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2025-2026学年安徽省部分学校高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 6 < 0}， = { 1, 2,2}，则 ∩ =( )
A. { 1} B. {2} C. { 1,2} D. { 1, 2,2}
2 .已知角 的终边经过点 (2,1)，则 sin( + 2 )的值为( )
A. 5 B. 2 5 C. 55 5 5 D.
2 5
5
3 .已知命题 ： ∈ ， > ，命题 ： ∈ (0, 2 ), < ，则( )
A. 和 都是真命题 B.￢ 和 都是真命题
C. 和￢ 都是真命题 D.￢ 和￢ 都是真命题
4.若函数 = 的图象与直线 = 没有交点，则| |的最小值为( )
A. 0 B. 2 C. D. 2
5 .把函数 ( )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移6个单位长度，
得到函数 = 的图象，则 ( ) =( )
A. sin( 2 6 ) B. sin( 2 3 ) C. sin(2

6 ) D. sin(2

3 )
6.若函数 ( ) = ( )3的最小值为 1，则 ( )的最大值为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 27
7 .已知函数 ( ) = + 的图象关于点( , )中心对称，且 ( )在(0, 3 )上单调递减，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 32 D. 1
1 1
8.设 ∈ ，则“ 3 = 3 ”是“ 3 = 3 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = ln| |，则( )
A. ( )的定义域为 B. ( )的值域为
C. ( )在( , + ∞)上单调递增 D. ( )的图象关于直线 = 对称
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10.已知 ( )， ( )均为定义域为 的奇函数，且 ( ) + ( + 1) = ，则( )
A. (1) = 0 B. (2025) = 0
C. (2025) = 0 D. ( )的图象关于点(1,0)中心对称
11.已知函数 ( ) = + sin 1 , 0是 ( )的一个零点，下列结论正确的是( )
A. ( )是奇函数
B. ( )的最大值为 2
C. +
2+4
若 0 > 1，则 0的最小值为 2
D. < 1 +
2+4
若 0 ，则 0的最大值为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知正数 ， 满足 + = 6，则 的最大值为______．
13.若 ≠ 0， 2 = 2 ，则 =______．
114 , > 0,.已知函数 ( ) = + 2, ≤ 0,若 ( ) ≤ ( + )恒成立，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
( ) = sin( + )( > 0, | | < 已知函数 2 )的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式；
(2)设函数 ( ) = ( ) + ( ) 36 ，求使 ( ) = 2 成立的 的取值集合．
16.(本小题 15 分)
1
甲、乙两位同学参加答题活动，已知两人各答 3 道试题，答对每道试题的概率均为3 .假定两位同学的答题
情况互不影响，且每位同学每道试题答对与否相互独立．
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(1)记甲同学答对的试题数为 ，求 的分布列与期望；
(2)求甲同学答对的试题数比乙同学答对的试题数多的概率．
17.(本小题 15 分)
2 2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 2 ，短轴长为 2 3．
(1)求 的方程；
(2) = + △ 4若直线 ： 与 交于 ， 两点， 为坐标原点， 的面积为3，求 的值．
18.(本小题 17 分)
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.“菱角”折纸教程：如图 1，将一张长方形的纸条用虚线
分成 6 个全等的等腰直角三角形，沿着虚线折叠便可得到一个如图 2 所示的“菱角” ．
(1)证明： ⊥平面 ．
(2)试判断该“菱角”所有的顶点是否在同一个球面上，并说明理由．
(3)求二面角 的余弦值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2．
(1)求 ( )的极值．
(2)已知函数 ( ) = ( ) + ( 1 ) ．
①若 ( )没有零点，求 的取值范围；
②若 ( )有两个不同的零点 1， 2，证明： 1 + 2 > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.9
13. 12
14.2
15.(1)由题意， ( )的周期 = 4( 2 3 12 ) = ，即 = ，解得 = 2，
= ( ) 当 12时， 取得最大值，可得6 + = 2 + 2 ， ∈ ，

即 = 3 + 2 ， ∈ ，结合| | < 2，解得 = 3，所以 ( ) = sin(2 +

3 )；
(2)由(1) 可知 ( ) = ( ) + ( 6 ) = sin(2 +

3 ) + sin[2(

6 ) + 3 ]
= sin(2 + 3 ) + 2 =
3
2 2 +
3
2 2 = 3( 2 6 + 2 6 ) = 3sin(2 + 6 )，
( ) = 3 1由 2 ，得 sin(2 + 6 ) = 2，
2 + 5 结合正弦函数的性质，可得 6 = 2 + 6 ( ∈ )或 2 + 6 = 2 + 6 ( ∈ )，
解得 = ( ∈ )或 = + 3 ( ∈ )．
( ) = 3 所以使 2 成立的 的取值集合为{ | = 或 = + 3 , ∈ }．
16.(1) 1由题意可知， ～ (3, 3 )，
1
所以 ( = 0) = 0(1 )3 1 0 83 3 ( 3 ) = 27， ( = 1) =
1(1 1 23 3 ) (
1 1 12
3 ) = 27，
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( = 2) = 2 1 1 1 2 6 3 1 0 1 3 13(1 3 ) ( 3 ) = 27， ( = 3) = 3(1 3 ) ( 3 ) = 27，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
8 12 6 1
27 27 27 27
( ) = 3 × 13 = 1；
(2)记乙同学答对的试题数为 ，则 ～ (3, 13 )，
由(1) 8可知 ( = 0) = 27， ( = 1) =
12 6
27， ( = 2) = 27， ( = 3) =
1
27，
( = = 0) = 8 × 8 = 64 ( = = 1) = 12 × 12 = 144所以 27 27 729， 27 27 729，
( = = 2) = 627 ×
6
27 =
36 1 1 1
729． ( = = 3) = 27 × 27 = 729，
所以 ( = ) = 64 144 36 1 245729 + 729 + 729 + 729 = 729，
易知 ( > ) = ( < )，
所以 ( > ) = 12 (1
245 242
729 ) = 729．
17.(1)设椭圆 的半焦距为 ，
2 = 2 + 2
则 = 2 = 2 ，
2 = 2 3
解得 = 6， = 3， = 3，

2 2
所以椭圆 的方程为 6 + 3 = 1．
= +
(2)联立 2 2 ，
6 +

3 = 1
消去 得：3 2 + 4 + 2 2 6 = 0，
其判别式 = (4 )2 4 × 3 × (2 2 6) = 8 2 + 72，
由 > 0，得 2 < 9，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
则 1 + 2 =
4 2 6
3， 1 2 = 3 ，
2
所以| | = 1 + 12 4 2 6 2 2， ( 2 23 ) 4 × 3 = 3 18 2 ，
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|0 0+ | | |
又原点 (0,0)到直线 的距离 = = ，
12+( 1)2 2
所以△ = 1的面积 2 × | | × =
1 × 2 2 2 | | 42 3 18 2 × 2 = 3，
整理得 4 9 2 + 8 = 0，即( 2 1)( 2 8) = 0，
解得 =± 1 或 =± 2 2，均满足 2 < 9，
故 的值为±1 或±2 2．
18.(1)证明：由题可知： ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
同理可得 ⊥ ，又 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ；
(2)由题可知：该”菱角“由两个正三棱锥 ， 组成，且 = 2 = 2 ，
根据对称性可知 ， 在平面 内的投影为△ 的中心 ，
若该”菱角”所有的顶点在同一个球面上，则 为球心，连接 ，
不妨令 = 2，则 = 2， = = 2 3，2 ∠ 3
= 2 2 = 6，又 ≠ ，3
所以该”菱角“所有的顶点不在同一个球面上；
(3)由(2)知△ 的中心为 ，过 作 的平行线，易得该直线与 ， 两两垂直，
故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
令 = 2，得
(0,0, 6 ，3 ) (0,0,
6
3 )， (
3
3 , 1,0)， (
3 , 1,0)，3
则 = (0,0, 2 63 )，
= ( 3 , 1, 63 3 )，
= (0, 2,0)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
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= 2 63 1 = 0则 ，取
3 6 = ( 3, 1,0)， = 3 1 1 3 1 = 0
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 0 3 6
则 ，所以 3 2 2 3 2 = 0，取 = ( 2, 0,1)，
= 0 2 2 = 0
cos , = = 6 = 2所以 | || | 2 3 2 ，
由图可知：二面角 为锐角，
故二面角 的余弦值为 2．
2
19.(1) ( ) = 2定义域为(0, + ∞)
1 2
，导函数 ′( ) = 3 ，
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0，当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0，
则函数 ( )在( , + ∞)上单调递减，在(0, )上单调递增，
因此 ( )无极小值，在 = 取得极大值 ( ) = 12 ．
(2) ① ( ) = 2
2 ，导函数 ′( ) = 1 2 3 2 ，
( ) = 1 2 2(
4 3) +3 4+5
令 3 2 ，导函数 ′( ) = 4 ，
当 ∈ (0,1]时， 4 3 < 0， ≤ 0，2( 4 3) ≥ 0，2( 4 3) + 3 4 + 5 > 0，
1
当 ∈ (1, 3 14)时， 2 < 4 3 < 0,0 < < 4 3，
1
那么 2( 4 3) > 2 ( 2) ( 4 3) = 3，
2( 4 3) + 3 4 + 5 > 3 + 5 > 0，
1
当 ∈ (34, + ∞)时， 4 3 > 0， > 0，
那么 2( 4 3) ≥ 0，2( 4 3) + 3 4 + 5 > 0，
所以当 ∈ (0, + ∞)时，2( 4 3) + 3 4 + 5 > 0，
即导函数 ′( ) < 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
根据 (1) = 0，得当 ∈ (1, + ∞)时， ( ) < 0，当 ∈ (0,1)时， ( ) > 0，
( )在(1, + ∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ( ) = (1) = ，
根据函数 ( )没有零点，得 < 0，解得 > 0，所以 ∈ (0, + ∞)．
②证明：由①及 ( )有两个不同的零点 1， 2，得 < 0，
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1
不妨设 0 < 1 < 1 < 2，则 > 1， ( 1) = ( 2) = 0
1
，而 ( ) = ( )，1
( 1则 ) = ( 1) = ( 2)，由函数 ( )在(1, + ∞)
1
上单调递减，得 = 2，1 1
1所以 1 + 2 = 1 + > 2．1
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