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2025-2026学年广西柳州市铁一中学高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.芳芳高考前 5 次数学模拟成绩分别为：126，135，142，132，145，则其平均数为( )
A. 132 B. 134 C. 136 D. 138
2 2+ .已知复数 = 1 + ，则 =( )

A. 1 2 B. 1 + 2 C. 2 D. 2 +
3.已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3}， = { | ≤ 0, ∈ }，则 ∩ =( )
A. [ 1,0] B. {0,1,2,3} C. [0,3] D. { 1,0}
4.已知等差数列{ }，前 项和为 ， 30 20 = 100，则 50 =( )
A. 200 B. 300 C. 500 D. 1000
5.△ 中， = 3， = 13， = 4，则角 的大小是( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 135°
6 3 2 .不等式 +2 ≥ 1 的解集为( )
A. { | ≤ 1 13 } B. { | 2 < ≤ 3 } C. { | ≤
1
3且 ≠ 2} D. { | 2 ≤ ≤
1
3 }
7.已知 2 = 23，则 sin(
3
4 )sin( +

4 ) =( )
A. 1 16 B. 6 C.
5
6 D.
5
6
8.已知 是抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，直线 与抛物线的准
线 1交于点 ，若 = 2
| |
，则| | =( )
A. 13 B.
3
4 C.
4
3 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 { } = 3 19.已知 是递增的等比数列，其前 项和为 ，若 2 2 , 3 = 4，( )
A. 35 651 = 1 B. 5 3 = 16 C. 4 = 8 D. { + 2}是等比数列
10.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， ( ) = ( 1)，则( )
A.函数 ( )的极大值点为 2 B.函数 ( )有 2 个零点
C.函数 ( )在点( 1,0)处的切线方程为 + + 1 = 0 D.函数 ( )的值域为( 1,1)
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11
2 2
.已知双曲线 ： 3 2 = 1( > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 为双曲线 右支上的动点，过点 作
两渐近线的垂线，垂足分别为 ， .若圆( 2)2 + 2 = 1 与双曲线 的渐近线相切，则下列说法正确的是( )
A. 3双曲线的渐近线方程为 =± 3
B. 2 3双曲线 的离心率 = 3
C.当点 异于双曲线 的顶点时，△ 1 2的内切圆的圆心总在直线 = 3上
D. | | | | 3为定值2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向 = ( , 2 )( > 0)， = (3,4)，若( + ) ⊥ ( )，则实数 =______．
13.若函数 ( ) = ( )2在 = 2 处取得极小值，则 = ．
14.在立方体中放入 9 个球，一个与立方体 6 个面都相切，其余 8 个相等的球都与这个球及立方体的三个面
相切，已知 8 个相等的球的半径都为 2 3，则立方体的体积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + cos2 2 2
1
2，将函数 ( )图象向左平移3个单位长度，得到函数 ( )的图象．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2)在△ 1中，若 ( ) = 2 , = 2 3，求△ 面积的最大值．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1为矩形，平面 1 1 ⊥平面 1 1， 1 = 2， = 1 = 2．
(1)证明： 1 ⊥平面 ；
(2)若 1 = 13，求直线 1与平面 1 1所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知甲、乙两个箱子中各装有 9 个大小相同的球，其中甲箱中有 4 个红球、5 个白球，乙箱中有 2 个红球、
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7 个白球.定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中
随机摸出一个球放回原来的箱子.每次“交换”之前先抛掷一枚质地均匀的骰子，若点数为 1，6，则从甲箱
开始进行一次“交换”；若点数为 2，3，4，5，则从乙箱开始进行一次“交换”．
(1)求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率；
(2)已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球.第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为 ，求随机变
量 的分布列和数学期望．
18.(本小题 17 分)
已知 ′( )是函数 ( )的导函数， 0是 ( )的零点，若在 ∈ 上， ( ) > ′( 0)恒成立，则称 ( )是 上
的“优函数”．
(1)试判断函数 ( ) = 1 是否是(0, + ∞)上的“优函数”，请说明理由；
(2) ( ) = 1已知函数 2
2 + ( + 1) ， > 0．
①证明： ( )只有一个零点；
②已知 0是 ( )的零点，证明： ( )是(0,1)上的“优函数”．
19.(本小题 17 分)
已知 ( 2,0)， (2,0)， 1( 1,0)，
3
2(1,0)，动点 满足 = 4，动点 的轨迹为曲线 ： 1交 于
另外一点 ， 2交 于另外一点 ．
(1)求曲线 的标准方程；
(2) | |已知 1| |+
| 2|
1 | |
是定值，求该定值；
2
(3)求△ 面积的范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5
13.2
14.8
15.(1) ( ) = 32 + cos
2
2
1 = 32 2 +
1+
2
1
2
= 32 +
1
2 = sin( +

6 )，
根据题意可知，将 ( ) = sin( + 6 )的图象向左平移3个单位长度，
得到 ( ) = sin( + 3 +

6 ) = sin( +

2 ) = ，
因为 = 的单调递增区间是 2 ≤ ≤ 2 ， ∈ ，
所以 ( )的单调递增区间是[2 , 2 ]， ∈ ；
(2)已知 ( ) = = 1 2，因为 0 < < ，所以 = 3，
1
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，则(2 3)2 = 2 + 2 2 × 2，即 12 =
2 + 2 ，
根据基本不等式 2 + 2 ≥ 2 ，所以 12 = 2 + 2 ≥ 2 = ，当且仅当 = 时取等号，即 ≤
12，
1
三角形面积公式 = 2 =
1
2

3 =
3
4 ，
因为 ≤ 12 3 3，所以 = 4 ≤ 4 × 12 = 3 3，即△ 面积的最大值为 3 3．
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16.(1)证明：侧面 1 1为矩形， ⊥ 1，
又因为平面 1 1 ⊥平面 1 1， 平面 1 1，平面 1 1 ∩
平面 1 1 = 1，
所以 ⊥平面 1 1，
因为 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 1C.
因为 1 = 2, = 1 = 2，
所以 21 = 2 + 1 2，即 ⊥ 1 ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ；
(2)解：连接 1，由(1)易知∠ 1 = 45°，
由已知可得 1 = 2, = 2, ∠ 1 = 135°，
在△ 1中由余弦定理可得 1 = 22 + ( 2)2 + 2 × 2 × 2 ×
2 ，
2 = 10
因为 1 1/ / ，所以 1 1 ⊥平面 1 1，
因为 1 平面 1 1，所以 1 1 ⊥ 1，
所以在 △ 1 1中 1 1 = 13 10 = 3，
由(1)易知 ， ， 1两两互相垂直，故以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立空
间直角坐标系，
则 (0,0,0)， ( 2, 0,0)， (0, 3, 0)， 1( 2, 3, 2)， 1( 2, 0, 2)，
= (0, 3, 0), 1 = ( 2, 0, 2), 1 = ( 2 2, 3, 2)，
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
= 3 = 0
则 = 1

，令 ，可取 = (1,0,1)，
1 = 2 + 2 = 0
可得 1 = 1 × ( 2 2) + 0 × 3 + 1 × 2 = 2，| | = 12 + 02 + 12 = 2，| 1| =
( 2 2)2 + ( 3)2 + ( 2)2 = 13，

所以 cos < >= ， 11 =
2 = 13，
| | | 1| 2× 13 13
设直线 1与平面 1 1所成的角为 ，
所以 = |cos < ， 1 > | =
13
13．
所以直线 1与平面 1 1所成角的正弦值为
13．
13
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17.(1) 1 2依题意，每次“交换”从甲箱开始的概率为3，从乙箱开始的概率为3，且每次“交换”后箱子总球数
仍然为 9 个，
要使第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，则无论从哪个箱子开始“交换”，甲箱中摸出的都是白球，
乙箱中摸出的都是红球，
1
若第一次“交换”从甲箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为27；
2
若第一次“交换”从乙箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为27；
设第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球为事件 ，
( ) = 1 + 2 = 1所以． 27 27 9
(2)因为第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，
所以此时甲箱中有 5 个红球、4 个白球，乙箱中有 1 个红球，8 个白球，
的取值为 7，8，9
( = 7) = 1 × 53 9 ×
8 2 8 5 4
10 + 3 × 9 × 10 = 9，
( = 8) = 13 × (
5 × 2 4 9 2 1 6 8 5 239 10 + 9 × 10 ) + 3 × ( 9 × 10 + 9 × 10 ) = 45，
( = 9) = 1 × 4 × 1 + 2 × 1 × 4 = 23 9 10 3 9 10 45，
7 8 9
4 23 2
9 45 45
( ) = 7 × 4+ 8 × 239 45 + 9 ×
2 28 184 2 38
45 = 9 + 45 + 5 = 5．
18.(1) ′( ) = 1，令 ′( ) = 0，解得 = 0，
当 < 0 时， ′( ) < 0，当 > 0 时， ′( ) > 0，
( )在( ∞,0)上单调递减，在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = (0) = 0，
所以 ( )有唯一零点 = 0，
当 > 0 时， ( ) > (0) = 0 = ′(0)，
所以 ( )是(0, + ∞)上的“优函数”；
(2)证明：① ′( ) = + + 1 = ( 1)( ) ( > 0)，
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令 ′( ) = 0，解得 = 1 或 = ，
( )当 0 < < 1 时，
(0, ) ( , 1) 1 (1, + ∞)
′( ) 0 + 0
( ) 单调递减 单调递增 单调递减
因为 (1) = + 12 > 0， ( ) =
1 2
2 + > 0，
所以 ( )在(0,1)无零点，
当 > 1 时， ( ) = 1 22 + ( + 1) <
1
2
2 + ( + 1) ，
1令 22 + ( + 1) = 0，解得 = 2 + 2，
所以 (2 + 2) < 0，所以 ( )在(1, + ∞)上有一个零点，
所以 ( )在(0, + ∞)上有一个零点；
( )当 = 1 时， ′( ) ≤ 0，所以 ( )在(0, + ∞)单调递减，
又 (1) = 32 > 0， (4) = 4 < 0，所以 ( )在(0, + ∞)上有一个零点，
( )当 > 1 时，
(0,1) 1 (1, ) ( , + ∞)
′( ) 0 + 0
( ) 单调递减 单调递增 单调递减
(1) = + 1 1 2 1因为 2 > 0， ( ) = 2 + = 2 ( + 2 2 )，
令 ( ) = + 2 2 ( > 1) 2 2， ′( ) = 1 = ， ′( ) = 0， = 2，
( )在(1,2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (2) = 4 2 2 > 0，
所以 ( ) > 0，所以 ( )在(0, )无零点；
1 1
当 > 时， ( ) = 2
2 + ( + 1) < 2
2 + ( + 1) ，
令 12
2 + ( + 1) = 0，解得 = 2 + 2，
所以 (2 + 2) < 0，所以 ( )在( , + ∞)上有一个零点，
所以 ( )在(0, + ∞)上有一个零点，
综上： ( )在(0, + ∞)上只有一个零点；
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②由①知 ( )有唯一零点 0，
( )当 0 < < 1 时， 0 > 1
1
， ( ) ≥ ( ) = 22 + > 0，
′( ) = + + 1, > 1 ，令 ( ) = + + 1，
2
′( ) = 1 + 2 = 2 < 0，
所以 ′( )在(1, + ∞)上单调递减，所以 ′( 0) < ′(1) = 0，
所以 ( ) > 0 > ′( 0)；
( )当 = 1 时， 30 > 1， ( ) > (1) = 2 > 0，
2
′( ) = 1 + 2, > 1， ″( ) = 1 +
1 = 1 2 2 < 0，
所以 ′( )在(1, + ∞)上单调递减，所以 ′( 0) < (1) = 0，
所以 ( ) > 0 > ′( 0)；
( )当 > 1 时， 0 > ， ( ) > (1) = +
1
2 > 0，
( ) = + + 1, > ( ) = 1 + =
2
′ ， ″ 2 2 < 0，
所以 ′( )在( , + ∞)上单调递减，
所以 ′( 0) < ′( ) = 0，所以 ( ) > 0 > ′( 0)，
综上， ( ) > ( 0)，所以 ( )是(0,1)上的“优函数”．
19. 3解：(1)令 ( , )，因为 = 4，
3
所以 +2 2 = 4，
2 2
整理可得 4 + 3 = 1( ≠ 0)；
2 2
即曲线 的标准方程为： 4 +

3 = 1( ≠ 0)；
(2)设 ( 0, 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
设直线 和直线 的方程为 = 1， = + 1，
= + 1
联立 和椭圆联立 2 2 ，整理可得：(3 2 + 4) 2 6 9 = 0，
4 + 3 = 1
+ 6 0 1 =
可得 4+3
2
9 ，又因为 0 = 0 1， 0 = 0 + 1， 0 1 = 4+3 2
6
同理可得 0 + 2 = 4+3 2，
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又因为 = 1， = + 1 ，所以 0+ 1 = 20 0 0 0 3 =
2 0+1
0 1 3
，
+ 2 2
所以 0 1 = ，即 0 2 5 3 01 3
= 0 ，
1 3 3
0+ 2 = 2 = 2 0 1 + 同理可得 ， 0 2 = 2 2 3 3 3 0 ，0 2 0 2 3

即 0 =
2 5
2 3
0 3，
| 1| + | 2| = | 所以 0 | + | 0| | | | | | = (
0 + 0 ) = 10；
1 2 1 2 1 2 3
1△ 2| | | |sin∠ (3) > 0 = = | | | |不妨设 0 ，于是 △ 11 2 | 1| | 2|sin∠ | | | |
= ，
2 1 2
2
因为 1 2 0+8 2 0 8 0 16△ = 2 | 1 2| 0 = 0 2 +5 2 5 = 0 2 25，0 0 0 4
2
又因为 20 = 4(1
0
3 )，
4 4 20 16 2
所以 3△ = 0 4 2 25 =
0+9
4 0 2 27
．
3 0 4 0+16
2
( ) = 0+9设 0 0 2+27
， 0 ∈ (0, 3]，
0 16
可得 ( ) = (1 + 1170 0 ) = +
117
， ∈ (0, 3]，
16 20+27
0 16 +27 00 0
( ) = 16 + 27 27 3 3令 0 0 ，令 16 0 =0
，可得 0 = 4 ∈ (0, 3]，0
可得 ( 0) > 0 在(0, 3]上单调递减，
所以 ( 0)在(0, 3]上单调递增，
3(3+9)所以 △ ∈ (0, 3+27
]，
16
即 64△ ∈ (0, 25 3].
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