，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，
∴∠BAD＝∠BCG，BD＝BG，∠DBG＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠BCG＝180°，
∴D、C、G三点共线，
∵S四边形ABCD＝6，
∴S△BDG＝6，
∴ BD2＝6，
∴BD＝ （负值舍去）；
答案图①
（3）解：∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，如答案图②，
∴BD＝BE＝4，∠BAE＝∠C，S△ABE＝S△BCD，
∵∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝180°，
∴A、D、E三点共线，
∴S四边形ABCD＝S△BDE，
当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，为S△BDE＝ ＝8．则四边形ABCD面积的最大值为8．
答案图②
【解析】由旋转得，AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴四边形ADCE是等补四边形．
22.(1)解：∵∠QAP＝∠BAC＝α，∴∠QAB＝∠PAC.
在△QAB和△PAC中， ，∴△QAB≌△PAC(SAS)，∴∠QBA＝∠PCA.
∵∠BPC＝∠ABP＋∠BAC＋∠ACP，α＝60°，∠BPC＝150°，∴∠ABP＋∠ACP＝∠BPC－∠BAC＝150°－60°＝90°，∴∠QBP＝∠QBA＋∠ABP＝∠PCA＋∠ABP＝90°；
(2)证明：∵点P为△ABC的外心，∴AP＝BP＝PC.
由(1)得，△QAB≌△PAC，∴BQ＝PC.
∵AQ＝AP，∴AQ＝AP＝BQ＝BP，∴四边形AQBP为菱形；
(3)证明：①、②正确．
选择结论①：
解法一：如解图①，过点B作BG∥PC交PD的延长线于点G.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
∵BG∥PC，∴∠DBG＝∠DCP，∠G＝∠DPC，∴△BDG≌△CDP(AAS)，∴BG＝CP，PD＝DG＝ PG.
由(1)得，△QAB≌△PAC，∴BQ＝PC，∠QBA＝∠PCA，∴BG＝BQ.
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBA＝∠PBC＝∠PCA.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABP＝∠PCB，∴∠ABP＝∠DBG，∴∠QBP＝∠GBP.
∵BP＝BP，∴△QBP≌△GBP(SAS)，∴PQ＝PG，∴PD＝ PQ，即结论正确．
解法二：如解图②，延长BP至点G，使得BP＝PG，连接CG.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
∵BP＝PG，∴PD∥CG，PD＝ CG，∴∠BPD＝∠G，
由(1)得，△QAB≌△PAC，∴BQ＝PC，∠QBA＝∠PCA，
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBA＝∠PCA＝∠PBC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABP＝∠PCB.
∵∠GPC＝∠PBC＋∠PCB，∴∠QBP＝∠GPC，∴△QBP≌△CPG(SAS)，∴PQ＝CG，∴PD＝ PQ，即结论①正确．
选择结论②：
解法一：如解图③，过点B作BG∥PC交PD的延长线于点G.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
∵BG∥PC，∴∠DBG＝∠DCP，∠G＝∠DPC，∴△BDG≌△CDP(AAS)，∴BG＝CP，
由(1)得，△QAB≌△PAC，∴BQ＝PC，∠QBA＝∠PCA，∠AQB＝∠APC，∴BG＝BQ.
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBA＝∠PBC＝∠PCA.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABP＝∠PCB，∴∠ABP＝∠DBG，∴∠QBP＝∠GBP.
∵BP＝BP，∴△QBP≌△GBP(SAS)，∴∠BPD＝∠BPQ，
∵AQ＝AP，∴∠AQP＝∠APQ＝ (180°－∠QAP)．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝ (180°－∠BAC)，
∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠AQP＝∠APQ＝∠ABC＝∠ACB.
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBP＝∠ABC，∴∠AQP＝∠QBP，∴∠APC＋∠BPD＝∠APC＋∠BPQ＝∠AQB＋∠BPQ＝∠AQP＋∠BQP＋∠BPQ＝∠QBP＋∠BQP＋∠BPQ＝180°，即结论②正确．
解法二：
如解图④，延长BP至点G，使得BP＝PG，连接CG.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
∵BP＝PG，∴PD∥CG，PD＝ CG，∴∠BPD＝∠G，
由(1)得，△QAB≌△PAC，∴BQ＝PC，∠QBA＝∠PCA，∠AQB＝∠APC，
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBA＝∠PCA＝∠PBC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABP＝∠PCB.
∵∠GPC＝∠PBC＋∠PCB，∴∠QBP＝∠GPC，∴△QBP≌△CPG(SAS)，∴∠QPB＝∠G，∴∠BPD＝∠QPB.
∵AQ＝AP，∴∠AQP＝∠APQ＝ (180°－∠QAP)．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝ (180°－∠BAC)，
∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠AQP＝∠APQ＝∠ABC＝∠ACB.
∵∠QBA＝∠PBC，∴∠QBP＝∠ABC，∴∠AQP＝∠QBP，∴∠APC＋∠BPD＝∠APC＋∠QPB＝∠AQB＋∠QPB＝∠AQP＋∠BQP＋∠QPB＝∠QBP＋∠BQP＋∠QPB＝180°，即结论②正确．
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