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2025-2026学年宁夏银川市灵武一中高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若命题 ： > 2， 3 > 8，则 的否定是( )
A. > 2， 3 ≤ 8 B. ≤ 2， 3 > 8
C. > 2， 3 ≤ 8 D. ≤ 2， 3 ≤ 8
2.已知集合 = { | 4 > 15}， = { 2, 1,0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. {2,3} B. { 1,0,1,2} C. { 1,0,1} D. { 2,2,3}
3.函数 ( ) = 3 + 1 2的定义域是( )
A. (2,3] B. ( ∞,2) ∪ (2,3) C. ( ∞,2) ∪ (2,3] D. ( ∞,3]
4.已知 > 0， > 0，则“ ≥ 4， ≥ 6”是“ ≥ 24”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5 1.不等式 2 2 +3 < 0 的解集为( )
A. B. { | > 1} C. { | < 1} D. { | < 1}
6.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的
碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先
进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量 ( / )与时间 (小时)的关系为 =
0 ( 0为最初污染物数量，且 0 > 0).如果前 4 个小时消除了 20%的污染物，那么污染物消除至最初的
64%还需要( )
A. 3.8 小时 B. 4 小时 C. 4.4 小时 D. 5 小时
1
7.已知点( , 27)在幂函数 ( ) = ( 2) 的图象上，设 = ( 3)， = ( 3)， = (3 4 2)，则 ， ，
的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
8.若不等式( 1)( ) ≥ 0 对任意的 ∈ 恒成立，则 4 + 的最小值为( )
A. 2 2 B. 4 C. 5 D. 4 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，在区间( ∞,2)上单调递减的是( )
A. ( ) = | 2| B. ( ) = 1 2 C. ( ) =
2 D. ( ) = ln(2 )
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10.若 < 0 < ，且 + > 0，则下列说法正确的是( )
A. > 1 B. 1 +
1
> 0
C. 2 < 2 D. ( 1)( 1) < 0
11.已知定义域为 的函数 ( )满足 (4 3 ) = (3 2)， (4 1)为奇函数， (0) = 1，则( )
A. 8 是 ( )一个周期 B. ( 3)为偶函数
C. (1) + (5) = 1 D. 102 =1 ( ) = 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知偶函数 ( )满足：当 > 0 时， ( ) = 2 + 2，则 ( 4) = ______．
13.4 23 37 79 + 153 + 155 的值为 ．
2
14 ( ) = + 2 , < 0.已知函数 + ln( + 1), ≥ 0的值域为 ，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知全集 = ，集合 = { |3 2 10 + 3 ≤ 0}， = { |2 2 + < 0}．
(1)若 = 8，求 ∩ 和 ∪ ；
(2)若( ) ∩ = ，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
2
已知幂函数 ( ) = 4 为偶函数，且 (2) > (3)， ∈ ．
(1)求 ；
(2)若 ( + 2) < (1 2 )，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
(1) | 1若“ 2 22 + 1| ≤ 1”是“ + 2 2 ≤ 0( > 0)”的必要不充分条件，求实数 的取值范围；
(2)已知命题 ：关于 的方程 2 2 2 = 0 在[ 1,1]上有解；命题 ：仅有一个实数满足关于 的不等
式 2 + + ≤ 0.若 ， 都是假命题，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知关于 的不等式 2 2 8 < 0 的解集为{ | 2 < < }．
(1)求 ， 的值；
(2) 若 > 0， > 2，且 + +2 = 4，求 + 2 的最小值．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 是定义在 上的奇函数．
(1)求 的值，并证明： ( )在 上单调递增；
(2)求不等式 (3 2 5 ) + ( 4) > 0 的解集；
(3)若 ( ) = 4 + 4 2 ( )在区间[ 1, + ∞)上的最小值为 2，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.18
13.8
14.( ∞, 1]
15.解：(1)根据题意，集合 = { |3 2 10 + 3 ≤ 0} = [ 13 , 3]，
若 = 8， = { |2 2 8 < 0} = ( 2,2)，
则 ∩ = [ 13 , 2)，
∪ = ( 2,3]；
(2)若( ) ∩ = ，则 ，必有 ∩ = ，
若 = ，即不等式 2 2 + < 0 解集为 ，必有 ≥ 0，
若 ≠ ，则 < 0，
2 2 + < 0 2 < < 2，此时 = (

2, 2)，
∩ = ≤ 1若 ，则有 2 3，解可得 ≥
2
9，
又由 < 0 2，则此时有 9 ≤ < 0，
综合可得： ≥ 2 29，即 的取值范围为[ 9 , + ∞)．
16.(1)因为 ( ) = 2 4 是幂函数且 (2) > (3)，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
故 2 4 < 0，解得 0 < < 4.又 ∈ ，则 = 1，2，3，
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当 = 1 时， ( ) = 3，是奇函数，不满足偶函数；
当 = 2 时， ( ) = 4，是偶函数，满足；
当 = 3 时， ( ) = 3，是奇函数，不满足．
所以 = 2．
(2)由(1)得 ( ) = 4，其在(0, + ∞)上单调递减，在( ∞,0)上单调递增，且图象关于 轴对称，
由 ( + 2) < (1 2 )，可得 0 < | + 2| < |1 2 |，
平方得( + 2)2 < (1 2 )2，且 + 2 ≠ 0，1 2 ≠ 0，
展开并整理( + 2)2 < (1 2 )2得 3 2 8 3 > 0，解得 < 13或 > 3，
1 1 1 1
结合 ≠ 2， ≠ 2，最终得 3 < < 2或2 < < 3，
1 1 1所以 的取值范围是( 3 , 2 ) ∪ ( 2 , 3)．
17.(1) | 1由不等式 2 + 1| ≤ 1，解得 3 ≤ ≤ 1，
当 > 0 时，不等式 2 + 2 2 2 ≤ 0，即( )( + + 2) ≤ 0，解得 2 ≤ ≤ ，
[ 2, ] [ 3,1] 0 < < 1 0 < ≤ 1依题意， ，则 2 ≥ 3或 2 > 3，解得 0 < < 1，
所以实数 的取值范围是(0,1)；
(2) 1 2解方程 2 2 2 = 0，得 = 或 = ，
1
题意等价于 1 ≤ ≤ 1 或 1 ≤
2
≤ 1，
1
由 1 ≤ ≤ 1 得 ≤ 1 或 ≥ 1，
2
由 1 ≤ ≤ 1 得 ≤ 2 或 ≥ 2，
故命题 ： ≤ 1 或 ≥ 1；
由仅有一个实数满足关于 的不等式 2 + + ≤ 0，得 = 2 4 = 0，
解得 = 0 或 = 4，
故命题 ： = 0 或 = 4，
由 ， 都是假命题，得 1 < < 1，且 ≠ 0 且 ≠ 4，因此 1 < < 0 或 0 < < 1，
所以实数 的取值范围是( 1,0) ∪ (0,1)．
18.解：(1)因为 2 2 8 < 0 解集为( 2, )，
> 2
4 4 = 0 = 1所以 ，解得 ；
2 2 8 = 0 = 4
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(2)由(1)知， = 1， = 4，
1 4
所以 + +2 = 4，
所以 + 2
= 1 ( 1 + 84 2 +4 )( + 2 + 4 4)
= 14 (
1 8
+ 2 +4 )( + 2 + 4) 4
= 1 (9 + 2 +4 + 8 ) 4 ≥ 1 (9 + 2 2 +4 8 4 2 +4 4 2 +4) 4 =
7
4 + 2，
2 +4 8
当且仅当 = 2 +4时，等号成立，
7
综上， + 2 最小值 4+ 2．
19.解：(1)因为 ( )是定义域为 上的奇函数，
所以 (0) = 0，即 20 2 0 = 0，所以 1 = 0，解得 = 1，
所以 ( ) = 2 2 ， ( ) = 2 2 = ( )，
经检验， = 1 符合题意；
所以函数的定义域为 ，在 上任取 1， 2，且 1 2 < 0，
( 12) ( 1) = 2 2 2 2 2 1 + 2 1 = (2 2 2 1)(1 + 2 + ) > 01 2 ，
所以函数在 上单调递增，
(2)由(1)可知 ( ) = 2 2 ，且在 上单调递增的奇函数，
由 (3 2 5 ) + ( 4) > 0，可得 (3 2 5 ) > (4 )，
所以 3 2 5 > 4 ，即 3 2 4 4 = (3 + 2)( 2) > 0，
解得 > 2 或 < 23，
所以不等式的解集为{ | > 2 或 < 23 }；
(3)因为 ( ) = 2 2 ， ( ) = 4 + 4 2 ( )，
所以 ( ) = 22 + 2 2 2 (2 2 ) = (2 2 )2 2 (2 2 ) + 2．
令 = ( ) = 2 2 ，因为 ≥ 1，所以 ≥ ( 1) = 32，
所以 ( ) = 2 2 + 2 = ( )2 + 2 2，
3
当 ≥ 2时，当 = 时， ( ) = 2
2
= 2，则 = 2( = 2 舍去)；
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< 3 3 17当 2时，当 = 2时， ( ) = 4 + 3 = 2 =
25 < 3，解得 12 2，符合要求，
25
综上可知 = 2 或 12．
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