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九上第二十一章一元二次方程趋势培优卷（一）
建议时长:90分钟
一、选择题
1.下列方程，是一元二次方程的是(　　)
①5x2＋2x＝16；②6x－3y＝7；③3x2＝2；④x－3＝0.
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
1.C
2.方程x(x－2)＝2x的解是(　　)
A. x＝2 B. x＝4 C. x1＝0，x2＝2 D. x1＝0，x2＝4
2.D　
【解析】∵x(x－2)＝2x，∴x(x－2)－2x＝0，∴x(x－4)＝0，则x＝0或x－4＝0，解得x1＝0，x2＝4.
3.方程x(x－6)＝6x＋25化为一元二次方程的一般形式是x2－mx+n＝0，则m，n的值分别是(　　)
A.12，－25 B. 1，－25 C. －19，25 D. 0，25
3.A
【解析】∵ 方程x(x－6)＝6x＋25化为一元二次方程的一般形式是x2－12x－25＝0，∴m=12，n=－25.
4.已知方程2x2－5x＋1＝0的一个根为a，则代数式－6a2＋15a＋2023的值为(　　)
A. 2018 B. 2021 C. 2023 D. 2026
4.D　
【解析】∵方程2x2－5x＋1＝0的一个根为a，∴2a2－5a＋1＝0.∴2a2－5a＝－1.∴－6a2＋15a＋2023＝－3(2a2－5a)＋2023＝－3×(－1)＋2023＝2026.
5.“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出方程是(　　)
A. a(1＋x)2＝3a B. a(1＋2x)2＝3a
C. a(1＋2x)(1＋3x)＝3a D. a(1＋x)(1＋2x)＝3a
5.D　
【解析】∵第一个月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，∴第三个月销量为3a辆，第三个月销售量的增长率为2x，根据题意可列方程a(1＋x)(1＋2x)＝3a.
6.等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　)
A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13
6.C
【解析】由方程x2－10x＋21＝0得，x1＝3，x2＝7，∵3＋3＜7，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.
7.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大致意思是：如图，有一个边长为10尺的正方形池塘，芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分AC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的D处．则这根芦苇的长度为（ ）　
A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺
7.D　
【解析】设这根芦苇的长度AB为x尺，则水深BC为(x－1)尺，∵池塘是边长为10尺的正方形，芦苇AB在池塘的正中央，∴CD＝5尺．∵BC⊥CD，∴在Rt△BCD中，BD2＝BC2＋CD2，即x2＝(x－1)2＋52，解得x＝13，∴这根芦苇的长度为13尺．
8.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是(　　)
A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0
C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0
8.B
【解析】∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1，∴x1＋x2＝6＋1＝7，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.∴x1x2＝10，A.x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故该选项不符合题意；B.x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故该选项符合题意；C.x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故该选项不符合题意；D.x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故该选项不符合题意．故选：B.
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9.A
【解析】观察数轴可知：m＞0，n＜0，∴m2＞0，﹣4n＞0∴x2﹣mx+n＝0，a＝1，b＝﹣m，c＝n，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×n＝m2﹣4n＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
10.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据： ≈1.414) ( )
A. 20.3% B. 25.2% C. 29.3% D. 50%
10.C　
【解析】根据题意得：设每天“遗忘”的百分比为x，则可列方程(1－x)2＝1－ ，解得x1＝1＋ ≈1.707(舍去)，x2＝1－ ≈0.293，∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%.
二、填空题
11.将一元二次方程x2－4x－9＝0配方后可变形为________．
11.
【解析】∵x2－4x－9＝0可变形为x2－4x+4＝9+4，∴ .
12.一元二次方程x2＋3x＝2x＋2×3的根是________．
12.x1＝2，x2＝－3　
【解析】∵x2＋3x＝2x＋2×3，∴x(x＋3)＝2(x＋3)，∴(x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝2，x2＝－3.
13.若关于x的一元二次方程(a－2)x2－3x＋1＝0有实数根，则整数a的最大值为________．
13.4
【解析】∵关于x的一元二次方程(a－2)x2－3x＋1＝0有实数根，∴Δ＝9－4×(a－2)×1≥0且a－2≠0，解得a≤ 且a≠2，∵a为整数，∴a的最大值为4.
14.学校课外生物小组的实验园地是一块长 30 米，宽 25 米的长方形土地．为了便于管理， 现要在中间开辟如图所示的小道(阴影部分)，所有小道的出入口宽度相等且两边互相平行，横向小道垂直于长方形的宽，若要使种植面积为 598 平方米，则小道的出入口宽度为________米．
14.2　
【解析】设小道的宽为x米，依题意得(30－2x)(25－x)＝598，整理得x2－40x＋76＝0，即(x－38)(x－2)＝0，解得x1＝38(舍去)，x2＝2.即小道的宽为2米．
15.阅读下面的诗词然后解题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物．
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十位恰小个位三，个位平方与寿符．
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
请你通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄为________．
15.36岁　
【解析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3，依题意，得10(x－3)＋x＝x2，解得x1＝5，x2＝6，当x＝5时，周瑜去世时的年龄为25岁，未到而立之年(30岁)，不符合题意；当x＝6时，周瑜去世时的年龄为36岁，符合题意．
三、解答题
16.解方程：
x2－3x＋2＝0.
16.解：由公式法可得，
x＝ ＝ ，
∴x1＝1，x2＝2.
17.已知下列是n(n为正整数)个关于x的一元二次方程，观察规律，回答下列问题：
序号 方程 方程的解
① x2－1＝0 x1＝1，x2＝－1
② x2＋x－2＝0 x1＝1，x2＝－2
③ x2＋2x－3＝0 ____________
④ x2＋3x－4＝0 ____________
… … …
(1)请将表格补充完整；
(2)猜想：第n个方程为______；其解为______；
(3)请你指出这n个方程的根有什么共同特点(写出一条即可)．
17.解：(1)x1＝1，x2＝－3；x1＝1，x2＝－4；
(2)x2＋(n－1)x－n＝0；x1＝1，x2＝－n；
(3)这n个方程都有一个根是1.(答案不唯一)
18.已知关于x的一元二次方程x2－3x－4m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且(α－β)2＝25，求m的值．
18.(1)证明：∵a＝1，b＝－3，c＝－4m2，
∴Δ＝(－3)2－4×1×(－4m2)＝9＋16m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：由题意得α＋β＝3，αβ＝－4m2，
∴(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝9－4×(－4m2)＝25，
解得m＝±1，
∴m的值为±1.
19.为解方程 (x2－2)2－5(x2－2)＋4＝0，我们可以将x2－2视为一个整体，然后设x2－2＝y，则原方程化为y2－5y＋4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4，
当y＝1时，x2－2＝1，∴x＝± ，
当y＝4时，x2－2＝4，∴x＝± ，
∴原方程的解为x1＝－ ，x2＝ ，x3＝－ ，x4＝ .
以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
用上述方法解下列方程：
(1)(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0；
(2)x4－8x2＋7＝0.
19.解：(1)将2x＋5视为一个整体，设2x＋5＝y，则原方程化为y2－4y＋3＝0，
解此方程得y1＝1，y2＝3，
当y＝1时，2x＋5＝1，∴x＝－2，
当y＝3时，2x＋5＝3，∴x＝－1，∴原方程的解为x1＝－2，x2＝－1；
(2)设x2＝y，则原方程化为y2－8y＋7＝0，解此方程得y1＝1，y2＝7，
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1，
当y＝7时，x2＝7，∴x＝± ，∴原方程的解为x1＝－1，x2＝1，x3＝－ ，x4＝ .
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝9cm，点P从点A出发，沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为ts.
(1)填空：AP＝______cm，BQ＝______cm；(用含t的代数式表示)
(2)当t(t≠0)为何值时，PQ＝4cm
(3)在动点P，Q运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形APQCD的面积为矩形面积的 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
20.解：(1)t，2t；
(2)∵AB＝4cm，∴PB＝(4－t)cm，(0≤t≤4)
由勾股定理可得PQ＝ ＝ (cm)，
当PQ＝4cm时， ＝4，解得t＝0(舍去)或t＝ ，∴当t＝ s时，PQ＝4cm；
(3)不存在，理由如下：
假设五边形APQCD的面积为矩形面积的 ，则△PBQ的面积为矩形面积的 ，则S△PBQ＝ ×4×9＝12(cm2)，
又∵S△PBQ＝ PB·BQ＝ (4－t)·2t＝t(4－t)，∴t(4－t)＝12，∴t2－4t＋12＝0.
此时b2－4ac＝(－4)2－4×12＝－32＜0，方程无实数根，即不存在某一时刻可使五边形APQCD的面积为矩形面积的 .
21.在不计空气阻力的情况下，自由下落物体下落的末速度vt(m/s)与下落距离h(m)之间有如下关系：v －v ＝2gh，其中g≈10m/s2，一兴趣小组在研究自由落体运动，他们用频闪照相机(频闪间隔时间t＝0.1s)拍摄下了如图所示一金属小球自由下落的影像．
(1)已知v0＝0，求t＝0.5s时小球的速度；
(2)若小球从速度v变化到2v，两时刻间的高度差为5.4m，求v的值．
21.解：(1)由题意可得v0＝0，t＝0.5s时，小球的下落距离h＝5＋15＋25＋35＋45＝125cm＝1.25m，
代入v －v ＝2gh可得，v －0＝2×10×1.25，解得v5＝5或v5＝－5(不符合题意，舍去)，
∴t＝0.5s时，小球的速度为5m/s；
(2)由题意可得(2v)2－v2＝2×10×5.4，即3v2＝108，
解得v＝6或v＝－6(不符合题意，舍去)．
答：v的值为6m/s.
22.已知关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＋1＝0.
(1)写出一个满足条件的整数k值，使得方程有两个不相等的实数根，并解方程；
(2)若方程的两个根为x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，求k的值．
22.解：(1)∵要使方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2k)2－4(k－2)(k＋1)>0，且k－2≠0，
整理得4k＋8>0，且k－2≠0，∴k>－2且k≠2，
∵k为整数，∴k的值可以为3(答案不唯一)，
当k＝3时，原方程为x2－6x＋4＝0，
解得x1＝3＋ ，x2＝3－ ；
(2)x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
∵x1＋x2＝x1x2，∴ ＝ ，∴2k＝k＋1，∴k＝1，
经检验，k＝1是方程 ＝ 的解，且符合题意，故k的值是1.
23.小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，平均每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
(1)若降价8元，则平均每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望平均每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
(3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，且小明每天获得1200元的利润，能否实现？若能，求出定价；若不能，请说明理由．(利润率＝ ×100%)
23.解：(1)(100－60－8)(20＋2×8)＝1152(元)，
答：若降价8元，则平均每天销售T恤衫的利润为1152元；(2分)
(2)设每件T恤衫降价x元，则平均每天可销售(20＋2x)件，
依题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1050，
整理，得x2－30x＋125＝0，
解得x1＝25，x2＝5，
当x＝25时，销售价为100－25＝75(元)，
当x＝5时，销售价为100－5＝95(元)，
∵要优惠力度最大，∴销售价为75元，∴当每件T恤衫的销售价为75元时，小明平均每天获得的销售利润达到1050元并且优惠力度最大；(6分)
(3)不能实现，理由如下：
设每件T恤衫降价x元，
∵为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，可得 ≥55%，解得x≤7，
依题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1200，
整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20，
∵为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，降价必须不大于7元，∴x1＝10，x2＝20都不符合题意，舍去．
答：为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天获得1200元的利润不能实现．(9分)
数学试卷 第2页（共2页）九上第二十一章一元二次方程趋势培优卷（一）
详解详析
一、选择题
1.C
2.D　
【解析】∵x(x－2)＝2x，∴x(x－2)－2x＝0，∴x(x－4)＝0，则x＝0或x－4＝0，解得x1＝0，x2＝4.
3.A
【解析】∵ 方程x(x－6)＝6x＋25化为一元二次方程的一般形式是x2－12x－25＝0，∴m=12，n=－25.
4.D　
【解析】∵方程2x2－5x＋1＝0的一个根为a，∴2a2－5a＋1＝0.∴2a2－5a＝－1.∴－6a2＋15a＋2023＝－3(2a2－5a)＋2023＝－3×(－1)＋2023＝2026.
5.D　
【解析】∵第一个月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，∴第三个月销量为3a辆，第三个月销售量的增长率为2x，根据题意可列方程a(1＋x)(1＋2x)＝3a.
6.C
【解析】由方程x2－10x＋21＝0得，x1＝3，x2＝7，∵3＋3＜7，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.
7.D　
【解析】设这根芦苇的长度AB为x尺，则水深BC为(x－1)尺，∵池塘是边长为10尺的正方形，芦苇AB在池塘的正中央，∴CD＝5尺．∵BC⊥CD，∴在Rt△BCD中，BD2＝BC2＋CD2，即x2＝(x－1)2＋52，解得x＝13，∴这根芦苇的长度为13尺．
8.B
【解析】∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1，∴x1＋x2＝6＋1＝7，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.∴x1x2＝10，A.x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故该选项不符合题意；B.x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故该选项符合题意；C.x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故该选项不符合题意；D.x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故该选项不符合题意．故选：B.
9.A
【解析】观察数轴可知：m＞0，n＜0，∴m2＞0，﹣4n＞0∴x2﹣mx+n＝0，a＝1，b＝﹣m，c＝n，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×n＝m2﹣4n＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
10.C　
【解析】根据题意得：设每天“遗忘”的百分比为x，则可列方程(1－x)2＝1－ ，解得x1＝1＋ ≈1.707(舍去)，x2＝1－ ≈0.293，∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%.
二、填空题
11.
【解析】∵x2－4x－9＝0可变形为x2－4x+4＝9+4，∴ .
12.x1＝2，x2＝－3　
【解析】∵x2＋3x＝2x＋2×3，∴x(x＋3)＝2(x＋3)，∴(x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝2，x2＝－3.
13.4
【解析】∵关于x的一元二次方程(a－2)x2－3x＋1＝0有实数根，∴Δ＝9－4×(a－2)×1≥0且a－2≠0，解得a≤ 且a≠2，∵a为整数，∴a的最大值为4.
14.2　
【解析】设小道的宽为x米，依题意得(30－2x)(25－x)＝598，整理得x2－40x＋76＝0，即(x－38)(x－2)＝0，解得x1＝38(舍去)，x2＝2.即小道的宽为2米．
15.36岁　
【解析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3，依题意，得10(x－3)＋x＝x2，解得x1＝5，x2＝6，当x＝5时，周瑜去世时的年龄为25岁，未到而立之年(30岁)，不符合题意；当x＝6时，周瑜去世时的年龄为36岁，符合题意．
三、解答题
16.解：由公式法可得，
x＝ ＝ ，
∴x1＝1，x2＝2.
17.解：(1)x1＝1，x2＝－3；x1＝1，x2＝－4；
(2)x2＋(n－1)x－n＝0；x1＝1，x2＝－n；
(3)这n个方程都有一个根是1.(答案不唯一)
18.(1)证明：∵a＝1，b＝－3，c＝－4m2，
∴Δ＝(－3)2－4×1×(－4m2)＝9＋16m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：由题意得α＋β＝3，αβ＝－4m2，
∴(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝9－4×(－4m2)＝25，
解得m＝±1，
∴m的值为±1.
19.解：(1)将2x＋5视为一个整体，设2x＋5＝y，则原方程化为y2－4y＋3＝0，
解此方程得y1＝1，y2＝3，
当y＝1时，2x＋5＝1，∴x＝－2，
当y＝3时，2x＋5＝3，∴x＝－1，∴原方程的解为x1＝－2，x2＝－1；
(2)设x2＝y，则原方程化为y2－8y＋7＝0，解此方程得y1＝1，y2＝7，
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1，
当y＝7时，x2＝7，∴x＝± ，∴原方程的解为x1＝－1，x2＝1，x3＝－ ，x4＝ .
20.解：(1)t，2t；
(2)∵AB＝4cm，∴PB＝(4－t)cm，(0≤t≤4)
由勾股定理可得PQ＝ ＝ (cm)，
当PQ＝4cm时， ＝4，解得t＝0(舍去)或t＝ ，∴当t＝ s时，PQ＝4cm；
(3)不存在，理由如下：
假设五边形APQCD的面积为矩形面积的 ，则△PBQ的面积为矩形面积的 ，则S△PBQ＝ ×4×9＝12(cm2)，
又∵S△PBQ＝ PB·BQ＝ (4－t)·2t＝t(4－t)，∴t(4－t)＝12，∴t2－4t＋12＝0.
此时b2－4ac＝(－4)2－4×12＝－32＜0，方程无实数根，即不存在某一时刻可使五边形APQCD的面积为矩形面积的 .
21.解：(1)由题意可得v0＝0，t＝0.5s时，小球的下落距离h＝5＋15＋25＋35＋45＝125cm＝1.25m，
代入v －v ＝2gh可得，v －0＝2×10×1.25，解得v5＝5或v5＝－5(不符合题意，舍去)，
∴t＝0.5s时，小球的速度为5m/s；
(2)由题意可得(2v)2－v2＝2×10×5.4，即3v2＝108，
解得v＝6或v＝－6(不符合题意，舍去)．
答：v的值为6m/s.
22.解：(1)∵要使方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2k)2－4(k－2)(k＋1)>0，且k－2≠0，
整理得4k＋8>0，且k－2≠0，∴k>－2且k≠2，
∵k为整数，∴k的值可以为3(答案不唯一)，
当k＝3时，原方程为x2－6x＋4＝0，
解得x1＝3＋ ，x2＝3－ ；
(2)x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
∵x1＋x2＝x1x2，∴ ＝ ，∴2k＝k＋1，∴k＝1，
经检验，k＝1是方程 ＝ 的解，且符合题意，故k的值是1.
23.解：(1)(100－60－8)(20＋2×8)＝1152(元)，
答：若降价8元，则平均每天销售T恤衫的利润为1152元；(2分)
(2)设每件T恤衫降价x元，则平均每天可销售(20＋2x)件，
依题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1050，
整理，得x2－30x＋125＝0，
解得x1＝25，x2＝5，
当x＝25时，销售价为100－25＝75(元)，
当x＝5时，销售价为100－5＝95(元)，
∵要优惠力度最大，∴销售价为75元，∴当每件T恤衫的销售价为75元时，小明平均每天获得的销售利润达到1050元并且优惠力度最大；(6分)
(3)不能实现，理由如下：
设每件T恤衫降价x元，
∵为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，可得 ≥55%，解得x≤7，
依题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1200，
整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20，
∵为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，降价必须不大于7元，∴x1＝10，x2＝20都不符合题意，舍去．
答：为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天获得1200元的利润不能实现．(9分)
数学试卷 第2页（共2页）九上第二十一章一元二次方程趋势培优卷（一）
建议时长:90分钟
一、选择题
1.下列方程，是一元二次方程的是(　　)
①5x2＋2x＝16；②6x－3y＝7；③3x2＝2；④x－3＝0.
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
2.方程x(x－2)＝2x的解是(　　)
A. x＝2 B. x＝4 C. x1＝0，x2＝2 D. x1＝0，x2＝4
3.方程x(x－6)＝6x＋25化为一元二次方程的一般形式是x2－mx+n＝0，则m，n的值分别是(　　)
A.12，－25 B. 1，－25 C. －19，25 D. 0，25
4.已知方程2x2－5x＋1＝0的一个根为a，则代数式－6a2＋15a＋2023的值为(　　)
A. 2018 B. 2021 C. 2023 D. 2026
5.“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出方程是(　　)
A. a(1＋x)2＝3a B. a(1＋2x)2＝3a
C. a(1＋2x)(1＋3x)＝3a D. a(1＋x)(1＋2x)＝3a
6.等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　)
A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13
7.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大致意思是：如图，有一个边长为10尺的正方形池塘，芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分AC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的D处．则这根芦苇的长度为（ ）　
A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺
8.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是(　　)
A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0
C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据： ≈1.414) ( )
A. 20.3% B. 25.2% C. 29.3% D. 50%
二、填空题
11.将一元二次方程x2－4x－9＝0配方后可变形为________．
12.一元二次方程x2＋3x＝2x＋2×3的根是________．
13.若关于x的一元二次方程(a－2)x2－3x＋1＝0有实数根，则整数a的最大值为________．
14.学校课外生物小组的实验园地是一块长 30 米，宽 25 米的长方形土地．为了便于管理， 现要在中间开辟如图所示的小道(阴影部分)，所有小道的出入口宽度相等且两边互相平行，横向小道垂直于长方形的宽，若要使种植面积为 598 平方米，则小道的出入口宽度为________米．
15.阅读下面的诗词然后解题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物．
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十位恰小个位三，个位平方与寿符．
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
请你通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄为________．
三、解答题
16.解方程：
x2－3x＋2＝0.
17.已知下列是n(n为正整数)个关于x的一元二次方程，观察规律，回答下列问题：
序号 方程 方程的解
① x2－1＝0 x1＝1，x2＝－1
② x2＋x－2＝0 x1＝1，x2＝－2
③ x2＋2x－3＝0 ____________
④ x2＋3x－4＝0 ____________
… … …
(1)请将表格补充完整；
(2)猜想：第n个方程为______；其解为______；
(3)请你指出这n个方程的根有什么共同特点(写出一条即可)．
18.已知关于x的一元二次方程x2－3x－4m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且(α－β)2＝25，求m的值．
19.为解方程 (x2－2)2－5(x2－2)＋4＝0，我们可以将x2－2视为一个整体，然后设x2－2＝y，则原方程化为y2－5y＋4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4，
当y＝1时，x2－2＝1，∴x＝± ，
当y＝4时，x2－2＝4，∴x＝± ，
∴原方程的解为x1＝－ ，x2＝ ，x3＝－ ，x4＝ .
以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
用上述方法解下列方程：
(1)(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0；
(2)x4－8x2＋7＝0.
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝9cm，点P从点A出发，沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为ts.
(1)填空：AP＝______cm，BQ＝______cm；(用含t的代数式表示)
(2)当t(t≠0)为何值时，PQ＝4cm
(3)在动点P，Q运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形APQCD的面积为矩形面积的 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
21.在不计空气阻力的情况下，自由下落物体下落的末速度vt(m/s)与下落距离h(m)之间有如下关系：v －v ＝2gh，其中g≈10m/s2，一兴趣小组在研究自由落体运动，他们用频闪照相机(频闪间隔时间t＝0.1s)拍摄下了如图所示一金属小球自由下落的影像．
(1)已知v0＝0，求t＝0.5s时小球的速度；
(2)若小球从速度v变化到2v，两时刻间的高度差为5.4m，求v的值．
22.已知关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＋1＝0.
(1)写出一个满足条件的整数k值，使得方程有两个不相等的实数根，并解方程；
(2)若方程的两个根为x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，求k的值．
23.小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，平均每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
(1)若降价8元，则平均每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望平均每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
(3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，且小明每天获得1200元的利润，能否实现？若能，求出定价；若不能，请说明理由．(利润率＝ ×100%)
数学试卷 第2页（共2页）

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