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2025-2026学年宁夏六盘山高级中学高三（上）开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = {1,2,3,4,5,9}， = { | + 1 ∈ }，则 ∩ =( )
A. {1,2,3,4} B. {1,2,3} C. {3,4} D. {1,2,9}
2.已知函数 ( ) = 2 ′(0) + (1) 2，则 (2) =( )
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
3.命题“ ∈ ， ( ) = 2 是偶函数”的否定是( )
A. ∈ ， ( ) = 2 不是偶函数 B. ∈ ， ( ) = 2 是奇函数
C. ∈ ， ( ) = 2 不是偶函数 D. ∈ ， ( ) = 2 是奇函数
4.已知向量 ， 满足 = (1,2)， = ( , 1)，且( ) ⊥ ，则 =( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 3
( ) = 1 + log2(2 ) < 15.设函数
2 1
，则 ( 2) + (log212) =( ) ≥ 1
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

6.已知 = 1 2 ，且 + + = 0，其中 ， 为实数，则( )
A. = 1， = 2 B. = 1， = 2
C. = 1， = 2 D. = 1， = 2
7.已知定义在 上的奇函数 ( )满足 ( + 2) = ( )，当 0 ≤ ≤ 1 时， ( ) = 2，则 (2023) =( )
A. 20232 B. 1 C. 0 D. 1
8 ∈ ( , 3 ) tan( + ) = 1 .已知 2 4 ， 4 2 tan( 4 )
1 2
，则 4 2 =( )
A. 6 + 4 2 B. 6 4 2 C. 17 + 12 2 D. 17 12 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 是空间中不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若 // ， ， ，则 //
B.若 ， ， // ，则 //
C.若 ， ， // ， // ，则 //
D.若 // ， ∩ = ， ∩ = ，则 //
10 .已知3是函数 ( ) = 2 2
2 1 的一个零点.则( )
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A. = 3
B.函数 ( )的值域为[ 2,2]
C. ( ) [ 5 函数 的单调递减区间为 3 + , 6 + ]，( ∈ )
D.不等式 ( ) ≥ 0 的解集为
11.设 ′( )是 ( )的导函数， ″( )是 ′( )的导函数，若方程 ″( ) = 0 有实数解 0，则称点( 0, ( 0))
为函数 = ( )的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图
象的对称中心.已知函数 ( ) = 3 2 + 2，则( )
A.若 ( )有极值点，则 2 + 3 > 0
B.若当 = 1 时， ( ) 4 4有极值 10，则 = ( )对应的拐点为( 3 , ( 3 ))或(1, (1))
C.若当 = 2 时， ( )在( ∞, + ∞)上无极值点，则 的取值范围为( ∞, 43 ]
D. 1 1 1若当 = 3， = 2 时，曲线 = ( ) 8 与 轴分别交于 ( 1, 0)、 ( 2, 0)、 ( 3, 0)，则 2 + 2 + 2 = 101 2 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 3.已知 是第二象限的角， = 5，则 = ______．
13.已知向量 ， 满足| | = 2| | = 2, |2 | = 2，则向量 ， 的夹角为______
14.已知正三棱锥 的六条棱长均为 6， 是△ 及其内部的点构成的集合.设集合 = { ∈ | ≤
5}，则 表示的区域的面积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ，且满足( + 2 ) + = 0．
(1)求角 的值；
(2)若 = 14， = 6，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
3
已知函数 ( ) = 22 4 + 9 在 = 3 处取得极值．
(1)求实数 的值；
(2)求函数 ( )在区间[ , 2]上的最小值．
17.(本小题 15 分)
记 为数列{ }的前 项和，已知 2 + = 3 ．
(1)求 1；
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(2)证明：数列{4 3 }是等比数列；
(3)求 的最值．
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = 3 + | |+1．
(1)证明：函数 ( )是奇函数；
(2)用定义证明：函数 ( )在(0, + ∞)上是增函数；
(3)若关于 的不等式 ( 2 + 3 ) + (1 ) ≥ 0 对于任意实数 恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 为菱形， = 2， = ， ， 为 ，
中点．
(1)求证： //平面 ；
(2) 33若 = ( > 1)，且直线 与平面 所成角的正弦值为 22 ，求 的值；
(3)在(2)的条件下，若点 为直线 上一点，求直线 与平面 所成角正弦值的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 45
13. 3
14.
15.解：(1)由(2 + ) + = 0，
根据正弦定理有(2 + ) + = 0，
所以 2 + + = 0，
所以 2 + sin( + ) = 0，即 2 + = 0，
因为 0 < < ，所以 ≠ 0，所以 = 12，
2
因为 0 < < ，所以 = 3．
2 2 2
(2) ∵ = + 2 ，
1 2∴ = +6
2 142
2 2× ×6 ，
∴ = 10 或 16(舍)，
∴ 1 1△ = 2 = 2 × 10 × 6 ×
3
2 = 15 3．
16.解：(1)易知 ( )的定义域为(0, + ∞)，
可得 ′( ) = 3 4 + 9 ，
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因为函数 ( )在 = 3 处取值得极值，
所以 ′(3) = 9 4 + 3 = 0，
解得 = 3，
9 3( 1)( 3)
此时 ′( ) = 3 12 + = ，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 1 < < 3 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 3 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以函数 ( )在 = 1 处取得极大值，在 = 3 处取得极小值，符合题意，
则 = 3；
(2)由(1) 3知 ( ) = 22 12 + 9 ，
可得 ′( ) = 3( 1)( 3) ，
当 < < 3 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 3 < < 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
45
所以当 = 3 时， ( )取得最小值，最小值 (3) = 9 3 2．
17.
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18. 解：(1)证明：由函数 ( ) = 3 + | |+1，可得其定义域为 ，关于原点对称，
又由 ( ) = 3 | |+1 = (3 + | +1 ) = ( )，
所以函数 ( )为定义域 上的奇函数；
(2)证明：当 ∈ (0, + ∞)时，
( ) = 3 + +1 = 3 + 1
1
+1，
任取 1， 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 < 2，
1 1
可得 ( 1) ( 2) = 3 1 + 1 (3 2 + 1 1+1 2+1
)
1 1
= 3( 1 2) + ( 2 +1
1 +1
)

= 3( 1 2) +
1 2
( 2 +1)( 1 +1)
= ( 1 2) [3 +
1
( 2+1)(
]，
1+1)
因为 1， 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 < 2，
可得 1 2 < 0，( 2 + 1)( 1 + 1) > 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在(0, + ∞)上是增函数；
(3)因为函数 ( )为定义域 上的奇函数，且在(0, + ∞)上是增函数，
所以函数 ( )在( ∞,0)上也是增函数，
又因为 (0) = 0，所以函数 ( )在 上是增函数，
又由 ( 2 + 3 ) + (1 ) ≥ 0，
可得 ( 2 + 3 ) ≥ (1 ) = ( 1)，
因为不等式 ( 2 + 3 ) + (1 ) ≥ 0 对于任意实数 恒成立，
即不等式 ( 2 + 3 ) ≥ ( 1)对于任意实数 恒成立，
可得不等式 2 + 3 ≥ 1 对于任意实数 恒成立，
即不等式 2 + 2 + 1 ≥ 0 对于任意实数 恒成立，
当 = 0 时，不等式即为 1 ≥ 0 恒成立，符合题意；
≠ 0 > 0当 时，则满足 = (2 )2 4 ≤ 0，
解得 0 < ≤ 1，
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综上可得，0 ≤ ≤ 1，
即实数 的取值范围[0,1]．
19.解：(1)证明：取 中点 ，连接 ， ．
1在菱形 中，因为 // ， = 2 ，
在△ 中，因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 // = 1， 2 ，
所以 // ， = ，
所以四边形 为平行四边形，
因此 // ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， 、 平面
所以 ⊥ ， ⊥ ．
因为 = ，所以 = ．
在菱形 中， = = ，
因为 为 中点，所以 ⊥ ．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
在正三角形 中， = 3.又 = = 2 ，
所以 (0,0,2 )， (0,0, )， ( 3, 0,0)， (0,2,0)，
所以向量 = ( 3, 0, )， = (0, 2,2 )．
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ ，
所以 = 0 3 + = 0，即 ．
= 0 3 + 2 = 0
取 = 1，得 = 32 , =
3，所以 = (1, 3 2 ,
3 )．
设直线 与平面 所成角为 ，
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= |cos < , > | = | | = 33则
| | | | 22
．
3 33
即 = 24+4 2 7+ 3 22 ，化简整理得： = 3，4 2
又 > 1，所以 = 3；
(3)设 = ，由(2)知： = ( 3 ,0, 3 )， = (0, 1,0)，
所以 = + = ( 3 , 1, 3 )，
设直线 与平面 所成角为 ，平面 的法向量为 = (1, 3 ，2 , 1)
3
则 = |cos < , > | = | 2 |，
6 2+1 1+1+34
32 33
当 = 0 时，取到最大值，此时 = | | = ．
1+1+3 114
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