资源简介

2025-2026学年四川省宜宾三中高三（上）第一次模拟数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 = 2 }， = { 2,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. {0,2} B. {1,2} C. { 2,0} D. {2, 2}
2.已知命题 ： ∈ ，| + 1| > 1；命题 ： > 0， < 0，则( )
A. 和 都是真命题 B.￢ 和 都是真命题
C. 和￢ 都是真命题 D.￢ 和￢ 都是真命题
3.函数 = ln( 2 2 )的单调增区间是( )
A. ( ∞,1) B. ( ∞,0) C. (1, + ∞) D. (2, + ∞)
4.已知 = 52, =
1
2 , = 43，比较 ， ， 的大小为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.已知 = 1 2 是减函数，则函数 ( ) = | |( )的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.双碳，即碳达峰与碳中和的简称. 2020 年 9 月中国明确提出 2030 年实现“碳达峰”，2060 年实现“碳
中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到 2060 年，纯电动汽车在整体汽车中的
渗透率有望超过 70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇． 于 1898 年提出蓄电池的容量
(单位： )，放电时间 (单位： )与放电电流 (单位： )之间关系的经验公式： = ，其中 = 32
2
为 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流 = 10 时，放电时间 = 57 ，则当放电电流 = 15
时，放电时间为( )
A. 28 B. 28.5 C. 29 D. 29.5
第 1页，共 9页
7.设 ( )是定义在 上且周期为 2 的奇函数，当 2 ≤ ≤ 3 时， ( ) = 2 5 + 6 1，则 ( 2 ) =( )
A. 1 B. 14 4 C. 2 D. 2
8 1.已知函数 ( ) = ( 1 2 ) 22 + 2 在 上单调递增，则 的最小值是( )
A. 1 B.
1 1 1
2 C. 2 D.
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量 ， 分别服从正态分布和二项分布，即 ～ (2,4), ～ (4, 12 )，则( )
A. ( ≤ 2) = 12 B. ( = 2) =
3
8 C. ( ) = ( ) D. ( ) = ( )
10.已知定义域为 的函数 ( )，对任意实数 ， 都有 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )，且 (2) = 1，则以
下结论一定正确的有( )
A. (0) = 1 B. ( )是奇函数
C. ( )关于(1,0)中心对称 D. (1) + (2) + + (2025) = 0
| |, > 0
11.已知函数 ( ) = 2( 1 2 ) , ≤ 0
， ( ) = + 2| | + 3， ( ) = ( ( )) ，则下列结论中正确的有( )
A.当 = 0 时， ( )有 1 个零点
B.当 0 < < 1 时， ( )有 4 个零点
C.当 ( )有 6 个不同零点时，实数 的取值范围为[1, 3) ∪ { 4}
D.当 ( )的零点个数最多时，实数 的取值范围为[ 3, 4]
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.曲线 = 2 在 = 0 处的切线方程为______．
13.已知 + 2 = 1，则3 + 9 的最小值为______．
14 2+ .已知函数 ( ) = 3 + ln 2 ，且满足 ( ) + (2 1) > 0，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知{ }是公差不为零的等差数列，满足 1 = 1，且 1， 2， 7成等比数列．
(1)求{ }的通项公式；
(2)设 = ( + 3) 2 1，求数列{ }的前 项和 ．
第 2页，共 9页
16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 2 3 3 2 + 1．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若 ( )有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知四边形 是直角梯形， / / ，∠ = 45°， = 4， = 2 2， ， 分别为 、 的中点(如
图 1)，以 为折痕把△ 折起，使点 到达点 的位置且平面 ⊥平面 (如图 2)．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2 3
设 ， 分别为椭圆 2 + 2 = 1( , > 0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点(1, 2 )在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 为直线 = 4 上不同于点(4,0)的任意一点，若直线 ， 分别与椭圆相交于异于 ， 的点 ， ，
证明：点 在以 为直径的圆内．
19.(本小题 17 分)
近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能( ，简称 )已然成为科技变革的核心驱
动力.有媒体称 开启了我国 新纪元.我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与 知识有关的
网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不
放弃任何一次答题机会.已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立．
(1) 2若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为3，记甲同学答完前三道题得分为 ，求随机变量 的分布列
和数学期望；
(2) 1若甲同学答对每道题的概率均为3，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同
第 3页，共 9页
学答题累计得分为 2，记甲答题累计得分为 的概率为 ，
①求证：{ +1 }是等比数列；
②求 的最大值．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. + 1 = 0
13.2 3
14.( 1 , 33 2 )
15.(1){ }是公差 不为零的等差数列，满足 1 = 1，且 1， 2， 7成等比数列，
可得 22 = 1 7，即( 21 + ) = 1( 1 + 6 )，
化简得 2 = 4 ，解得 = 4，
= 1 + ( 1) × 4 = 4 3；
(2) = ( + 3) 2 1 = 4 2 1 = 2 +1 ，
可得 = 1 22 + 2 23 + . . . + 2 +1，
2 3 4 = 1 2 + 2 2 + . . . + 2 +2，

两式相减可得 = 22 + 23 + . . . + 2 +1 2 +2 =
4(1 2 )
1 2 2
+2，
所以 = ( 1) 2 +2 + 4．
16.(1)已知函数 ( ) = 2 3 3 2 + 1，
则 ′( ) = 6 ( )，
令 ′( ) = 0，解得 = 0 或 = ，
①当 > 0 时，
当 ∈ ( ∞,0)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
第 5页，共 9页
当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
②当 = 0 时，则 ′( ) = 6 2 ≥ 0， ( )在 上单调递增；
③当 < 0 时，
当 ∈ ( ∞, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( , 0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
综上，当 > 0 时， ( )在( ∞,0)和( , + ∞)单调递增，在(0, )单调递减；
当 = 0 时， ( )在 上单调递增；
当 < 0 时， ( )在( ∞, )和(0, + ∞)单调递增，在( , 0)单调递减．
(2)由(1)知 > 0 时， ( )在( ∞,0)和( , + ∞)单调递增，在(0, )单调递减，
所以 = 为 ( )的极小值点，
此时 ( )的极小值为 ( ) = 2 3 3 3 + 1，
又函数的极小值小于 0，
则 2 3 3 3 + 1 < 0，
解得 > 1；
= 0 时，由(1)可得：函数无极值点，不合题意；
< 0 时， ( )在( ∞, )和(0, + ∞)单调递增，在( , 0)单调递减，
所以 = 0 为 ( )的极小值点，此时 ( )的极小值为 (0) = 1 > 0，
不满足函数的极小值小于 0，
综上， 的取值范围是(1, + ∞)．
17.(1)证明：因为平面 ⊥平面 ，
由题意得 ⊥ ，平面 ∩平面
= ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， 、
平面 ，所以 ⊥平面 ．
(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，
(0,0,0)， ( 2, 2, 0)， ( 2, 0, 2)， (0, 2, 0)，
= ( 2, 0, 2)， = (0, 2, 0)， = ( 2, 2, 0)，
第 6页，共 9页
设平面 和平面 的法向量分别为 = ( , , )， = ( , , )，
= 2 + 2 = 0
，令 = 1， = (1,0, 1)， = 2 = 0
= 2 + 2 = 0
，令 = 1， = (1,1, 1)， = 2 + 2 = 0
所以二面角 | | 2 6的余弦值为| ． | | | = 2 3 = 3
18.(1) 3因为椭圆长半轴的长等于焦距，且点(1, 2 )在椭圆上，
= 2
2 = 2 + 2所以 1 9 ，
2 + 4 2 = 1
= 2
解得 = 3，
2 2则椭圆的方程为
4 +

3 = 1；
(2)证明：设 (4, )， ≠ 0，
易知 ( 2,0)， (2,0)，
所以直线 的方程为 = 6 ( + 2)，
= 6 ( + 2)
联立 2 2 ，消去 并整理得(
2 + 27) 2 + 4 2 + 4 2 108 = 0，
4 + 3 = 1
2
由韦达定理得 2 = 4 108 ， 2+27
2
解得 54 2 = 2 ，+27
18
所以 = 6 ( + 2) = 2+27，
2
即 ( 54 2 18 2+27 , 2+27 )，

直线 的方程为 = 2 ( 2)，
= 2 ( 2)
联立 2 2 ，消去 并整理得(
2 + 3) 2 4 2 + 4 2 12 = 0，
4 + 3 = 1
2 = 4
2 12
由韦达定理得 2
，
+3
2 2
解得 =
6
2
，
+3
6
所以 = 2 ( 2) = 2+3，
第 7页，共 9页
2 2 6 6
即 ( ， 2+3 , 2+3 )
4 2 18
所以 = ( 2+27 , 2+27 ) (
12 6
2+3 , 2+3 )
= 48
2 108 2 60 2
( 2+27)( 2+3)+ ( 2+27)( 2+3) = ( 2+27)( 2+3)，
因为 ≠ 0，
所以 < 0，
即∠ 为钝角，
因为圆的直径所对的圆周角为直角．
所以点 在以 为直径的圆内．
19.(1) 2 1由答对概率 = 3，得答错概率 1 = 3，答对题数 ，则 = + 3， 的可能取值为 3，4，5，6，
( = 3) = 0 1 3 13( 3 ) = 27， ( = 4) =
1
3
2
3 (
1 )23 =
2
9，
( = 5) = 2( 2 )2 1 = 43 3 3 9， ( = 6) =
3 2 3 8
3( 3 ) = 27，
所以随机变量 的分布列为：
3 4 5 6
1 2 4 8
27 9 9 27
1 2 4 8
( ) = 3 × 27 + 4 × 9+ 5 × 9 + 6 × 27
1 8 20 16
= 9 + 9+ 9 + 9
= 1+8+20+16 = 459 9 = 5；
(2)①证明：对 ≥ 2，得分 + 1 的事件是答最后一题之前已得 分且最后一题答错的事件，
2 1
与答最后一题之前已得 1 分且最后一题答对的事件和，则 +1 = 3 + 3 1，
1
于是 +1 = 3 (
2 1 2 2 7 1
1)，而 1 = 3， 2 = 3+ ( 3 ) = 9，即 2 1 = 9，
第 8页，共 9页
所以{ 1 1 +1 }是以9为首项， 3为公比的等比数列；
1 ( 1) 1
②由①得，当 ≥ 2 时， = 1 +
2 1 3 3 1 1 1
=2 ( 1) = 3 + 9 = ( ) ，1 ( 1) 4 12 33
而 2 31 = 3满足上式，因此 = 4
1 1 1
12 ( 3 ) ，
= 3 + 1 1当 为正偶数， ( ) 1 4 12 3 ，数列{ }单调递减，因此 ≤ 2；
3 1 1 3 7 3当 为正奇数时， = 4 12 ( )
1
3 ，数列{ }单调递增，因此 1 ≤ < 4，而 2 = 9 > 4，
7
所以 的最大值为9．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑